基于蘭切斯特方程的戰斗時滯分析

楊戈方

（陸軍邊海防學院，昆明 650207）

0 引言

我國古代的《漢書·項籍傳》和現代一些軍事強國以及我周邊的一些國家都提出先發制人的戰略思想；現代高技術戰爭，強調“先敵發現，先敵打擊，先敵壓制”，其深刻的作戰機理必須引起我們的高度重視。先發制人的戰略思想主要體現是當戰爭開始時，使敵方延遲一段反應時間，己方先動而謀優勢，先動制敵于死地。先發制人的戰略思想在定量的分析中，主要在文獻[1-6]中有過一些研究，其主要的方法是利用改進的蘭切斯特方程或者時滯的蘭切斯特方程對作戰其中的一方進行延遲一段反應時間，即戰斗時滯，用解析法、數值計算以及仿真模型計算等方法研究雙方的交戰，得到先發制人的定量研究結果，但是這些研究還不夠全面，未給出一般條件，個別還存在不嚴密的地方。同時，對后發制于人的戰略思想還沒有見到定量研究，在《荀子·議兵》、《孫子兵法》和毛澤東軍事思想中有專門的后發制人論述，古今中外的很多戰例都是運用后發制人戰略思想的典范。為了更加全面地研究先發制人和后發制人的作戰機理，運用蘭切斯特方程進行解析分析，從弱勢的一方對先發制人以及后發制于人的戰略思想進行更為深入和全面的分析研究，給出遲滯時間的一般條件。

1 建立蘭切斯特方程

1.1 蘭切斯特方程

設紅藍雙方進行對抗戰斗，可建立以下蘭切斯特方程[7-9]：

1.2 蘭切斯特方程的求解

1.2.1 平方律

式（1）除以式（2）得：

解得：

式（3）也可以寫為：

由平方律知：誰初始戰斗力大，誰就取勝。

1.2.2 蘭切斯特方程的解

對式（1）兩邊求導得：

將式（2）帶入式（4）得：

2 蘭切斯特方程的戰斗時滯分析

2.1 先發制人情況下蘭切斯特方程戰斗時滯時間

假設紅方先發制人，在戰斗剛開始，遲滯藍方T個時間單位，即在這T個時間單位內，α=0，并且，則蘭切斯特方程為：

解得：

即當紅方先發制人，紅方遲滯藍方的時間T滿足式（8）時，紅方可獲得勝利。

2.2 后發制人情況下蘭切斯特方程戰斗時滯時間

假設紅方后發制人，當紅藍雙方戰斗T1個時間單位后，紅方再遲滯藍方T個時間單位，即在這T個時間單位內，α=0，并且。

在T1、T時刻時，由式（6）得紅方初始兵力均為：

在T1時刻時，由式（7）得藍方初始兵力為：

由蘭切斯特方程：

解得：

紅方要戰勝藍方，則在T時刻的紅方初始戰斗力必須大于藍方初始戰斗力，即：

解得：

即當紅方后發制人，紅方遲滯藍方的時間T滿足式（9）時，紅方即可獲得勝利。

2.3 先發制人情況下蘭切斯特方程戰斗時滯時間小于后發制人情況下戰斗時滯時間

定理 1：由 2.2的式（8）、式（9），當 T1≠0則有：

定理 2：當 T1=0時，式（9）即為式（8）。

以下進行定理1的證明。

定理1證明：

由式（8）、式（9）得：

即：

即證：

即：

定理2證明：略。

3 算例

根據以上得到的先發制人和后發制人的遲滯時間的條件式（8）和式（9），下面通過4個算例分析說明。這里運用MATLAB[10]畫出紅藍雙方戰斗對抗兵力變化的X1，X2的圖像，即兵力變化圖1～圖4。其中，由“*”畫出的線是紅方兵力變化曲線；由“.”畫出的線是藍方兵力變化曲線。

3.1 先發制人算例

例1設α=0.9，β=0.4，N1=10，N2=10，T=0.8，由2.1中的條件知，在紅方先發制人的條件下，要使紅方戰勝藍方，T必須滿足式（8）。

因為：

所以在紅方先發制人的條件下，藍方戰勝紅方。如圖1所示。

圖1 當T=0.8時戰斗雙方兵力變化圖

例2設 α=0.9，β=0.4，N1=10，N2=10，T=0.9，由2.1中的條件知，在紅方先發制人的條件下，要使紅方戰勝藍方，T必須滿足式（8）。

因為：

所以在紅方先發制人的條件下，紅方戰勝藍方。如圖2所示。

圖2 當T=0.9時戰斗雙方兵力變化圖

從例1和例2看出，先發制人條件下，遲滯時間的不同導致勝負結果的不同。即使紅方初始戰斗力弱于藍方，只要遲滯時間T滿足式（8），紅方即可獲得勝利。

3.2 后發制人算例

例3設 α=0.9，β=0.4，N1=10，N2=10，T1=0.2，T=1.1，由2.2中的條件知，在紅方后發制人的條件下，要使紅方戰勝藍方，T必須滿足式（9）。

因為：

所以在紅方后發制人的條件下，藍方戰勝紅方。如圖3所示。

圖3 當T1=0.2，T=1.1時戰斗雙方兵力變化圖

例4設α=0.9，β=0.4，N1=10，N2=10，T1=0.2，T=1.3，由2.2中的條件知，在紅方后發制人的條件下，要使紅方戰勝藍方，T必須滿足式（9）。

因為：

所以在紅方后發制人的條件下，紅方戰勝藍方。如圖4所示。

圖4 當T1=0.2，T=1.3時戰斗雙方兵力變化圖

從例3和例4看出，后發制人條件下，遲滯時間的不同同樣導致勝負結果的不同。即使紅方初始戰斗力弱于藍方，只要遲滯時間T滿足式（9），紅方即可獲得勝利。

從例2和例4看出，在相同的條件下，先發制人和后發制人在遲滯時間分別滿足式（8）和式（9）時，紅方均獲得勝利，但是先發制人情況下的最小遲滯時間要小于后發制人情況下的最小遲滯時間，符合2.3中的定理1。

4 結論

運用蘭切斯特方程對戰斗時滯的時間、時刻進行了分析研究，根據推導，給出了弱勢一方的先發制人和后發制人的一般條件。根據一般條件，弱勢一方在先發制人或者是后發制人的情況下，對不同的具體條件的戰斗情況，可以求出遲滯的不同時間，為軍事訓練和作戰決策提供定量分析的手段和依據。這里僅討論了一方的戰斗時滯，而且是被壓制方在被壓制的時間段內無任何反擊能力，還可以討論雙方交替的戰斗時滯，以及被壓制方在被壓制的時間段內有一定反擊能力的情況，以上各種情況，有待更深入的研究。