棱錐外接球問題的幾種求解策略

蘇藝偉

(福建省龍海第一中學新校區 363100)

以三棱錐和四棱錐為載體的外接球問題經常出現在各級各類的考試當中.筆者在多年的教學實踐中總結出了五種求解策略,能夠解決大部分三棱錐和四棱錐的外接球問題,整理如下.

策略1:找出該幾何體的底面,將其水平放置,找出底面的中心(如果底面是三角形則找出外心),則球心和底面的中心連線必須和底面垂直.此法適用于較為簡單的幾何體外接球問題.

例1 已知三棱錐S-ABC的四個頂點都在球O的表面上,SC⊥面ABC,若SC=AB=AC=1,∠BAC=120°,則球O的表面積為____.

例2 已知一個幾何體的三視圖如圖2,此幾何體的外接球表面積為____.

策略2 在幾何體中如果能夠找到一個點,使得該點到幾何體各個頂點的距離相等,則該點即為球心,此法同樣適用于解決較為簡單的幾何體外接球問題.

例4 已知一個幾何體的三視圖如圖(5),此幾何體的外接球體積為____.

策略3 在該幾何體中找出兩個面,分別找出這兩個面的中心,過這兩個中心作出兩條垂線分別和對應的面垂直,則這兩條垂線的交點即為球心.

解析如圖7所示,取BC中點P,連接AP,則AP⊥BC.

可知P為直角△CDB的外心,過點P作面CDB的垂線,設正△ABC的外心為Q,過點Q作面ABC的垂線,兩條垂線的交點即為球心O.

例6 如圖8所示,在棱形ABCD中,M為AC與BD的交點,∠BAD=60°,AB=3.將△CBD沿BD折起到△C1BD的位置.若點A,B,D,C1都在球O的球面上,且球O的表面積為16π,則直線C1M與面ABD所成角的正弦值為____.

解析如圖9所示,可知△C1BD和△ABD是全等的正三角形.

設正△C1BD的外心為Q,過點Q作面C1BD的垂線,設正△ABD的外心為P,過點P作面ABD的垂線,兩條垂線的交點即為球心O.

解析如圖10所示,因為SA2+AB2=SB2,所以SA⊥AB.取SB中點P,AB中點D,連接PD,CD.

設直角△SAB的外心為P,過點P作面SAB的垂線,設正△ABC的外心為Q,過點Q作面ABC的垂線,兩條垂線的交點即為球心O.

策略4 記住幾種常用的幾何體外接球模型可以事半功倍,迅速求解.

模型一棱長都相等的四面體的外接球

棱長都相等的四面體稱之為正四面體,可以在正方體中找到一個與之對應的正四面體,換句話說可以將其補形成一個正方體.此時,正四面體的外接球即為該正方體的外接球,球心為正方體體對角線的中點, 體對角線等于球的直徑.

模型二三條側棱兩兩垂直的三棱錐的外接球

三條側棱兩兩垂直的三棱錐可以補形成一個長方體,其外接球即為長方體的外接球.球心為長方體體對角線的中點,體對角線等于球的直徑.

例9 已知三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=2,當三棱錐P-ABC的三個側面的面積之和最大時,其外接球的表面積為____.

此時PA,PB,PC兩兩垂直.

模型三三組對棱分別相等的三棱錐的外接球

三組對棱分別相等的三棱錐可以補形成一個長方體,其外接球即為長方體的外接球.球心為長方體體對角線的中點,體對角線等于球的直徑.

解析如圖13所示,將該三棱錐補形成一個長方體,該三棱錐的外接球即為長方體的外接球.設長方體的長,寬,高分別為b,c,a.

策略5 建系法.采用建系法求解,可以避開找球心這個難點,其步驟如下.

第一,將幾何體中的幾何要素整理清楚,弄清楚點,線,面之間的關系.

第二,建立適當的空間直角坐標系,求出落在球面上的各個點的坐標.

第三,設球心O(x,y,z),利用球心到球面上任意一點的距離都等于半徑這個等量關系建立方程組.

第四,解方程組求出球心的坐標.進而算出半徑,從而求出表面積或體積.

此法具有一定的程序性,解題規范,清晰明了,避免了尋找球心所帶來的問題,效果甚好.

例11 一個三棱錐的三視圖如圖14,其中俯視圖是等腰直角三角形.則該三棱錐的外接球體積是____.

解析如圖15所示.易知該幾何體為三棱錐P-ABC.其中PC⊥面ABC,AC⊥CB,AC=CB=PC=2.以C為原點建立空間直角坐標系.

則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2).

設球心O(x,y,z),則有|OA|=|OB|=|OC|=|OP|=R.

解析如圖16所示.根據余弦定理易得BC=2.顯然AB2+BC2=AC2,所以AB⊥CB.取AC中點N,連接PN,則PN⊥AC.由面PAC⊥面ABC,面PAC∩面ABC=AC,得PN⊥面ABC.作NT⊥AC,交AB于T.

設球心O(x,y,z),則有|OA|=|OB|=|OC|=|OP|=R.

由|OA|=|OC|得

由|OA|=|OB|得

由|OA|=|OP|得

故球表面積是18π.

(1)該多面體是三棱錐;(2)面BAD⊥面BCD;(3)面BAC⊥面ACD；(4)該多面體外接球的表面積為5π.

解析如圖18所示,該幾何體為一個三棱錐B-ACD,點P為BD中點,各棱長度如圖所示.取AC中點E,連接BE,DE,則BE⊥AC,DE⊥AC,故∠BED即為二面角B-AC-D所成的平面角.由于EB2+ED2=BD2,所以

∠BED=90°,故面BAC⊥面ACD.同理可證∠APC=90°,故面BAD⊥面BCD.

圖19

設球心O(x,y,z),則有|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=R.

由|OA|=|OB|

由|OA|=|OC|

由|OA|=|OD|

故此三棱錐的外接球表面積是5π.