基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的嵌套陣DOA估計(jì)算法

韓佳輝，畢大平，陳 璐，張?jiān)迄i

（國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，合肥 230037）

0 引言

近年來，隨著戰(zhàn)場(chǎng)電磁環(huán)境日益復(fù)雜，基本的超分辨算法如 MUSIC（Multiple Signal Classification）[1]算法已經(jīng)不能滿足波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)的作戰(zhàn)需求。研究表明陣列DOA估計(jì)性能取決于陣列孔徑的大小[2]，增加陣元數(shù)目可以提高陣列孔徑，但是在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中大量增加陣元數(shù)目是不容易實(shí)現(xiàn)的。相比于相同陣元數(shù)目的均勻線陣，嵌套陣可以有效提高陣列孔徑[3]，當(dāng)陣元位置滿足一定條件時(shí)沒有角度模糊[4-5]。并且通過Khatri-Rao（KR）積[6]運(yùn)算，嵌套陣可以擴(kuò)展出大量的虛擬陣元[7]，大大增加陣列孔徑。文獻(xiàn)[8-9]在KR積運(yùn)算之后利用空間平滑實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，損失了陣列孔徑。文獻(xiàn)[10-11]雖然具有很大陣列孔徑，但是陣列形式復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用價(jià)值受限。

針對(duì)上述問題，提出了基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的嵌套陣DOA估計(jì)算法。算法采用二級(jí)嵌套陣，利用KR積運(yùn)算等效地將原陣列擴(kuò)展為虛擬均勻線陣，然后利用Toeplitz矩陣重構(gòu)信號(hào)協(xié)方差矩陣，通過特征值分解實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。該算法在不損失擴(kuò)展后陣列孔徑，提高了測(cè)向精度，并且可以在信源大于陣元數(shù)目條件下實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。

1 信號(hào)模型

圖1 二級(jí)嵌套陣

假設(shè)有陣元數(shù)目為M的二級(jí)嵌套線陣，結(jié)構(gòu)如圖1所示，由兩個(gè)均勻線陣（ULA）構(gòu)成，每級(jí)ULA陣元個(gè)數(shù)相同為M/2。陣元位置坐標(biāo)為，并且表示求解最大公約數(shù)為信號(hào)的工作波長(zhǎng)。那么此陣列不存在角度模糊[12]。P個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶不相關(guān)的信源以來波方向θ（ii=1，2，…，P）入射到該陣列上，陣列的接收信號(hào)為

式中，H表示共軛轉(zhuǎn)置，Rx表示入射信號(hào)矢量的自相關(guān)矩陣，I為M×M維單位矩陣。若信號(hào)與噪聲之間互不相關(guān)，則

式中，σi2為第i個(gè)信號(hào)源的功率。

2 虛擬孔徑擴(kuò)展

根據(jù)KR積運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)式（2）進(jìn)行向量化運(yùn)算，可得

式中，vec（·）表示將矩陣的所有列堆積成一個(gè)列向量，將矩陣向量化；為 M2×1數(shù)據(jù)矩陣；表示KR積運(yùn)算；是一個(gè)M2×P維的矩陣；，表示除了第k個(gè)元素為1其余元素均為0的列矢量。比較式（1）和式（4），可以看出式（4）類似于一個(gè)接受信號(hào)模型。在模型中，g為信源矢量；為噪聲矢量；定義陣列流形矩陣為。即

式中，?代表Kronecker積運(yùn)算，導(dǎo)向矢量變?yōu)?/p>

3 基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的DOA估計(jì)算法

考慮到空間平滑算法會(huì)損失陣列孔徑，本文選擇 Toeplitz矩陣重構(gòu)[13]的方法，直接利用式（7）中信號(hào)數(shù)據(jù)構(gòu)造如下矩陣：

式中，k，j=1，2，…，P（k+j≤Q），則式（9）可寫為

式中，

由式（11），使θ變化，通過尋找波峰來估計(jì)到達(dá)角。

綜上，本文算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1 對(duì)回波數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算陣列協(xié)方差矩陣R。

步驟2 對(duì)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行向量化運(yùn)算，得到新的接受信號(hào)模型。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 DOA估計(jì)分辨率

采用陣元數(shù)目 M=6，陣元位置坐標(biāo) z=[0，1，2，3，7，11]的陣列。兩不相關(guān)窄帶信號(hào)分別以 θ1=-40°，θ2=-15°兩角度入射，信號(hào)波長(zhǎng)=2。信噪比SNR=0 dB，快拍數(shù)500，采用本文方法與MUSIC算法得到的結(jié)果如圖2所示。

圖2 本文方法與MUSIC算法DOA估計(jì)結(jié)果

從圖2的結(jié)果可以看出，對(duì)于來自θ1，θ2的兩個(gè)窄帶不相關(guān)信號(hào)，兩種方法都能實(shí)現(xiàn)角度估計(jì)，但本文算法空間譜較MUSIC算法擁有更低的旁瓣，估計(jì)更加準(zhǔn)確。

4.2 可估計(jì)信號(hào)個(gè)數(shù)

采用與上一節(jié)相同的陣列模型。信源數(shù)目P=8，窄帶不相關(guān)信源分別以角度 [-40°，-35°，-20°，-10°，0°，5°，15°，25°]入射到此陣列上，信號(hào)波長(zhǎng)=2。信噪比SNR=0 dB，快拍數(shù)500，利用本文算法得到的結(jié)果如圖3所示。

圖3 本文算法多目標(biāo)DOA估計(jì)結(jié)果

從圖3結(jié)果可以看出，在信源數(shù)目大于陣元數(shù)目的情況下，本文算法可以無模糊地估計(jì)出信源DOA，并且空間譜旁瓣很低，角度分辨率很高。可見，通過虛擬孔徑擴(kuò)展之后，本文算法突破了傳統(tǒng)算法中對(duì)信源數(shù)目的限制，增加了可估計(jì)信源數(shù)目。

4.3 均方根誤差

同樣采用上一節(jié)的陣列模型。信源數(shù)目P=1，信號(hào)以θ=10°入射，信號(hào)波長(zhǎng)=2。信噪比從-12 dB變化到8 dB，每1 dB做300次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)。快拍數(shù)500。在仿真中加入MUSIC算法作為比較，仿真結(jié)果如下頁圖4所示。

從圖4可以看出，相較于MUSIC算法，信噪比變化對(duì)本文算法性能影響不大。當(dāng)信噪比低于-6 dB時(shí)，本文算法擁有比MUSIC算法更低的均方根誤差。當(dāng)信噪比較高時(shí)，本文算法均方根誤差略高于MUSIC算法。可見，本文算法性能穩(wěn)定，且能夠適應(yīng)更低的信噪比。

圖4 均方根誤差隨信噪比變化

信噪為0 dB，快拍數(shù)從0變化到200。其他條件同上。比較快拍數(shù)對(duì)本文算法和MUSIC算法影響結(jié)果如圖5所示。

圖5 均方根誤差隨快拍數(shù)變化

從圖5可以看出，相較于MUSIC算法，本文算法對(duì)快拍數(shù)敏感度不高。在快拍數(shù)低于90大于10時(shí)，MUSIC算法性能急劇下降，本文算法仍能夠擁有較低的均方根誤差，保持較高的測(cè)向性能。當(dāng)快拍數(shù)大于90時(shí)，本文算法相較與MUSIC算法擁有較大的均方根誤差。可見，本文算法能夠適應(yīng)更低的快拍數(shù)。性能比較穩(wěn)定。

4.4 估計(jì)成功概率

同樣采用上一節(jié)的陣列模型。信源數(shù)目P=1，信號(hào)以 θ=15°入射，信號(hào)波長(zhǎng)=2。信噪比從-30 dB變化到10 dB，每1 dB做300次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)。快拍數(shù)500。在仿真中加入MUSIC算法作為比較，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 估計(jì)成功概率隨信噪比變化

由圖6可知，本文所提出的算法對(duì)信號(hào)的分辨門限大約為-13 dB，而MUSIC算法分辨率門限大約為-5 dB。這說明本文算法的分辨率門限相比于MUSIC算法提高了8 dB。這是因?yàn)楸疚乃惴ㄔ黾恿颂摂M陣元，成功分辨概率增加。

5 結(jié)論

本文針對(duì)常規(guī)均勻線陣DOA估計(jì)中可測(cè)信源數(shù)目不足的問題，提出了一種基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的嵌套陣DOA估計(jì)算法。通過對(duì)二級(jí)嵌套陣接受信號(hào)進(jìn)行KR積處理，將陣列虛擬成均勻線陣，提高陣列自由度，增加虛擬陣元數(shù)。然后利用處理后的信號(hào)重構(gòu)Toeplitz矩陣，對(duì)其進(jìn)行特征值分解，結(jié)合MUSIC算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)多于陣元數(shù)目信號(hào)的DOA估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)證明，與基本MUSIC算法相比，本文算法估計(jì)精度較高，同時(shí)在低信噪比和小快拍情況下，具有較好的估計(jì)性能。因此，本文算法適用于噪聲環(huán)境復(fù)雜，處理信號(hào)數(shù)目較多的小型陣列天線偵察系統(tǒng)。