立體幾何中的翻折問題

莫碧華

(重慶市第三十七中學(xué)校 400084)

立體幾何的翻折問題是指將一平面圖形翻折后變成空間圖形，然后根據(jù)平面圖形的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等來研究空間圖形中各元素間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等問題．解決翻折問題的關(guān)鍵是確定翻折前后的不變量與改變量．在解題時仔細(xì)審視從平面圖形到立體圖形的幾何特征的變化情況．

一、翻折中的線面位置關(guān)系的判定

通過平面圖形的翻折后變成空間圖形，進(jìn)而研究翻折后的空間圖形中的點、線、面的位置關(guān)系，判定相關(guān)的點、線、面的平行或垂直關(guān)系等．

例1 如圖，以等腰直角△ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD翻折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：

①AB⊥CD；

②△BAC是等邊三角形；

③三棱錐D—ABC是正三棱錐；

④平面ABD⊥平面ABC；

其中正確的是____．(寫出所有正確命題的序號)

解析由題知，CD⊥平面ABD，故CD⊥AB，①正確；AD為等腰直角△ABC的斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，則AB=AC=BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA=DB=DC，又由②知③正確；由①知④錯.故填：①②③．

點評涉及翻折中的線面位置關(guān)系的判定，根據(jù)翻折前后所對應(yīng)的平面圖形與空間圖形的位置關(guān)系，判定線線、線面、面面的平行、垂直等位置關(guān)系．

二、翻折中的數(shù)量關(guān)系的證明與計算

通過平面圖形的翻折后變成空間圖形，可以用來解決空間幾何體的表面積與體積，空間角，空間距離等數(shù)量關(guān)系的證明與計算等．

例2 (2016·全國Ⅱ文·19)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E、F分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

(1)證明：AC⊥HD′；

由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.

點評在解決翻折中的數(shù)量計算問題，一定要準(zhǔn)確判定翻折前后哪些數(shù)量發(fā)生變化、哪些數(shù)量沒有發(fā)生變換，以及翻折后給出的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合空間線面的位置關(guān)系來處理有關(guān)空間角、空間距離以及幾何體的表面積或體積等計算問題．

三、翻折中的幾何量的最值問題

通過平面圖形的翻折變成空間圖形，隨著翻折的變化，相應(yīng)空間幾何體中的長度、角度等相關(guān)的幾何量也隨之變化，為相應(yīng)幾何量的最值問題的埋下伏筆，也是翻折中難度最高的不定問題．

例3 (2015·浙江理·8)如圖，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′—CD—B的平面角為α，則( ).

A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥α

C．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α

解析取極限思維：當(dāng)沿直線CD翻折→180°，此時α→0°，排除A、C；當(dāng)沿直線CD翻折→0°，此時α→180°，排除D.故選B．

點評在平面圖形的翻折變化過程中，一些相關(guān)量的變化，如空間幾何體中長度、角度等存在最值問題，如何從動態(tài)過程中找到此時最值是解決問題的關(guān)鍵，通過翻折使得動態(tài)問題靜態(tài)化，達(dá)到求解翻折中的最值問題．

立體幾何的翻折問題背景簡單，立意深遠(yuǎn)，對考生空間想象能力要求很高，可以有效改善學(xué)生對立體幾何的思維定勢，構(gòu)造空間立體幾何結(jié)構(gòu)直觀圖，使靜態(tài)數(shù)學(xué)動態(tài)化，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)．