談談一個特殊的集合
——空集

張洢茼

(河北省石家莊市精英中學 050035)

空集是一個極其特殊又非常重要的集合，它不含任何元素，正因為空集的特殊性，常常成為各類考試的熱點.而在解題過程中常因忽視空集的特殊性而導致錯解，所以我們在學習過程中一定要謹慎小心.

對于空集?，在解題時必須注意它的三個性質：

①對任意集合A，都有?∩A=?和?∪A=A；

②對任意集合A，都有??A；

③對任意非空集合A，都有?A．

解題時若忽視?的存在性，就會造成解題結果的殘缺不全．下面舉幾例說明，以供同學們參考．

例1 設集合A= {x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1= 0，a∈R，x∈R}，若B?A，求實數a的取值范圍．

錯解∵A= {0，-4}，

∴B?A分以下兩種情況：

(1)當B=A時，B= {0，-4}，由此知：0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1= 0的兩個根，由根與系數之間的關系，得：

?a= 1．

(2)當BA時，B={0}或B= {-4}，并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，此時B={0}滿足題意．

綜合(1)、(2)知，所求實數a的值為a=-1或a=1．

剖析錯解只注意到B為非空集合，丟掉了B=?時的情況，當B為空集?時仍滿足B?A．因此，B?A可分為B=?，BA，B=A三種情況討論．

正解除了前面兩種情況外，還有B=?時，此時Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1．

綜合前面三種情況知，所求實數a的值為a≤-1或a=1．

例2 若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∩B=B，求m的值.

剖析錯解只考慮B≠?時的情況，當B=?時，同樣有A∩B=B成立.

正解易得A={x|x2+x-6=0}={-3，2}.

∵A∩B=B，

∴當B=?時，m=0適合題意；

例3 已知集合A={x|x2-5x+6=0}，集合B={x|ax-4=0}，且A∪B=A，求實數a的值組成的集合C．

錯解由x2-5x+6=0，得x=2或x=3.

當x=2時，a=2；

剖析上述解答只注意了B為非空集合，實際上，B=?時，仍滿足A∪B=A，當a=0時，B=?，符合題意．上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”這一結論．

正解∵A∪B=A，∴B?A．

當B=?時，a=0．

∵當B≠?時，由x2-5x+6=0，得x=2或x=3．

當x=2時，a=4；

例4 已知A={||x-1|≤a}，B={x|x<-6或x>4}，且A∩B=?，求實數a的取值范圍.

分析由于集合B不是空集，對集合A的化簡和辨別是首先要解決的問題.

解(1)當a<0時，由于|x-1|是非負數，故A=?，這時A∩B=?，符合題意；

(2)當a=0時，A={||x-1|≤0}={1}，此時A∩B=?，也符合題意；

綜合得，實數a的取值范圍是a≤3.

例5 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0},若A∩B=B,求實數a的值.

解A={x|x2-3x+2=0}={1,2},

由x2-ax+3a-5=0知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).

(1)當2

(2)當a≤2或a≥10時，Δ≥0.

若x=1，由1-a+3a-5=0即a=2，此時B={x|x2-2x+1=0}={1}?A;

若x=2，由4-2a+3a-5=0，即a=1，此時B={2,-1}A.

由(1)(2)可知，當2≤a<10時，均有A∩B=B.

說明通過以上例題，我們發現尤其在求解有關集合的交集、并集的時候，特別要注意不要丟掉空集這一特殊情況.同學們在學習新知識的時候要善于總結，以防出錯．