基于改進GM（1，1）模型的裝備故障預測*

逯 程，徐廷學，王 虹

（1.海軍航空大學，山東 煙臺 264001；2.中央軍委聯合參謀部第五十五研究所，北京 100094）

0 引言

隨著現代工業技術的不斷發展，武器裝備在自動化與信息化水平得到快速提升的同時，其組成結構也日趨復雜，裝備使用過程中所出現的各種故障問題使得后勤維修保障面臨極大的挑戰。實現裝備故障率的準確預測不僅對備件的貯存策略具有重要指導意義，還能夠為視情維修（CBM）決策提供有效支持，使裝備滿足規定的戰備完好率要求[1-2]。

灰色預測模型是處理“小樣本”、“貧信息”和“不確定性”問題的一種有力工具[3]，目前已在裝備故障預測領域得到了不錯的應用[4-7]。作為影響GM（1，1）模型預測精度和適用范圍的關鍵因素，基于背景值構造形式的計算一直是灰色預測模型領域的研究熱點[8-10]，但是現有的背景值計算公式大多計算復雜，且與背景值實際意義仍有一定差距。

基于以上不足，本文提出了一種基于背景值優化的改進GM（1，1）裝備故障預測方法。該方法基于背景值的幾何意義，從背景值與發展系數之間數量關系的角度出發，通過最小二乘法對二次參數進行估計，還原得到原始參數估計值，并結合新陳代謝對模型進行改進。通過某部隊導彈故障預測實例證明了改進GM（1，1）模型的有效性和優越性。

1 傳統GM（1，1）預測模型

設原始時間序列為[11]：

其差分形式（灰色微分方程）為：

微分方程中的參數向量為：

則待測參數的最小二乘解滿足：

還原得到原始序列的預測公式：

從以上的過程可以看出，決定GM（1，1）模型預測精度的關鍵在于參數v和u的估計是否準確，而參數的最小二乘求解過程又與的構造形式密不可分。因此，構建精確的背景值計算公式對于提高GM（1，1）模型的預測精度，避免模型從連續到離散所產生的跳躍誤差都具有重要意義。

將式（3）兩邊在區間[k-1，k]上同時進行積分得：

參數v，u在此形式下所求得的誤差最小。

本文從推導背景值與發展系數v之間數量關系的角度出發，通過最小二乘法對二次參數進行估計，還原得到原始參數估計值，提供一種背景值優化新思路。

2 GM（1，1）背景值修正模型

2.1 背景值與發展系數v的數量關系

根據中值定理[12-14]可知，存在，使得滿足：

因為在GM（1，1）模型中，通過指數形式對1-AGO序列進行近似，所以設，則上式為：

又根據背景值的幾何意義有：

2.2 擬合誤差最小化的GM（1，1）模型求解

將2.1節中新的背景值構造公式代入灰色微分方程，模型轉化為：

化簡得到：

首項系數歸一化，進而得到：

該式稱為GM（1，1）模型的變換式。利用最小二乘法對新參數向量進行估計，得到

其中

解方程組得：

思雨根本就無法進入休息狀態。他又從貼身的衣兜里把那根長發絲紙包拿出來，打開紙包,他想再一次像審犯人那樣把這根長發絲審視審視。這根栗紅色的美麗的長發絲，蜷縮在白紙上，泛著青春的光澤，像一束美麗的光線一樣，美極了，讓人浮想聯翩。這根長發絲，一定是長在一位青春靚麗的美女頭上。杜思雨看著這根長發絲出神，由憎恨、審視漸漸變成了欣賞喜愛。

將還原得到的發展系數v與灰色作用量u重新代入GM（1，1）模型中的白化微分方程：

則方程的離散解為：

2.3 新陳代謝

3 故障預測實例

以某部隊處于貯存狀態的整批導彈為研究對象，一般情況下為滿足一定的戰備完好率要求，導彈每年會定期進行通電檢測。本文以2007年～2016年共10個故障率數據（如表1所示）為樣本對本文所提預測方法進行檢驗，前8個數據點進行擬合建模，后2個數據作為模型的預測效果分析。

表1 歷史故障數據

對改進 GM（1，1）模型與傳統 GM（1，1）模型進行故障預測建模，預測結果如表2所示，分別以模擬值、相對誤差和平均相對誤差進行比較分析。

由下頁表2可以看出，不論是擬合建模還是預測階段，基于背景值優化的改進GM（1，1）模型的精度都比傳統灰色模型有了進一步的提高，其中擬合精度提高了2.29%，預測精度提高了1.58%；同時基于新陳代謝的優化模型減小了老信息點對模型精度的影響，隨著預測進程的不斷深入，新息數據對建模精度的優勢將不斷凸顯。

4 結論

針對裝備故障數據的“小樣本”和“貧信息”等特點，本文利用灰色模型進行故障預測，并提出了一種基于背景值優化的改進GM（1，1）裝備故障預測方法。該方法基于背景值的幾何意義，從背景值與發展系數之間數量關系的角度出發，通過最小二乘法對二次參數進行估計，還原得到原始參數估計值，并結合新陳代謝對模型進行改進。導彈裝備的故障預測實例驗證了該模型的有效性和優越性。

表2 預測方法性能對比