例談數形結合思想解決導數問題

王藝璇

(河北省唐山市第一中學 063000)

數形結合是數學解題中常用的思想方法，使用這種方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷.所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法.數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合.

縱觀近幾年的高考試題，用數形結合的思想方法解決抽象的數學問題，成為高考命題的熱點.數形結合思想在導數的應用主要體現在導數的幾何意義的應用，下面以一道高考題為例來說明.

(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值，設函數h(x)=min{f(x),g(x)}，討論h(x)零點的個數.

解(1)設曲線y=f(x)與x軸相切于點(x0,0),則f(x0)=0,f′(x0)=0即

(2)分析：利用數形結合f(x)的圖象不能確定，而g(x)的圖象如圖：因此欲找最小函數，只要在給定的區間上找最低函數曲線即可.如圖1：

當x∈(1,+)時，g(x)=-lnx<0從而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,

故h(x)在(1,+)上無零點，如圖2：

故x=1不是h(x)的零點.

當x∈(0,1)時，g(x)=-lnx>0，故只需考慮f(x)在(0,1)上的零點個數.

評析：此題考查了導數的幾何意義，利用導數比較函數值得大小，考查了分類討論思想及數形結合思想，考查綜合分析問題解決問題的能力.

綜上，數形結合是解決數學問題最重要的思想方法，特別是在高考導數題目中發揮著巨大作用.往往是在解決的全過程中，不斷地通過數與形的結合，將抽象的問題具體化，通過圖形找到解決問題的突破點，然后用數的推理去驗證形的準確性，使解題過程達到順暢通行！