淺析輪換對稱性在積分計算中的應用

宋麗雅

長治學院師范分院 山西 長治 046000

1 輪換對稱性在積分計算中的應用的意義

在定積分的計算中,我們常利用積分區間的對稱性,結合被積函數的奇偶性,可以極大地簡化計算的過程.那么,在重積分的計算中,類似地,我們可以利用積分區域的對稱性與被積函數的奇偶性使計算更為簡便.相應地,我們還可以發現,在曲線積分中也有這樣的結果。

在解決實際問題的過程中,我們不難發現,積分區域的高度對稱性實際上表明了變量X、Y、Z之間的某種可相互替代性,這便是輪換性.一般來說,先使用輪換性簡化被積函數或使其形式易于化簡,之后再利用對稱性來解決問題,可以極大地減小我們在解決問題中的工作量.,提高解題效率,因此進一步加強對其的研究非常有必要。

2 輪換對稱性在積分計算中的應用

2.1 二重積分的輪換對稱性

平面區域D,具有輪換對稱性,即若點(x,y)∈D,則(y,x)∈D.在平面直角坐標系中,區域D具有輪換對稱性,直觀表現為區域D關于直線y＝x對稱。

例1設f(x)在[a,b]上連續,且f(x)＞0,平面區域D:a≤x≤b,a≤y≤b,證明:

例2設D:x2＋y2≤1,f(x,y)在D上連續,求cos2y)dxdy.所以

2.2 三重積分的輪換對稱性

空間區域Ω,具有輪換對稱性,即若點(x,y,z)∈Ω,則(y,z,x)∈Ω,且(z,x,y)∈Ω.在空間直角坐標系中,Ω具有輪換對稱性,直觀表現為Ω對三個坐標軸的相對位置是等同的。如Ω1:x2＋y2＋z2≤1和Ω2:(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≤2均具有輪換對稱性。

2.3 曲線積分的對稱性

設f(x,y)在曲線L上連續,其中L為平面上可求長度的曲線段,當積分弧段關于x軸對稱,記L＝L1∪L1,且L1、L1關于x軸對稱,

如果f(x,－y)＝－f(x,y),則

類似也有積分弧段關于y軸對稱的結論.但積分弧段關于原點對稱或輪換對稱性的問題,以及類似結論在空間第一類曲線積分運算中也經常出現,我們有以下結論:

(1)設f(x,y)在曲線L上連續,當積分弧段關于原點對稱,記L＝L1∪L2,且L1、L2關于原點對稱,

如果f(－x,－y)＝－f(x,y),則∫Lf(x,y)ds＝0;如果f(－x,－y)＝f(x,y),則

(2)設f(x,y)在曲線上連續,當積分弧段關于坐標x,y具有輪換對稱性,則

(3)設ff(x,y,Z)在空間曲線Γ上連續,其中Γ為空間上可求長度的曲線段,當積分弧段Γ關于y Oz坐標面對稱,記Γ1,Γ2分別為Γ在y Oz坐標面的前半部分(x＞0)和后半部分(x＜0),

如果f(－x,y,z)＝－f(x,y,z),

類似也有積分弧段Γ關于zOx、x Oy坐標面對稱的結論.

2.4 曲面積分的對稱性

設函數f(x,y,z)為有界光滑或分片光滑曲面∑上的連續函數,∑關于坐標面x＝0對稱,如果f(－x,y,z)＝－f(x,y,z),則

如果f(－x,y,z)＝f(x,y,z),則

(其中∑1＝(x,y,z)∈∑x≥{0}).

如∑關于坐標面y＝0,z＝0對稱,有類似的結論.而如果∑對坐標x,y,z具有輪換對稱性,則

以上是第一類曲面積分,這些結論我們一般都比較熟悉,而對于第二類曲面積分,我們先給出以下定義:

定義2 指定了曲面的側的曲面稱為有向曲面,根據曲面上點(x,y,z)處的法向量的方向余弦的正負,我們定義了曲面的前側(cosα＞0),后側(cosα＜0),右側(cosβ＞0),左側(cosβ＜0),上側(cosγ＞0),下側(cosγ＜0)等.

總之,在定積分的計算中,我們常利用積分區間的對稱性,結合被積函數的奇偶性,可以極大地簡化計算的過程,因此進一步加強對其的研究非常有必要。