淺談“截取法”解決周期性電磁場的多解問題

2018-11-06 12:54:28張樹國

物理通報 2018年11期

張樹國

(無錫市玉祁高級中學江蘇無錫 214183)

帶電粒子在周期性電磁場運動的多解性問題，學生困難在于難以畫出粒子的軌跡圖，不能形成運動情境，從而寫不出正確的規律方程．筆者在教學中嘗試用“截取法”來解決此類問題，取得了良好的教學效果，下面舉例說明．

【例1】如圖1(a)所示，長為L，間距為d的兩金屬板A，B水平放置，ab為兩板的中心線，一個帶電粒子以速度v0從a點水平射入，沿直線從b點射出，若將兩金屬板接到如圖1(b)所示的交變電壓上，欲使該粒子仍能從b點以速度v0射出，求：交變電壓的周期T應滿足什么條件？

圖1 例1題圖

在教學中，先引導學生在不考慮極板的長度和寬度的情況下，畫出粒子從a點出發在對應的周期性電壓下(周期性電場下)的多時間的軌跡圖(圖2).

圖2 粒子多時間的軌跡圖

易發現這樣的時間起點不可能沿著直線從b點射出，再引導從0.25T開始畫圖，便可以實現粒子從b點射出，如圖3所示．

圖3 從0.25 T開始畫圖，粒子從b點射出

筆者提示，我們現在是沒有任何的空間條件的制約，此題在這樣的周期電壓下的粒子軌跡圖不該僅局限于圖3吧？會有很多個這樣的情況啊，便有了圖4的出現．

圖4 沒有任何空間條件下粒子軌跡圖

在教學中，讓學生在現有的軌跡圖中把極板的長度和寬度“補”到軌跡圖4中使其滿足題意要求．學生非常容易上手，也比較順利地寫出空間制約條件下對應的方程式．如下

L=nv0T(n=1,2,3，…)

學生開始雖然知道粒子做類平拋，但畫圖受到現有圖形空間限制，很難作出符合題意的粒子運動軌跡，筆者在多次教學中嘗試，先不考慮空間約束去畫粒子在無窮大空間中運動軌跡，看什么樣的軌跡符合題意的要求，再在現有的正確的軌跡圖中(圖5)去“截取”其中符合題意的圖形，這樣就容易寫出相應的方程．筆者把這種做法稱之為“截取法”．

圖5 截取正確的軌跡圖

【例2】如圖6(a)所示，MN為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個小孔O和O′正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應強度隨時間的變化如圖6(b)所示.有一群正離子在t=0時垂直于M板從小孔O射入磁場.已知正離子質量為m，帶電荷量為q，正離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與磁感應強度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場變化而產生的電場的影響，不計離子所受重力.求：

(1)磁感應強度B0的大小；

(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度v0的可能值.

設垂直于紙面向里的磁場方向為正方向.

圖6 例2題圖

應用“截取法”，先把邊界條件去掉，大膽地根據力和運動的關系，作出多周期下的軌跡圖，再把空間制約條件補上去(定性而已)，便能很好地突破此題的難點．

步驟1：先不考慮MN之間的空間制約，作出帶電粒子在如圖6(b)所示的磁場中運動的軌跡(多周期)，如圖7所示.

圖7 帶電粒子在如圖6(b)所示的磁場中運動的軌跡

步驟2：將MN兩平板邊界“補”上去，只需注意能滿足題意要求的．不難發現有很多種可截取的情況，便出現了多解．

步驟3：學生結合軌跡圖像(圖8)，寫出相應的關系等式．

圖8 學生結合軌跡圖像，寫出相應的關系式

設偏轉圓半徑為r

d=n·4r(n=1,2,3,…)

【例3】(2014年高考江蘇卷第14題)某裝置用磁場控制帶電粒子的運動，工作原理如圖9所示．裝置的長為L，上下兩個相同的矩形區域內存在勻強磁場，磁感應強度大小為B,方向與紙面垂直且相反，兩磁場的間距為d．裝置右端有一收集板，M，N，P為板上的3點，M位于軸線OO′上，N，P分別位于下方磁場的上、下邊界上．在紙面內，質量為m，電荷量為-q的粒子以某一速度從裝置左端的中點射入，方向與軸線成30°角，經過上方的磁場區域一次，恰好到達P點．改變粒子入射速度的大小，可以控制粒子到達收集板上的位置．不計粒子的重力．

(1)求磁場區域的寬度h；

(2)欲使粒子到達收集板的位置從P點移到N點，求粒子入射速度的最小變化量Δv；

(3)欲使粒子到達M點，求粒子入射速度大小的可能值．

試題分析：此題的難點依舊是學生難以作出滿足題目要求的軌跡圖，也就難以書寫出正確的幾何關系方程式．

答題策略：學生可以先不考慮磁場空間的限制，根據力和運動的規律作出帶電粒子在無場區和磁場區的往復性運動的軌跡圖,如圖10所示.