幾道高考三角形試題的分析探究

■河南省洛陽市第一高級中學 肖趙麗

在高三復習中，同學們要不斷研究高考真題，掌握高考考查的重點內容和方法，才能探求命題人的本意，進而總結試題的規律。本文通過對近年高考三角形試題的分析，來領悟高考中一些規律性的東西。

對于三角形問題，主要考查正弦定理、余弦定理、面積公式，同時兼顧考查三角恒等變換，三角函數的求值、化簡等。

例1(20 17年新課標Ⅱ卷理17題)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，

(1)求cosB。

(2)若a+c=6，△ABC面積為2，求b。

分析：第(1)問利用三角形內角和定理及倍角公式，結合同角三角函數的基本關系式sin2B+cos2B=1即可解答;第(2)問結合第(1)問及面積公式求出a c的值，再利用余弦定理即可解決。

上式兩邊平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0。

所以b=2。

點評:對于第(1)問，要從結構特征觀察出解題方向;對于第(2)問，求出a c=之后，原本可以結合a+c=6，解出a，c，再由余弦定理b2=a2+c2-2a ccosB求出b，但這個方程組不易解，所以利用b2=a2+c2-2a ccosB=(a+c)2-2a c(1+cosB)把a+c=6整體代入即可求解，從而減少了運算量。

例2(20 16年全國Ⅰ卷理17題)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c。

(1)求C。

分析：第(1)問先由正弦定理入手，再結合兩角和的正弦公式及內角和定理，解出cosC=，從而求解;第(2)問給出了邊c，而第(1)問求出的正是其對角C，所以可結合余弦定理，再結合面積公式即可求解。

解析：(1)由2cosC(acosB+bcosA)=c，結合正弦定理得2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC。

所以2cosC·sin(A+B)=sinC。

因為A+B+C=π，A，B，C∈（0，π），所以sin(A+B)=sinC＞0。

所以(a+b)2-3a b=7，可得(a+b)2-18=7，故a+b=5。

點評:第(1)問在兩邊約去sinC時，要根據角的范圍指出sinC≠0;第(2)問由面積公式求出a b=6，再結合余弦定理得出另一個方程7=a2+b2-a b，二者聯立即可求出a，b，從而求出周長，但若利用余弦定理的變形c2=a2+b2-2a b·cosC=(a+b)2-2a b-2a bcosC，則可以直接求出a+b，從而更快捷地求出周長。

例3(20 13年新課標Ⅱ卷理17題)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB。

(1)求B。

(2)若b=2，求△ABC面積的最大值。

分析：第(1)問先用正弦定理，再根據式子結構特征，利用內角和定理及誘導公式，得出sinA=sin(B+C)，從而整理即可求解;第(2)問中知道了邊b，結合角B，可利用余弦定理及基本不等式求出a c的最大值，再結合面積公式求解。

解析：(1)因為a=bcosC+csinB，所以由正弦定理可得:

sinA=sinBcosC+sinCsinB。

所以sin(B+C)=sinBcosC+sinC·sinB，即cosBsinC=sinCsinB。

(2)由余弦定理可得b2=a2+c2-2a ccos，即4=a2+c2-2a c。由不等式

得a2+c2≥2a c，當且僅當a=c時取等號，所以4≥(2-2)a c，解得a c≤4+22，即，即△ABC面積的最大值為

點評:第(1)問與例2正好相反，例2中是逆用兩角和的正弦公式sinA·cosB+sinB·cosA=sinC，而本題是把sinA換成sin(B+C)再展開整理;第(2)問和例2類似，都是知道了一條邊及其對角，再利用余弦定理進行求解。

例4(20 12年新課標卷)已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且acosC+3asinC-b-c=0。

(1)求A。

(2)若a=2，△ABC的面積為 3，求b，c。

分析：第(1)問先用正弦定理，再根據結構特點，將sinB換成sin(A+C)，展開后利用輔助角公式得出關于角A的方程求解;第(2)問利用面積公式和余弦定理即可求解。

a2=b2+c2-2b ccosA?b+c=4。

由以上兩式解得b=c=2。

點評:本題與例2類似，只不過例2的第(2)問是求周長，本題是求兩條邊長，但實質上是一樣的。

規律總結：由上面四道高考試題，可以看出它們都有一個規律，即第一問都是求角，主要利用正弦定理把已知條件進行變形，同時要觀察式子的結構特征，充分利用內角和定理，兩角和與差的公式進行恒等變形，得出所求角的一個三角函數值，進而求解。而第二問則是給出了上一問所求的角的對邊，或其兩邊的關系，然后利用余弦定理、面積公式進行求解，在求解中要注意余弦定理的變形，結合整體代換，從而可以減少運算量。

在20 17年新課標Ⅰ卷17題中，第二問的考查就體現了上面的規律。

例5 (20 17年新課標Ⅰ卷17題)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，

(1)求sinBsinC。

(2)若6 cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長。

由余弦定理得b2+c2-b c=9，即(b+

點評:本題第(2)問結合兩角和的余弦公式求出角A，又知其對邊長，所以利用余弦定理及面積公式即可求解。

編者注：總之，高考試題是高三進行復習的最好的載體，本文只是拋磚引玉，希望同學們能從高考試題中總結規律，指導復習方向。