轉化解題中的5大關口

王柄杰

(河南省商丘市第一高級中學 476000)

思想是行動的導航器,是行動的指路燈,在數學思想指引下的解題,必能產生“會當凌絕頂,一攬眾山小”的感想,而轉化思想又堪稱幾大數學思想之首,熟練地掌握它,是每一位考生追求的目標.那么如何才能實現這個目標呢?這就是搞清利用轉化思想解題的5大關口,完成解題的轉化.

關口1:利用消元完成轉化

評析將兩個變量的關系通過消元轉化為一個變量求解, 其實數學的奧妙就在于此,一次不經意的轉化,貌似偶然,實則必須.

關口2:利用補形完成轉化

例2 已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點,若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為( ).

圖1

評析本題想法基于“三組對棱長度分別相等的四面體可以嵌入到一個長方體中”,但本題中四面體只有一對對棱長度相等,所以它只能嵌入到一個特殊的四棱柱(或平行六面體)中,轉化成一個動態的兒何結構,通過體積計算把求體積最大值轉化為求線段長度的最大值.

關口3:利用圖象完成轉化

A．-2 B．2 C．-1 D．1

圖2

評析新的背景,老的問題.在確定了圖象之后,即可尋求對稱直線經過的定點轉化，過程簡約而不失機智.

關口4:利用分類完成轉化

例4 過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線L,使L與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,這樣的直線L可以作( ).

圖3

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

解第一類：通過點A位于三條棱之間的直線有1條體對角線AC1；第二類：在圖形外部和三條棱的夾角相等,有3條.合計4條.

評析整體突破較為困難,可以化整為零,各個突破.

關口5:利用平面完成轉化

例5 到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點,在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內的軌跡是( ).

A.直線 B.橢圓 C.拋物線 D. 雙曲線

圖4

解如圖4,作出直線a,b的公垂線,平面α內動點P滿足條件,過P作a,b的垂線段AB,垂足分別為M,N,有PM=PN.過P作直線b在平面α射影的垂線,垂足為C.

由于PA2=PM2+AM2,PN2=NC2+PC2,AM=PC,NC=AB(定值)得AB2=AP2-2AM2.

設AB=k,以A為原點,AM為x軸,AC為y軸,AB為z軸建立空間坐標系,設P(x,y,0),由AB2=AP2-2AM2得k2=x2+y2-2y2,即x2-y2=k2.顯然所求軌跡為等軸雙曲線.

評析從已知信息來看,直線a,b的相對位置是確定的,因此以a,b的公垂線為突破口,構建出可以利用的背景,得出了軌跡的約束條件.