基于橢球體失穩坍落理論的隧道掌子面失穩計算研究

杜 俊，梅志榮，陳永照

(1.中國鐵道科學研究院，北京 100081；2.中鐵西南科學研究院有限公司，四川 成都 611731；3.廈門市政建設開發公司，福建 廈門 361015)

0 引言

由于強度低、變形大等特征，軟弱圍巖隧道在修建時，往往因開挖擾動而失穩，發生坍塌事故。例如：世界上第1座知名的大變形隧道——奧地利陶恩公路隧道，全長6 400 m，埋深600～1 000 m，在千枚巖和綠泥石地段發生大變形，產生了最大1 200 mm的位移，最大位移速度達到200 mm/d，同時，隧道掌子面塌方不斷[1]；國內寶中線堡子梁鐵路隧道，全長904 m，施工中掌子面附近頻繁塌方，掌子面向外擠出，排架下沉1 200 mm，拱頂圍巖剝皮掉塊，裂縫寬度達到50～150 mm，邊墻向中間擠入300～400 mm[2]；國內雅瀘高速泥巴山隧道，穿越元古界震旦系下統蘇雄組流紋巖，隧道施工至1 700 m處時，掌子面出現塌方，起初掌子面圍巖外擠，隧道變形增大，拱頂下沉增大，地層開裂嚴重，后出現長達30 m左右的塌方，二次襯砌隨之開裂[3]。因此，保證軟弱圍巖隧道施工過程穩定是隧道工程順利完工的關鍵。關于隧道掌子面穩定性的理論研究，目前可總結歸納為3類，即隧道掌子面極限破壞壓力理論、隧道掌子面上覆圍巖壓力理論和隧道掌子面上覆圍巖失穩理論。

隧道掌子面極限破壞壓力理論具有代表性的有穩定系數法、極限分析法和Janssen筒倉理論等。穩定系數法是Broms和Benermark[4]采用極限解析方法提出的求解黏土地層條件下掌子面穩定系數的方法。極限分析法是Atkinson和Potts等[5-6]提出的方法，可求隧道支護力下限解和上限解。Janssen筒倉理論的基本思想是通過考慮楔形體和棱柱體的極限平衡，列出水平向和豎向的平衡方程，求出維持開挖面穩定所需的掌子面最小支護力[7]。

隧道掌子面上覆圍巖壓力理論具有代表性的有全土柱壓力理論、普氏壓力理論、太沙基壓力理論和國內《鐵路隧道設計規范》中的方法等。全土柱壓力理論認為，上覆圍巖垂直壓力僅與隧道埋深有關，埋深較小時，計算值與實際值一致，埋深較大時，計算值比實際值大，這是由于埋深較大的情況下圍巖會產生拱效應，而全土柱壓力理論沒有考慮圍巖中拱效應的應力傳遞。普氏壓力理論認為圍巖為松散體，除具有內摩擦效應外，還存在一定的黏性，洞室頂部能形成壓力拱，作用于襯砌結構上的壓力僅為壓力拱與襯砌結構間松散巖土體的質量，與拱外巖層及洞室埋深無關[8]。太沙基壓力理論是將圍巖看作松散體，但是具有一定的黏聚力，認為隧道開挖引起圍巖產生位移，上覆圍巖由于重力作用而向下移動，且在隧道影響范圍內出現剪切面，圍巖顆粒相互錯動使得圍巖顆粒之間應力傳遞，導致隧道周圍圍巖對下移的圍巖有一定阻礙作用，使其最小支護壓力遠小于圍巖原始應力[9]。由于計算參數較少，計算簡單，太沙基壓力理論得到廣泛應用。我國《鐵路隧道設計規范》[10]中推薦的圍巖垂直均布松動壓力計算公式是根據1 000 多個塌方點的資料進行統計分析而擬定的，在我國應用廣泛。

隧道掌子面上覆圍巖失穩理論始于前蘇聯學者米納耶夫1938年提出的放礦放出體形狀為橢球體的概念。1952年前蘇聯學者馬拉霍夫在他的著作《崩落礦塊放礦》中，系統論述了放礦橢球體理論體系。20世紀60年代，隨著崩落采礦法的發展，我國學者對放礦理論進行了大量研究，取得了很多成果，指導了礦山生產[11-12]，橢球體理論在松散介質失穩和放出體研究中得到廣泛應用。橢球體理論認為，坍落體近似一個橢球體，如圖1所示。曲線AOA′所包絡的漏斗形狀體稱為放出漏斗，A-A′水平層以上各水平層所形成的下凹漏斗稱為移動漏斗，將各水平層移動邊界連接起來所形成的又一旋轉橢球體稱為松動橢球體。放出橢球體(如圖2所示)的放出體積可按下式求得。

式中：Q為截頭橢球體體積；a為橢球體長半軸長度；b為橢球體短半軸長度；ε為橢球體偏心率；n=x/a。

為方便應用，a用被截橢球體的高度h和放出口半徑r表示，則

圖1 橢球體理論模型Fig.1 Ellipsoid theory model

a、b分別為橢球體的長半軸和短半軸長度；h為被截橢球體高度；r為放出口半徑。

圖2放出橢球體
Fig.2 Ellipsoid drawing

將橢球體理論應用于隧道圍巖穩定性分析中可研究隧道掌子面上覆地層的失穩機制。孔恒[13]對隧道上覆地層結構失穩進行分析，建立了隧道工作面上覆地層結構失穩坍落的橢球體概念。武軍等[14]分析了顆粒橢球體理論在砂土地層隧道計算極限支護壓力的可行性，認為隧道松動區邊界為極限橢圓，當支護壓力由正常支護逐漸減小到臨界支護力時，松動區域逐步擴大至極限橢圓，此臨界支護力就是所求的松動土壓力。宮全美等[15]基于顆粒橢球體理論，經分析認為，隧道上部松動區滑動面為橢圓形，并據此推導出了受滑動面傾角影響的側土壓力系數計算公式。

經過以上掌子面穩定性理論的分析，本文以具有代表性的筒倉理論和太沙基壓力理論為基礎，借鑒運用橢球體失穩坍落理論，建立了隧道掌子面失穩計算模型，對隧道掌子面失穩計算公式進行了推導，并將推導公式與經典公式進行對比，驗證了推導公式的合理性，以期為類似研究提供參考。

1 隧道掌子面失穩計算模型的建立

針對松散體或具有一定黏聚力的松散體地層，圍巖級別為易發生失穩的Ⅴ、Ⅵ級圍巖，建立隧道掌子面失穩理論計算模型，如圖3所示。

圖3 隧道掌子面失穩理論計算模型Fig.3 Theoretical calculation model of tunnel face instability

2 隧道掌子面失穩計算公式推導

2.1 掌子面楔形體受力分析

根據隧道掌子面極限破壞壓力筒倉理論，計算時取隧道掌子面為一個與隧道斷面面積相等的矩形，此時，掌子面的高度為隧道斷面高度D。令掌子面的寬度為B，則

B·D=S隧道。

式中S隧道為隧道斷面面積。

若隧道斷面為圓形，則掌子面的寬度B=πD/4。

掌子面楔形體受力分析見圖4—7。

圖4 楔形體受力分析Fig.4 Force analysis of wedge

圖5 楔形體側面受力分析Fig.5 Lateral force analysis of wedge

圖6 楔形體正面受力分析Fig.6 Positive force analysis of wedge

圖7 楔形體側滑動面受力分析Fig.7 Force analysis of wedge on lateral sliding surface

(1)

式中：B為楔形體寬；D為楔形體高；γ為土體的重度；α為楔形體兩側滑動面與豎直方向的夾角；θ為楔形體前方滑動面與水平方向的夾角，應通過試驗求得，若無試驗數據，可參照太沙基理論通過內摩擦角φ求得，θ=π/4+φ/2。

3)pv為楔形體豎向壓力。

(2)

式中σv為楔形體上方松動土壓力。

4)N為楔形體前方滑動面上的法向作用力(計算中可抵消，不做展開)。

5)T為楔形體前方滑動面上的摩阻力。

由Mohr-Columb準則τ=c+σtanφ，可得

(3)

式中：c為土體的黏聚力；φ為土體的內摩擦角。

6)N′為楔形體兩側滑動面上的法向作用力。

對楔形體側滑動面進行受力分析，可得

(4)

7)楔形體兩側滑動面上的摩阻力T′。

由Mohr-Columb準則τ=c+σtanφ，可得

T′=cAQKR+N′tanφ=

(5)

對楔形體進行受力分析，則

X方向：

N′cosα-T′sinθcosα=N′cosα-T′sinθcosα。

Y方向：

p+Tcosθ+2T′cosθ=Nsinθ。

Z方向：

pv+W=Ncosθ+Tsinθ+2T′sinθcosα+2N′sinα。

結合各參數的表達式，化簡后，可得掌子面支護力

[cos2θ+sin2θcosα+sinθcosθtanφ(1-cosα)]。

(6)

式中：m1=sinθ-cosθtanφ;m2=sinθ+cosθtanφ。

2.2 上覆圍巖壓力分析

為了便于計算和對比分析，將建立的隧道掌子面失穩理論計算模型中的上覆圍巖部分簡化為半橢球體加橢圓臺，橢圓臺部分的受力分析如圖8所示。

圖8 橢圓臺受力分析Fig.8 Force analysis of elliptical plate

式中：B″和L″分別為橢圓臺頂面橢圓長軸和短軸長度；B′和L′分別為橢圓臺底面橢圓長軸和短軸長度；Z為橢圓臺高；B1和L1分別為橢圓臺任一平行于底面的截面橢圓長軸和短軸長度。

在Z方向建立平衡方程，則

(7)

又

τ=c+K0σvcosβtanφ。

(8)

將式(8)代入式(7)中得

(9)

可求其通解，并代入可得

σv= (B″-2ztanβ)n1(L″-2ztanβ)n2·

由邊界條件可知，當z=0時，σv=q0，則

σv= (B″-2ztanβ)n1(L″-2ztanβ)n2·

(10)

2.3 參數β值的確定

由文獻[13]可知，隧道縱向的坍落橢球體高度小于橫斷面坍落橢球體的高度，從尋求的隧道掌子面失穩模型的角度出發，最終求解的是引發掌子面坍塌的最小支護力，也就是最先發育為坍落橢球體時的掌子面支護力。 因此，從最不利的角度考慮，對縱向坍落橢球體進行分析即可。

根據隧道掌子面上覆圍巖橢球體失穩理論，隧道掌子面縱向橢球體失穩模型如圖9所示。

由文獻[13]可知，坍落體高度

式中：ε為偏心率；L為掌子面前方受影響的楔形體沿隧道開挖方向的長度；ht為橢球體最低點到隧道拱頂的高度，ht=Ltanθ/2。

圖9 隧道掌子面橢球體失穩模型Fig.9 Ellipsoid instability model of tunnel face

另外，假定橢球體的軸比等于側壓力系數k0[17]，即

由圖9分析可知

(11)

由式(11)可知，β僅與K0和θ有關，與其他參數無關。

2.4 隧道埋深與坍落橢球體高度的關系

坍落橢球體能否發育形成，是需要一定條件的，即隧道埋深要大于坍落橢球體的高度，否則，掌子面上覆圍巖就不能形成坍落橢球體。

隧道埋深與坍落橢球體高度的幾種關系如圖10所示。 圖10中H為隧道拱頂至坍落橢球體短軸的高度。

1)當隧道埋深hd大于坍落橢球體高度h，即hd>h時，可發育形成完整的坍落橢球體。

2)當隧道埋深等于坍落橢球體高度，即hd=h時，坍落橢球體處于剛好發育形成的臨界狀態，定義此時的隧道埋深為可發育成完整坍落橢球體的臨界埋深h0。

3)當隧道埋深小于坍落橢球體高度時，不能發育形成完整的坍落橢球體。此時，形成的上覆圍巖坍落體，定義為截頭坍落橢球體，又分為2種情況：①H

相應地，不同隧道埋深上覆圍巖壓力計算公式(10)中z和q0的取值如下：

2)H

3)hd

式中q1為地表超載。

(a) hd>h

(b) hd=h

(c) H

(d) hd

3 公式驗證

廈門市文興隧道工程位于廈門市思明區，為山嶺分離式雙線城市隧道，左線全長2.021 km，右線全長1.993 km。 隧道沿線多為山地、廠區及居民小區，左線進口ZK0+640～+680段構造裂隙較發育，地質條件差，圍巖級別為Ⅴ級，重度γ=20 kN/m3，黏聚力c=25 kPa，內摩擦角φ=20°，泊松比ν=0.2，埋深15 m，地表無超載。 隧道斷面如圖11所示。

圖11廈門文興隧道左線ZK0+660～+680段斷面圖(單位：cm)

Fig.11 Cross-section of ZK0+660～+680 of left line of Wenxing Tunnel in Xiamen (unit: cm)

由推導公式可以求得，本工程中坍落橢球體相關參數h=38.43 m，H=16.77 m，β=6.8°。 由圖10可知，本工程符合第4種情況，即隧道埋深hd

表1 不同方法豎向圍巖壓力對比Table 1 Comparison of vertical surrounding rock pressure among different methods

注：β=90°時，公式無解，取β→90°(β=89.999 999°)時的值代替。

圖12中，β=0°時圍巖壓力隨豎向深度的變化曲線與太沙基壓力理論求得的曲線重合；β→90°時的曲線與全土柱壓力理論求得的曲線重合。 說明當β=0°時，本文推導公式的計算結果與太沙基壓力理論一致；當β→90°時，本文推導公式的計算結果與全土柱壓力理論一致，驗證了推導公式的合理性。 而由于考慮了上覆圍巖的張開角β，使得推導公式更靈活，具有更廣的適用性。 本工程中通過坍落橢球體理論確定的β=6.8°，求得的上覆圍巖壓力在太沙基壓力理論和全土柱壓力理論計算結果之間，更接近太沙基壓力理論計算結果，這是由于上覆圍巖張開角β更接近0°。

圖12 不同方法下豎向圍巖土壓力隨豎向深度的變化曲線Fig.12 Variation curves of vertical surrounding rock pressures with vertical depths under different methods

4 實例分析

采用埋深為6.27 m、地表荷載為0 kPa的隧道進行分析。 隧道圍巖參數見表2，隧道橫斷面見圖13。

表2 圍巖參數Table 2 Parameters of surrounding rock

圖13 隧道橫斷面圖(單位：cm)Fig.13 Tunnel cross-section (unit: cm)

4.1 推導公式計算

用推導公式進行掌子面失穩橢球體高度和掌子面失穩支護力計算。 理論失穩橢球體模型如圖14所示。其中，失穩橢球體的高度為9.25 m，拱頂到橢球體短軸的高度H=1.49 m。

圖14 理論失穩橢球體模型(單位：m)Fig.14 Theoretical instability ellipsoid model (unit: m)

當埋深為hd=6.27 m時，由于失穩橢球體的高度h=9.25 m，拱頂到橢球體短軸的高度H=1.49 m，所以隧道埋深與失穩橢球的關系屬于圖10中所示的第3種，即H

4.2 數值模擬

為了比較計算結果，建模分析掌子面失穩橢球體高度和掌子面最小支護比。模型底面施加固定約束，4個側面施加水平約束，頂面自由，不施加約束，計算采用Mohr-Coulomb準則，圍巖參數見表2。 數值模擬過程為：首先，在掌子面施加與原圍巖應力相等的支護力；接著，逐漸減小掌子面支護力，直至減小為0或計算不收斂。

經分析，掌子面失穩時的圍巖應力、位移和塑性區云圖如圖15所示。

從圖15可以看出，在埋深為6.27 m的條件下，隨著掌子面支護力的減小，圍巖掌子面的壓應力也隨之減小，圍巖掌子面產生向隧道內的位移，進入塑性狀態，且影響范圍直達地表，地表受到影響產生沉降。 進一步地，繪制掌子面的失穩破壞模型，如圖16所示。 由圖16可以看出，由于埋深沒有達到臨界埋深，所以失穩橢球體不能完整發育，但掌子面破壞范圍基本上被失穩橢球體所包圍，失穩體是一個截頭橢球體。

繪制掌子面關鍵點的位移與掌子面支護比的關系曲線，如圖17所示。

由圖17可知，掌子面失穩時的位移突變所對應的掌子面最小支護比為0.70，與理論計算值0.73相差4.3%，差別不大，可認為理論計算和數值模擬結果具有較好的一致性。

(a) 應力云圖(單位：Pa)

(b) 位移云圖(單位：m)

(d) 塑性區云圖

圖16 掌子面失穩破壞模型(單位：m)Fig.16 Instability model of tunnel face (unit: m)

圖17 關鍵點掌子面擠出位移與掌子面支護比關系曲線Fig.17 Curve of relationship between extrusion displacement and supporting ratio of key points of tunnel face

5 結論與討論

1)推導出的隧道掌子面失穩計算公式，可以求出維持掌子面穩定的最小支護力和完整失穩坍落橢球體的臨界埋深值。

2)分析了隧道埋深與坍落橢球體高度的位置關系，并給出了不同位置關系情況下z和q0的求解方法。

3)當上覆圍巖的張開角β=0°時，本文推導公式的計算結果與太沙基壓力理論一致；當β→90°時，本文推導公式的計算結果與全土柱壓力理論一致，說明了推導公式的正確。 另外，由于本文推導公式考慮了上覆圍巖的張開角，使得推導公式更靈活，具有更廣泛的適用性。

4)運用推導出的隧道掌子面失穩計算公式對實例進行了分析，求得了維持掌子面穩定的最小支護比，并用數值模擬方法進行對比分析，驗證了推導公式的準確性。

5)下一步可在軟弱圍巖隧道掌子面預加固設計施工中分析驗證本文提出的掌子面失穩計算方法，并研究不同預加固措施對掌子面支護力的貢獻，以為掌子面預加固設計和施工提供參考。