高考數學抽象函數解題方法探討

黃立峰

(江蘇省常州市武進區湟里高級中學 213000)

抽象函數是一類比較綜合的題型，它主要就是指題目中不給出具體的式子，只給出一些具有某些性質或者是運算規律的函數.這種抽象函數是高中學習的難點也是高考考查的重點，它能夠有效考查學生們分析問題、解決問題的能力和邏輯思維，所以學生在日常學習中一定要重視對數學中抽象函數的學習.接下來，本文將主要就常見的抽象函數類型以及相應的解題思路等幾個方面進行詳細的研究和探討.

一、高考抽象函數中常用的幾種解題思路

抽象函數解題是一個復雜且考查知識點較多的題型，常見的解題思路有三種：化抽象為具體，還原抽象函數本質；數形結合，通過畫圖使抽象函數形象化；摘取有效信息，使函數有效化.其中，化抽象為具體，還原抽象函數本質就是考慮到出題人的意圖而得出的一種解題思路，出題人在進行出題時不會亂出，而是根據已有函數的共性來設問，這就要求解題人在進行解題時要將給出的抽象函數和我們所學過的函數聯系起來，發現共性，進而找出函數的具體形式和性質以便解題.數形結合，通過畫圖使抽象函數形象化是在做數學題中最常用的一種解題思路，有時候求解抽象函數的解析式并不容易，所以我們可以根據給出的條件畫出圖象，要注意的是在畫圖象的時候要充分考慮其奇偶性、周期等性質.摘取有效信息，使函數有效化這種方法是在前兩種方法都無法解題時用到的，這時候我們就必須深入挖掘題干中給出的有效信息，然后再結合圖象等方法來解題.

二、高考中數學抽象函數常見的題型

1.解函數值

針對這種求函數值的問題，可以將其和具體的函數進行聯想，從而找到解題的突破口.以下面這道題為例：

例1 在實數集合中存在函數F(x),已知函數F(x+2)[1-F(x)]=1-F(x),F(-2)=1-31/2,那么由上述條件可以得出F(2006)為多少？

解上面并沒有給出具體的函數，這就需要學生們思路靈活，學會化抽象為具體，由已知條件我們可以得出F(x+2)=[1+F(x)]/[1-F(x)].我們可以看到題中給出的是求F(2006)的值，如果一步一步代公式求是十分麻煩的.觀察上面的式子可以看出這個式子和tan(x+π/4)=(1+tanx)/(1+tanx)是有相似之處的，根據以往的學習，我們知道tanx是有周期性的，所以相應的tan(x+π/4)也是有周期性的.由上面的式子和給出的信息我們可以列出如下公式:

F(x+8)=F[(x+4)+4]=-1/F(x+4)=F(x).

由上面兩個式子我們可以得出F(2006)=F(2000+6)=F(8*250+6)=F(6)=F(-2+8)=F(-2)=1-31/2.

在求解類抽象函數問題時，要注意找到的具體函數保證任何條件下的抽象函數結論都成立，在找出具體函數之后就可以找到相應的性質進而將問題解出.

2.比較函數的大小

在比較大小時，大多數人的思路就是將實際數值求出來然后再比較大小，這種思路不僅復雜還存在著極大求不出的可能.因此，針對這種題型可以采用圖象的方法解決.

例2 已知在(-∞，+∞)上存在函數F(x)是增函數，存在函數G(x)是偶函數，這兩個函數在(0，+∞)上的圖象重合.存在任意實數a>b>0，那么下列不等式中哪幾個是正確的？

(1)F(b)-F(-a) >G(a)-G(b);

(2)F(b)-F(-a)

(3)F(a)-F(-b)

(4)F(a)-F(-b)

解我們可以根據上述條件畫出F(x)和G(x)的圖象，如右圖.通過圖象我們可以得出選項(1)和(3)是成立的.

這種數形結合的方法是較為常用的一種方法，既簡單又節省時間，將圖象畫出后便可以直接觀察函數，從而輕松解決問題.

3.求具體的函數解析式

除了上面幾種，代入特殊值、等價換元也是求解抽象函數常用的方法.

例3 現有一函數，滿足條件F(F(π/2)=b,其中b為常數.已知F(0)=m(常數)，F(x+y)+F(x-y)=2F(x)cosy,求F(x)的解析式.

解我們可以對x、y進行賦值，令x=0，y=n,則有F(n)+F(-n)=2mcosn.設x=F(π/2)+1，y=F(π/2)，則F(π+n)+F(n)=0；設x=F(π/2)，y=F(π/2)+1，則F(π+n)+F(-n)=-2bsinn.根據上面三個式子可以得出F(x)=acosx+bsinx.

綜上所述，抽象函數作為高考數學中常見的一個題型，占有很大的比重，這就要求學生們在平常做題時要掌握相應的解題技巧，學會挖掘題干中的有效信息，利用化抽象為具體，數形結合、代換等方法，針對不同題型靈活解題，從而實現高效、快速的解題.