構(gòu)造函數(shù) 曲徑通幽

邊紅霞

(河北省易縣中學(xué) 074200)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容，一方面，函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，使數(shù)學(xué)達(dá)到了一個(gè)無與倫比的境界，另一方面，函數(shù)思想滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，如近幾年高考導(dǎo)數(shù)試題，都以函數(shù)為背景，探討方程、不等式、參數(shù)的取值范圍等問題.在解答的過程中，當(dāng)遇到阻礙，幾經(jīng)曲折，山窮水盡之處，構(gòu)造函數(shù)，成為力挽狂瀾之舉.

一、確定方程的根

函數(shù)、方程、不等式三者之間存在著密切聯(lián)系，經(jīng)常通過相互轉(zhuǎn)化來達(dá)到解決問題的目的.特別是對(duì)于求方程的根，一些復(fù)雜的多種運(yùn)算構(gòu)成的方程，更是無從求解，這時(shí)，可以考慮構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的零點(diǎn)，來確定方程根的個(gè)數(shù).

二、證明不等式

在證明不等式時(shí)，當(dāng)所證式子的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，用通常的比較法、配方法、分解因式等方法不能正常解決時(shí)，可以構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值等生成不等關(guān)系，證明不等式，使解答過程峰回路轉(zhuǎn).

三、求參數(shù)的取值范圍

對(duì)于求參數(shù)范圍問題，一般是通過函數(shù)思想來解決.但為了解答的方便，當(dāng)式子的結(jié)構(gòu)復(fù)雜、思路不清晰時(shí)，往往要先進(jìn)行變形，然后再構(gòu)造新函數(shù)，通過研究函數(shù)的極值來解決.

例3 (2013年全國卷Ⅰ理)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2;(1)求a,b,c,d的值；(2)若x≥-2時(shí)，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

綜上，k的取值范圍是[1,e2].

在解答導(dǎo)數(shù)問題中，都以函數(shù)為前提，無論是方程、不等式、參數(shù)的范圍，都是在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想解決，在遇到重重困難時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，曲徑通幽！