從一道行列式的演化談行列式的計算方法

王亞林

摘 要：行列式是線性代數中的核心內容，在線性方程組的解、矩陣的特征理論等方面的研究中扮演著重要角色。行列式的計算既是教學中的一個重點，也是利用行列式解決問題的關鍵。本文從一道文字行列式出發，通過行列式中元素的不同變化觀察它們之間的特點，針對不同特點給出相應計算方法，凸顯了行列式計算中一題多解的特性，同時也培養了從已有知識構建新知識的知識建構能力。這些探討為今后指導教學和利用行列式解決問題奠定了一定的基礎。

關鍵詞：行列式；矩陣分解；降階理論；知識建構

行列式在數學中，是由解線性方程組產生的一種算式，亦可看作有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。行列式是由日本數學家關孝和與德國數學家萊布尼茲在17世紀晚期提出的，它在線性代數、多項式理論以及微積分學中發揮著重要作用。計算高階行列式往往是復雜而困難的事，但在實際教學、實際問題和理論問題中都是必須要解決的。從理論上講，必可用行列式的性質將原行列式化為上（下）三角行列式，但這通常只對數字行列式奏效，一般的文字行列式未必能實現這一想法，因此需要另想他法。所謂文字行列式就是元素中含有未定元的行列式。

下面重點討論文字行列式的計算。

首先，文字行列式由于其元素的未定性導致它比數字行列式更為抽象。其次，在文字行列式的計算過程中，有時需要對未定元是否取某些值進行討論。因此給學生的認知帶來一定的困惑，同時增加了學生使用行列式的性質和已有方法計算文字行列式的難度。為了解決文字行列式計算中出現的困擾，首先從一個簡單的文字行列式出發，通過分析該文字行列式的特點，利用行列式的性質和一些基本的計算方法實現了它的計算。其次通過改變原有文字行列式的元素，對比新的行列式與原有行列式的異同，觀察變化前后行列式計算方法的區別與聯系。最后通過上述實例重點總結文字行列式的計算技巧和每種行列式計算方法的關鍵點。

我們先給出行列式計算中經常用到的一些性質和定理。它們的證明可參考中的相應章節。

性質1 互換行列式的兩行（列），行列式変號。

性質2 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。

性質3 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則行列式為零。

性質4 若行列式的某一行（列）的元素都是兩組數之和，則此行列式等于兩個行列式之和，這兩個行列式的這一行（列）分別是第一組數和第二組數，而其余各行（列）與原來行列式的相應各行（列）相同。

性質5 把行列式的某一行（列）乘以同一個數然后加到另一行（列）對應元素上去，行列式不變。

定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應代數余子式乘積之和，即

下面我們從一個簡單的文字行列式的實例出發，通過行列式中元素的變換，探討文字行列式的計算方法和技巧。

例1：

分析：n階行列式Dn有如下特點：①Dn的第i行有公因子[ai]，第j列有公因子[bj]，其中[i，j=1，2，……，n]；②Dn對應的n階矩陣能夠分解成一個n維列向量和一個n維行向量的乘積。基于特點①我們可通過行列式的性質（性質2和性質3）與加邊法（升階法）兩種方法計算該行列式；特點②恰好符合Binet—Cauchy定理的條件，因此可利用Binet—Cauchy定理的結果獲得此行列式的值。具體解法如下。

解：

方法一：利用行列式的性質。

方法二：加邊法。

給Dn增加一行一列得到一個新的行列式[Mn+1]，有

方法三：利用Binet—Cauchy定理。

分析：例2中的n階行列式是給例1中的n階行列式每個元素加1得到的一個新的行列式。此行列式表面上不再具有例1中的特點①，但通過行列式的性質5處理之后部分具有例1中的特點①，類似于例1中的特點②得到了保留，同時這種變化使此行列式有了新的特點。具體如下：①Dn的第i行含有[ai]，第j列含有[bj]，其中[i，j=1，2，……，n]；②Dn對應的n階矩陣能夠分解成一個[n×2]矩陣和一個[2×n]矩陣的乘積；③每一行（列）中的元素都是兩組數之和。基于特點①我們可通過行列式的性質（性質5、性質2和性質3）與加邊法兩種方法計算該行列式；特點②恰好符合Binet—Cauchy定理的條件，因此可利用Binet—Cauchy定理的結果獲得此行列式的值；特點③滿足行列式性質3的要求，籍此可采用分裂法計算此行列式。具體解法如下。

解：

方法一：利用行列式的性質。

方法二：加邊法。

給Dn增加一行一列得到一個新的行列式[Mn+1]，有

方法三：利用Binet—Cauchy定理。

方法四：分裂法。

當n=1時，[D1=1+a1b1]；

當[n≥2]時，將Dn按第1列分裂成兩個行列式之和，再將第一個行列式的第1列乘（-1）加到第j列，然后從第j列提取公因式[bj]（[j=2，3，……，n]），將第二個行列式的第1列提取公因式[b1]后乘（[-bj]）加到第[j]（[j=2，3，……，n]）列，有

分析：例3中的n階行列式是給例1中的n階行列式主對角線上每個元素加1得到的一個新的行列式。此行列式具有如下特點：①Dn的第i行含有[ai]，第j列含有[bj]，其中i，j=1，2，[……]，n；②每一行（列）中的元素都是兩組數之和；③Dn對應的n階矩陣能夠寫成一個n階單位陣加上一個n維列向量與一個n維行向量的乘積。基于特點①可通過加邊法計算該行列式；特點②滿足行列式性質3的要求，籍此可采用分裂法計算此行列式，與例2中的分裂法所不同的是這里我們先獲得該行列式的遞推公式，再配合遞推法獲得此行列式的值；特點③恰好具有定理3的形式，因此可利用降階定理的結果獲得此行列式的值。具體解法如下。

方法一：加邊法。

把Dn增加1行1列，得到一個[n+1]階行列式[Mn+1]，有

方法二：分裂法。

將Dn按第n列分裂成兩個行列式之和，再將第一個行列式按第n列展開，將第二個行列式的第n列提取公因子（[-bn]）后乘[bj]加到第[j]（[j=1，2，……，n-1]）列，有

方法三：利用降階定理。

分析：例4中的n階行列式可以看做例3中的n階行列式所含元素[aibj]變成[ai-bj]得到的一個新的行列式，其中[i，j=1，2，……，n].例4與例3的這種關系為我們計算例4中的行列式提供了一定的思想，但就同一方法而言例4的計算復雜度比例3要高，甚至對例3很奏效的一些方法對于解決例4卻變得很困難，例如分裂法和送取法。例4的具體解法如下：

解：

方法一：加

方法二：利用降階定理。

例1至例4的計算涉及了行列式計算的六種常用方法：性質法、加邊法、分裂法、遞推法、利用Binet—Cauchy定理和利用降階定理。這些方法的核心是行列式的性質，而運用這些方法計算行列式的核心是掌握每種方法的本質和行列式自身的特點。這里所謂的性質法主要是應用性質3的結論，一般情況下此過程需要其它性質輔助實現。加邊法以定理1為理論依據，以保持原行列式的值不變為原則，以簡化行列式的計算為目的，在原行列式的基礎上增加一行一列的方法，一般增加的一行或一列的元素由0和1組成，此外的一行或一列的元素則要根據原行列式的特點，選擇原行列式中的某些原有元素。最后，上面僅給出了計算行列式的一些基本方法，對于一些技巧性更強或針對特定形式的行列式的計算方法可參看。

參考文獻

[1]屠伯塤.線性代數方法導引[M].上海：復旦大學出版社，1986.

[2]許以超.線性代數與矩陣論[M].北京：高等教育出版社，1992.