“1”在數學問題中的妙用

王嫣然

(河北省衡水中學 053000)

數學中有不少與“1”有關的關系式，巧妙運用“1”，可以將解題變得簡單.很多時候“1”就象一把鑰匙，往往成為解題的關鍵.

一、三角函數中“1”的變形

三角函數中涉及到“1”的關系式有sin2α+cos2α=1，tan45°=1，tanαcotα=1，sec2α-tan2α=1等.在具體問題中將“1”進行適當的變形可以使問題簡單化.這方面的研究較多，我們僅舉一個比較典型的例子.

例1 已知tanα=m，求asin2α+bsinαcosα的值(a，b，m均為實數).

二、不等式中的運用

在涉及到基本不等式的有關問題時，“1”的靈活運用比較關鍵，為了挖掘出定積的情況，根據“1乘以任何一個式子大小不變”，利用代換法，變換所求式子，可得到定積條件.

三、比較大小

例3 已知a>0，b>0且a≠b，比較aabb與abba的大小.

由(1)(2)得aabb>abba.

四、概率中的應用

例4 房間里有4個人，假定每個人的生日在12個月中的某一個月是等可能的，求至少有兩個人的生日在同一個月的概率.

五、整式的化簡求值

對整式進行化簡求值，有時可以利用“1”進行恒等變形從而解決問題.

因為a+b+c=0，所以原式=-3.

六、復數中的運用

證明由題意知 1，ω1，ω2為方程x3-1=0的三個根，即為(x-1)(x2+x+1)=0的三個根，所以ω1，ω2為x2+x+1=0的兩個根，ω1ω2=1.