二階雙參數(shù)混合型偏差分方程解的振動性

馬慧莉, 薛 蓉

(1. 西北師范大學(xué) 商學(xué)院, 蘭州 730070； 2. 西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

偏差分方程在偏微分方程數(shù)值解、 數(shù)學(xué)物理問題、 經(jīng)濟學(xué)和材料力學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-4]. 偏差分方程振動性的研究目前已得到廣泛關(guān)注[5-8]. 文獻[5]借助Z-變換研究了時滯偏差分方程

解的振動性, 其中:p,qi為實數(shù);ki,li∈N0,i=1,2,…,μ;Nt={t,t+1,…};μ是正整數(shù); 文獻[6]用包絡(luò)理論研究了偏差分方程

Un+2,m+Un,m+2+aUn+1,m+bUn,m+1+cUn,m=0

解的振動性, 其中:a,b,c為實數(shù);m,n為非負整數(shù); 文獻[7]用包絡(luò)理論研究了超前型偏差分方程

pUm+2,n+qUm,n+2+Um+1,n+Um,n+1+rUm,n=0

解的振動性, 其中:p,q,r為實數(shù)且p2+q2+r2≠0;m,n為非負整數(shù). 但關(guān)于時滯與超前型混合偏差分方程振動性的研究目前文獻報道較少. 基于此, 本文考慮二階雙參數(shù)混合型偏差分方程

pUm+2,n+qUm,n+2-Um,n+Um+σ,n-τ=0,

(1)

其中:σ,τ為正整數(shù);m,n為非負整數(shù);p,q為實數(shù). 借助包絡(luò)理論得到了二階混合型偏差分方程(1)振動的充要條件.

定義1[8]若對m,n∈N+, 有實的雙參數(shù)序列{Um,n}滿足方程(1), 則稱{Um,n}是方程(1)的解.

定義2[8]若存在M,N∈N+, 使得當m≥M,n≥N時, 有{Um,n}>0(或{Um,n}<0), 則稱{Um,n}是最終正(或負)的. 若{Um,n}既不是最終正的也不是最終負的, 則稱{Um,n}是振動的. 若方程(1)的所有解都是振動的, 則稱方程(1)是振動的.

引理1[8]下列敘述等價：

1) 方程(1)的每個解都是振動的；

2) 方程(1)的特征方程pλ2+qμ2-1+λσμ-τ=0沒有正根.

引理2[9]設(shè)f(x,y),g(x,y)和v(x,y)是(-∞,+∞)×(-∞,+∞)上的可微函數(shù), 令Γ是由方程f(λ,μ)x+g(λ,μ)y=v(λ,μ)定義的雙參數(shù)平面直線族, 其中λ,μ為參數(shù). 設(shè)Σ是Γ的包絡(luò)線, 則方程f(λ,μ)a+g(λ,μ)b=v(λ,μ)無實根當且僅當無Σ的切線通過xy-平面內(nèi)的點(a,b).

證明： 設(shè)方程(1)的特征方程為

f(p,q,λ,μ)=pλ2+qμ2-1+λσμ-τ=0.

(2)

根據(jù)包絡(luò)理論可知, 由方程(2)定義的包絡(luò)線方程滿足方程組：

(3)

類似地, 當τ+2-σ>0,τ-σ>0時, 可得如下定理：

例1考慮混合偏差分方程

-Um+2,n+0.5Um,n+2-Um,n+Um+1,n-2=0,

(4)

圖1 方程(4)的振動圖像Fig.1 Oscillatory image of equation (4)

例2考慮混合偏差分方程

-Um+2,n-Um,n+2-Um,n+Um+4,n-1=0,

(5)

即當p=-1,q=-1,σ=4,τ=1時, 定理1的振動圖像. 易證p=-1<0,q=-1<-22/1×1×(-1)4/1/44/1=-1/43,τ+2-σ<0, 滿足定理1的條件, 由定理1知, 方程(5)的每個解都振動, 從而驗證了定理1的正確性. 方程(5)的振動圖像如圖2所示.

例3考慮混合偏差分方程

-Um+2,n+Um,n+2-Um,n+Um+3,n-2=0,

(6)

圖2 方程(5)的振動圖像Fig.1 Oscillatory image of equation (5)

圖3 方程(6)的振動圖像Fig.3 Oscillatory image of equation (6)