與向量有關(guān)問題的解法探究

閆大森

(河北省衡水第一中學(xué) 053000)

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)，幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，但是在解題中人們常常忽視對其形式的變通，從而輕視了它的可貴價值，事實(shí)上，正是由于向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，它有著極其豐富的實(shí)際背景，在解題中具有獨(dú)特的功能.

一、向量在數(shù)列問題中的應(yīng)用

例1 已知數(shù)列|an|是公差d≠0的等差數(shù)列，記Sn為其前n項(xiàng)和.

(1)若a2，a3，a6依次成等比數(shù)列，求其公比q；

點(diǎn)評這類問題主要是運(yùn)用平面向量的模，數(shù)量積等相關(guān)知識，實(shí)現(xiàn)形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，巧妙地將平面向量、數(shù)列等知識融合在一起，重點(diǎn)考查平面向量、數(shù)列的“三基”.

(1)求xn的表達(dá)式；

(2)確定n的值，使點(diǎn)Pn在直線x-ny= 0的下方，并加以證明．

上式對n=1時也成立，即xn=2n-1．

(2)點(diǎn)Pn在直線x-ny= 0的下方的充要條件是2n-1-n2>0，即2n>n2+1．

當(dāng)n=1，2，3，4時，不等式2n>n2+1不成立．

當(dāng)n≥5時，

因此，n的取值為n≥5，n∈N*．

評析本題將向量、數(shù)列、不等式以及二項(xiàng)式定理聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了在知識交匯點(diǎn)處設(shè)計數(shù)學(xué)考題的思想，特別是用二項(xiàng)式定理證明不等式的技巧得到了充分展示，考查了對知識綜合運(yùn)用的能力．平面向量的知識與其他有關(guān)知識得到了很好的整合，是典型的交匯熱點(diǎn)試題．

二、平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

分析借助向量不等式|a·b|≤|a||b|等號成立的條件，構(gòu)造向量，可化難為易.

點(diǎn)評本題利用向量不等式|a·b|≤|a||b|等號成立的條件，成功地將三角恒等式的證明轉(zhuǎn)化為向量問題，證法簡潔流暢，利用平面向量的概念和坐標(biāo)運(yùn)算，將三角函數(shù)問題向量化，體現(xiàn)了“向量問題函數(shù)化、函數(shù)問題向量化”的等價轉(zhuǎn)化思想，其中模的平方與向量數(shù)量積之間的關(guān)系|a|2=a·a=x2+y2，a=(x，y)是向量和實(shí)數(shù)互化的依據(jù)和橋梁，也是重要的轉(zhuǎn)化方法.