基于蘭切斯特方程的戰(zhàn)斗時(shí)滯分析

楊戈方

（陸軍邊海防學(xué)院，昆明 650207）

0 引言

我國(guó)古代的《漢書·項(xiàng)籍傳》和現(xiàn)代一些軍事強(qiáng)國(guó)以及我周邊的一些國(guó)家都提出先發(fā)制人的戰(zhàn)略思想；現(xiàn)代高技術(shù)戰(zhàn)爭(zhēng)，強(qiáng)調(diào)“先敵發(fā)現(xiàn)，先敵打擊，先敵壓制”，其深刻的作戰(zhàn)機(jī)理必須引起我們的高度重視。先發(fā)制人的戰(zhàn)略思想主要體現(xiàn)是當(dāng)戰(zhàn)爭(zhēng)開始時(shí)，使敵方延遲一段反應(yīng)時(shí)間，己方先動(dòng)而謀優(yōu)勢(shì)，先動(dòng)制敵于死地。先發(fā)制人的戰(zhàn)略思想在定量的分析中，主要在文獻(xiàn)[1-6]中有過(guò)一些研究，其主要的方法是利用改進(jìn)的蘭切斯特方程或者時(shí)滯的蘭切斯特方程對(duì)作戰(zhàn)其中的一方進(jìn)行延遲一段反應(yīng)時(shí)間，即戰(zhàn)斗時(shí)滯，用解析法、數(shù)值計(jì)算以及仿真模型計(jì)算等方法研究雙方的交戰(zhàn)，得到先發(fā)制人的定量研究結(jié)果，但是這些研究還不夠全面，未給出一般條件，個(gè)別還存在不嚴(yán)密的地方。同時(shí)，對(duì)后發(fā)制于人的戰(zhàn)略思想還沒(méi)有見(jiàn)到定量研究，在《荀子·議兵》、《孫子兵法》和毛澤東軍事思想中有專門的后發(fā)制人論述，古今中外的很多戰(zhàn)例都是運(yùn)用后發(fā)制人戰(zhàn)略思想的典范。為了更加全面地研究先發(fā)制人和后發(fā)制人的作戰(zhàn)機(jī)理，運(yùn)用蘭切斯特方程進(jìn)行解析分析，從弱勢(shì)的一方對(duì)先發(fā)制人以及后發(fā)制于人的戰(zhàn)略思想進(jìn)行更為深入和全面的分析研究，給出遲滯時(shí)間的一般條件。

1 建立蘭切斯特方程

1.1 蘭切斯特方程

設(shè)紅藍(lán)雙方進(jìn)行對(duì)抗戰(zhàn)斗，可建立以下蘭切斯特方程[7-9]：

1.2 蘭切斯特方程的求解

1.2.1 平方律

式（1）除以式（2）得：

解得：

式（3）也可以寫為：

由平方律知：誰(shuí)初始戰(zhàn)斗力大，誰(shuí)就取勝。

1.2.2 蘭切斯特方程的解

對(duì)式（1）兩邊求導(dǎo)得：

將式（2）帶入式（4）得：

2 蘭切斯特方程的戰(zhàn)斗時(shí)滯分析

2.1 先發(fā)制人情況下蘭切斯特方程戰(zhàn)斗時(shí)滯時(shí)間

假設(shè)紅方先發(fā)制人，在戰(zhàn)斗剛開始，遲滯藍(lán)方T個(gè)時(shí)間單位，即在這T個(gè)時(shí)間單位內(nèi)，α=0，并且，則蘭切斯特方程為：

解得：

即當(dāng)紅方先發(fā)制人，紅方遲滯藍(lán)方的時(shí)間T滿足式（8）時(shí)，紅方可獲得勝利。

2.2 后發(fā)制人情況下蘭切斯特方程戰(zhàn)斗時(shí)滯時(shí)間

假設(shè)紅方后發(fā)制人，當(dāng)紅藍(lán)雙方戰(zhàn)斗T1個(gè)時(shí)間單位后，紅方再遲滯藍(lán)方T個(gè)時(shí)間單位，即在這T個(gè)時(shí)間單位內(nèi)，α=0，并且。

在T1、T時(shí)刻時(shí)，由式（6）得紅方初始兵力均為：

在T1時(shí)刻時(shí)，由式（7）得藍(lán)方初始兵力為：

由蘭切斯特方程：

解得：

紅方要戰(zhàn)勝藍(lán)方，則在T時(shí)刻的紅方初始戰(zhàn)斗力必須大于藍(lán)方初始戰(zhàn)斗力，即：

解得：

即當(dāng)紅方后發(fā)制人，紅方遲滯藍(lán)方的時(shí)間T滿足式（9）時(shí)，紅方即可獲得勝利。

2.3 先發(fā)制人情況下蘭切斯特方程戰(zhàn)斗時(shí)滯時(shí)間小于后發(fā)制人情況下戰(zhàn)斗時(shí)滯時(shí)間

定理 1：由 2.2的式（8）、式（9），當(dāng) T1≠0則有：

定理 2：當(dāng) T1=0時(shí)，式（9）即為式（8）。

以下進(jìn)行定理1的證明。

定理1證明：

由式（8）、式（9）得：

即：

即證：

即：

定理2證明：略。

3 算例

根據(jù)以上得到的先發(fā)制人和后發(fā)制人的遲滯時(shí)間的條件式（8）和式（9），下面通過(guò)4個(gè)算例分析說(shuō)明。這里運(yùn)用MATLAB[10]畫出紅藍(lán)雙方戰(zhàn)斗對(duì)抗兵力變化的X1，X2的圖像，即兵力變化圖1～圖4。其中，由“*”畫出的線是紅方兵力變化曲線；由“.”畫出的線是藍(lán)方兵力變化曲線。

3.1 先發(fā)制人算例

例1設(shè)α=0.9，β=0.4，N1=10，N2=10，T=0.8，由2.1中的條件知，在紅方先發(fā)制人的條件下，要使紅方戰(zhàn)勝藍(lán)方，T必須滿足式（8）。

因?yàn)椋?/p>

所以在紅方先發(fā)制人的條件下，藍(lán)方戰(zhàn)勝紅方。如圖1所示。

圖1 當(dāng)T=0.8時(shí)戰(zhàn)斗雙方兵力變化圖

例2設(shè) α=0.9，β=0.4，N1=10，N2=10，T=0.9，由2.1中的條件知，在紅方先發(fā)制人的條件下，要使紅方戰(zhàn)勝藍(lán)方，T必須滿足式（8）。

因?yàn)椋?/p>

所以在紅方先發(fā)制人的條件下，紅方戰(zhàn)勝藍(lán)方。如圖2所示。

圖2 當(dāng)T=0.9時(shí)戰(zhàn)斗雙方兵力變化圖

從例1和例2看出，先發(fā)制人條件下，遲滯時(shí)間的不同導(dǎo)致勝負(fù)結(jié)果的不同。即使紅方初始戰(zhàn)斗力弱于藍(lán)方，只要遲滯時(shí)間T滿足式（8），紅方即可獲得勝利。

3.2 后發(fā)制人算例

例3設(shè) α=0.9，β=0.4，N1=10，N2=10，T1=0.2，T=1.1，由2.2中的條件知，在紅方后發(fā)制人的條件下，要使紅方戰(zhàn)勝藍(lán)方，T必須滿足式（9）。

因?yàn)椋?/p>

所以在紅方后發(fā)制人的條件下，藍(lán)方戰(zhàn)勝紅方。如圖3所示。

圖3 當(dāng)T1=0.2，T=1.1時(shí)戰(zhàn)斗雙方兵力變化圖

例4設(shè)α=0.9，β=0.4，N1=10，N2=10，T1=0.2，T=1.3，由2.2中的條件知，在紅方后發(fā)制人的條件下，要使紅方戰(zhàn)勝藍(lán)方，T必須滿足式（9）。

因?yàn)椋?/p>

所以在紅方后發(fā)制人的條件下，紅方戰(zhàn)勝藍(lán)方。如圖4所示。

圖4 當(dāng)T1=0.2，T=1.3時(shí)戰(zhàn)斗雙方兵力變化圖

從例3和例4看出，后發(fā)制人條件下，遲滯時(shí)間的不同同樣導(dǎo)致勝負(fù)結(jié)果的不同。即使紅方初始戰(zhàn)斗力弱于藍(lán)方，只要遲滯時(shí)間T滿足式（9），紅方即可獲得勝利。

從例2和例4看出，在相同的條件下，先發(fā)制人和后發(fā)制人在遲滯時(shí)間分別滿足式（8）和式（9）時(shí)，紅方均獲得勝利，但是先發(fā)制人情況下的最小遲滯時(shí)間要小于后發(fā)制人情況下的最小遲滯時(shí)間，符合2.3中的定理1。

4 結(jié)論

運(yùn)用蘭切斯特方程對(duì)戰(zhàn)斗時(shí)滯的時(shí)間、時(shí)刻進(jìn)行了分析研究，根據(jù)推導(dǎo)，給出了弱勢(shì)一方的先發(fā)制人和后發(fā)制人的一般條件。根據(jù)一般條件，弱勢(shì)一方在先發(fā)制人或者是后發(fā)制人的情況下，對(duì)不同的具體條件的戰(zhàn)斗情況，可以求出遲滯的不同時(shí)間，為軍事訓(xùn)練和作戰(zhàn)決策提供定量分析的手段和依據(jù)。這里僅討論了一方的戰(zhàn)斗時(shí)滯，而且是被壓制方在被壓制的時(shí)間段內(nèi)無(wú)任何反擊能力，還可以討論雙方交替的戰(zhàn)斗時(shí)滯，以及被壓制方在被壓制的時(shí)間段內(nèi)有一定反擊能力的情況，以上各種情況，有待更深入的研究。