關于水文同頻率地區組成法中相應洪量頻率的探討
2018-11-13 10:24:04黃一昕梁忠民胡義明李彬權王軍
南水北調與水利科技 2018年3期
黃一昕 梁忠民 胡義明 李彬權 王軍
摘要：水文中往往需要研究水文變量在空間上的分配規律，同頻率地區組成法是目前解決該問題的一個重要方法，但其中仍有一些理論問題懸而未解。以“上下同頻、區間相應”的組成方案為例，區間相應量的頻率C與“同頻”中設計頻率P之間的大小關系，無法判斷，目前尚無理論證明。因此，對正態分布和PⅢ分布，分別通過理論推導和統計試驗途徑，明確了C與P之間關系。對設計洪水問題，根據“上下同頻、區間相應”求得的區間相應洪量，其頻率C將大于設計頻率P；對徑流或枯水設計問題而言，區間徑流量的頻率C將小于設計保證率P。研究結果從理論上進一步明晰了同頻率地區組成法中相應量的頻率問題。
關鍵詞：同頻率地區組成法；正態分布；PⅢ型分布；設計頻率；設計保證率
中圖分類號：P333.6文獻標志碼：A文章編號：16721683（2018）03018905
Discussion on the corresponding flood frequency in the Hydrological Equivalent
Frequency Regional Composition method
HUANG Yixin，LIANG Zhongmin，HU Yiming，LI Binquan，WANG Jun
（College of Hydrology and Water Resources， Hohai University， Nanjing 210098， China）
Abstract：The spatial distribution rules of hydrological variables are often studied in hydrology.The Equivalent Frequency Regional Composition （EFRC） method is an important approach to solving this problem at present.However，there are still some theoretical issues that remain unsolved.Take as an example the composition scheme of "same design frequencies at upstream and downstream， with corresponding value at the interval"，we cannot determine which is larger between the frequency of the interval area （C） and the design flood frequency （P） at both upstream and downstream due to a lack of theoretical proof.In this study，we investigated the relationships between C and P for the normal and Pearson type III （PE3） distributions by means of theoretical derivation and Monte Carlo （MC） experiment.Results showed that C is larger than P for the design flood problem， while for the design problem of runoff or low flow， P is larger than C.Therefore，this study has clarified in theory the design frequency of corresponding value at the interval for the EFRC method.
Key words：equivalent frequency regional composition method；normal distribution；Pearson type III distribution；design frequency；design guarantee rate
設計洪水分析計算是為水利及涉水工程提供合理的水文設計值[14]，當涉及到多個站點（斷面）的分析計算時，需要處理設計斷面以上各部分設計洪水地區組成的問題。傳統的設計洪水地區組成方法主要包括地區組成法、頻率組合法和隨機模擬法[1]，其中，地區組成法是現行設計洪水地區組成計算中最為常用的方法。地區組成法研究的是當設計斷面發生設計標準洪水時，上游及其區間洪水的地區組成情況。為了在各種可能出現的洪水地區組成中，選擇一種特定的組成作為設計地區組成，使計算成果規范化且偏于安全，目前常采用同頻率地區組成法，即“上下同頻、區間相應”，或者“區間下游同頻、上游相應”[58]。另外，近年來興起的Copula函數多維聯合分布理論，也可用來分析計算洪水地區組成或峰量組合的問題[913]。但是，無論采用哪一種洪水地區組成法，對相應洪量的頻率大小一般認為是不確定的，例如，對同頻率地區組成法中“上下同頻、區間相應”的組成情況，可以根據水量平衡原理得到區間相應洪量，但區間相應洪量的頻率是多少？目前文獻中一般都籠統地概括為“其頻率可能等于P，也可能大于或小于P”，尚未見到相應的理論證明，給實際應用帶來一定困惑。
因此，本文通過理論推導和統計試驗，對同頻率地區組成法中“相應”洪量頻率大小的問題進行研究，為實際工程水文設計提供理論依據。
第16卷 總第96期·南水北調與水利科技·2018年6月黃一昕等·關于水文同頻率地區組成法中相應洪量頻率的探討1同頻率地區組成法簡介
以圖1所示的流域上游、區間及下游洪水組成為例，設X、Y和Z分別為其洪量的隨機變量，根據概率論原理，三個隨機變量的取值有無窮多種組成。目前在我國的水文頻率分析計算中，根據防洪要求，一般考慮兩種同頻率地區組成情況：
（1）當下游斷面發生設計頻率P的洪量Zp時，上游斷面發生同頻率洪量Xp，而區間發生相應的洪量Yc，即
Yc=Zp-Xp（1）
（2）當下游斷面發生設計頻率P的洪量Zp時，區間發生同頻率洪量Yp，而上游斷面發生相應的洪量Xc，即
Xc=Zp-Yp（2）
本文以“上下同頻、區間相應”情況為例，對區間相應洪水的頻率C進行理論推導與探討，明確其與設計頻率P的大小關系。
2區間相應洪水頻率大小的探討
我國設計洪水計算中一般采用PⅢ型分布描述水文極值的概率分布，但對洪水地區組成問題，多維PⅢ分布難于處理，例如，如果假設上游和下游的洪水服從PⅢ分布，則對區間洪水，因涉及到多變量PⅢ聯合分布的計算，難以確定其分布；而如果假設上、下游服從正態分布，可容易推求出區間洪水相應的正態分布函數。因此，先以正態分布情況為例，對區間洪水頻率與上下游斷面洪水設計頻率之間的大小關系進行研究，再擴展到一般分布情況。
2.1正態分布
對圖1所示的隨機變量X、Y、Z，滿足水量平衡條件Z=X+Y。進一步假設X和Y相互獨立，由于當X和Y不獨立時可采用變量代換的方法處理后使它們可按獨立隨機變量進行頻率組合，故可以統一以兩者獨立為例討論問題。
假定上、下游及區間的洪量均服從正態分布N（μ，σ2），即，上游斷面洪量X～N（μx，σ2x），區間洪量Y～N（μy，σ2y），下游斷面洪量Z～N（μz，σ2z）。圖2所示即為正態分布概率密度圖；圖中μ為均值，同時也是中位數、眾數；f（x）在x=μ處達到最大，最大值為12πσ。
令μy=mμx（m>0），σ2y=n2σ2x（n>0），
則μz=μx+μy=μx+mμx，σ2z=σ2x+σ2y=σ2x+n2σ2x，
即，變量Y和Z的分布參數均可由X的參數表示：Y～Z（mμx，n2σ2x），Z～N（μx+mμx，σ2x+n2σ2x）。
分別計算一定洪量下的上、下游以及區間的洪水頻率，以上游斷面洪量發生{X≥x}事件的頻率計算為例：
P1（X≥x）=12πσx∫+∞xe-（x-μx）22σ2xdx（3）
令x-μx2σx=t，則，x=2σx·t+μx，dx=2σx·dt
因為x∈（x，+∞），所以t∈x-μx2σx，+∞，
P1（X≥x）=12πσx∫+∞x-μx2σxe-t2·2σxdt=1π∫+∞x-μx2σxe-t2dt（4）
同理：
P2（Y≥y）=1π∫+∞y-μy2σye-t2dt=1π∫+∞y-mμx2nσxe-t2dt（5）
P3（Z≥z）=1π∫+∞z-μz2σze-t2dt=1π∫+∞z-（1+m）μx2（1+n2）σxe-t2dt（6）
對“上下同頻”，等價于P1（X≥x）=P3（Z≥z），也就是等價于其積分下限相等，即：
x-μx2σx=z-（1+m）μx2（1+n2）σx（7）
由此可以推得：
z=1+n2（x-μx）+（1+m）μx（8）
同理，可以比較由式（4）和式（5）代表的上游和區間洪量頻率的大小。
設Δ為式（4）和（5）積分下限之差，即
Δ=x-μx2σx-y-μy2σy，結合式（8）并Y=Z-X，則：
Δx-μx2σx-y-μy2σy=
（x-μx）（n+1）-n2+12nσx（9）
若Δ>0，則表明區間洪量的頻率大于上、下游斷面洪量的設計頻率；
若Δ=0，則表明區間洪量的頻率等于上、下游斷面洪量的設計頻率；
若Δ<0，則表明區間洪量的頻率小于上、下游斷面洪量的設計頻率。
因為式（9）中（n+1）-n2+12nσx>0恒成立，因此：
（1） 當x<μx時，即當上、下游斷面洪量的設計頻率大于0.5時，
Δ<0，P1（X≥x）=P3（Z≥z）>P2（Y≥y），
此時，區間相應洪量的頻率C小于上、下游斷面洪量的設計頻率P。
（2） 當x=μx時，即當上、下游斷面洪量的設計頻率等于05時，
Δ=0，P1（X≥x）=P3（Z≥z）=P2（Y≥y），
此時，區間相應洪量的頻率C等于上、下游斷面洪量的設計頻率P。
（3） 當x>μx時，即當上、下游斷面洪量的設計頻率小于05時，
Δ>0，P1（X≥x）=P3（Z≥z） 此時，區間相應洪量的頻率C大于上、下游斷面洪量的設計頻率P。 由此說明，對正態分布情形，同頻率地區組成后相應洪量那部分的頻率與設計頻率之間的大小關系，取決于上下游斷面洪量的大小。對設計洪水問題，設計頻率一般小于05，即上游和下游斷面洪量均大于均值，則按照“上下同頻、區間相應”得到的區間洪量的頻率是大于設計頻率的；換句話說，若上、下游洪量按百年一遇標準設計，則區間洪量就小于百年一遇。對枯水或徑流設計問題而言，設計頻率（或保證率）大于05，則結論正好相反。 對其他的同頻率地區組成方案，如“區間與下游同頻、上游相應”等，亦可得到相類似結論。 2.2PⅢ型分布 我國水文頻率分析中，假設洪水極值服從PⅢ型分布，對洪水地區組成問題，這涉及到多變量PⅢ聯合分布的計算問題，十分復雜，難以像上述對正態分布那樣，可采用理論推導方式討論相應洪量的頻率。因此，本文采用統計試驗方法[1415]，研究當洪水服從PⅢ型分布時，“上下同頻、區間相應”地區組成方案中，區間相應洪量的頻率問題。
考慮到實際情況中，下游洪量等于上游洪量與區間洪量之和，所以下游洪量一定是大于上游洪量（這是閉合流域的一般情形，非閉合流域或區間及沿程損失偏大的特殊情形除外）。因此，統計試驗中假定總體統計參數時，應保證隨機產生的下游洪量能大于上游洪量。為不失一般性，本研究統一取上游洪量X的均值EX=1 000，下游洪量Z的均值EZ=2 000，（當然，上下游洪量均值也可以選取其它值，但只要保證下游大于上游，結論是相同的）。同時，為涵蓋實際工程中可能出現的PⅢ型總體分布情況，使結果具有普適性，將統計試驗中離勢系數Cv和偏態系數與離勢系數的比值Cs/Cv取為一些特定值，與現行水文頻率計算的做法相一致。本研究中，上下游的離勢系數Cv分別同時取02、04、05、07、10；對偏態系數與離勢系數的比值Cs/Cv，上游斷面分別取2、3、4三種情況，而下游只取Cs/Cv=4一種情況；故共有15種總體組合的統計試驗方案。對每種方案，隨機生成10萬個“上下同頻、區間相應”地區組成的洪水樣本，分析區間相應洪量的頻率與“上下同頻”中頻率之間的大小關系；其中，設計頻率取001%、01%、1%、2%、10%、20%、25%、30%、35%、40%、45%、50%、60%、75%、80%、90%、95%、97%、99%、999%共20種情形進行分析。由于生成的10萬個樣本，容量足夠大，所以對上游和下游斷面，直接采用其樣本的累積經驗分布估計各種設計頻率P下的洪量，兩者之差（下游Zp減上游Xp）即是區間的相應洪量（記為Yc）；該Yc所對應的頻率按照下述方法推求：區間10萬個相應洪量樣本由下游斷面與上游斷面10萬個洪量樣本之差得到，再根據其樣本累積經驗分布，即可得到與設計頻率P相應的洪量及其頻率（記為C）。
以上游斷面洪量EX=1 000、Cv=04、Cs/Cv=4，下游斷面洪量EZ=2 000、Cv=04、Cs/Cv=4的地區組成方案為例，計算結果見表1，區間相應洪量的頻率C與設計頻率P之間關系見圖3。
從圖3可以看出，存在一個設計頻率臨界點P0（兩條線交點對應的設計頻率），當“上、下同頻”中設計頻率P的取值大于臨界點P0時，區間相應洪量的頻率將小于P，即C
類似地，可以得到其它總體組成方案的設計頻率臨界點P0，表2列出了全部15組方案的統計試驗結果。從中可知，對所有的總體組成方案，設計頻率臨界點P0的最大值為60%、最小值為35%。對設計洪水問題而言，由于設計頻率一般均較小，如P=001%、01%、1%等，遠小于35%，所以，按照“上下同頻、區間相應”得到的區間洪量，其對應的頻率是大于“同頻”中的設計頻率的；即若上、下游洪量按百年一遇標準（P=1%）進行同頻率地區組成，則區間洪量就小于百年一遇。同理，對徑流或枯水設計問題而言，設計頻率（或設計保證率）一般都在75%、90%等以上（均大于60%），則結論類同，即按照“上下同頻、區間相應”得到的區間徑流量，其頻率是小于設計保證率的，是達不到設計保證程度要求的。
綜上所述，對水文同頻率地區組成問題，如“上下同頻、區間相應”組成方案中，區間相應洪量（徑流量）頻率的大小，無論是對正態分布進行的理論推導，還是對PⅢ分布進行的統計試驗，均可得到如下結論：對設計洪水問題而言，相應洪量的頻率大于“同頻”中的設計頻率；而對設計徑流或枯水問題而言，區間相應徑流量的頻率小于其設計保證率。
3結論
本文對水文上常用的同頻率地區組成方案中“相應洪量或徑流量”的頻率問題進行了研究，通過正態分布的理論推導及PⅢ分布的統計試驗，得到如下主要結論。
以“上下同頻、區間相應”的組成方案為例，存在一個頻率臨界點P0，使得當“同頻”中的設計頻率P的取值大于P0時，“相應”量的頻率C將小于設計頻率P，即C
對于設計洪水問題，由于“同頻”中的設計頻率P一般遠小于35%，如P=0.01%、01%、1%等，所以根據“上下同頻、區間相應”求得的區間相應洪量，其頻率將大于設計頻率。對于徑流或枯水設計問題，由于設計頻率（或設計保證率）P一般都大于65%，如P=75%、90%、95%等，則按照“上下同頻、區間相應”得到的區間徑流量，其頻率C是小于設計保證率P的，即達不到設計保證程度要求。此結論對同頻率地區組成中的其它方案，如“區間與下游同頻、上游相應”等，也是類同的。
另外，對其它不同的統計分布模型（線型），頻率臨界點P0將是不一樣的，相應結論也會有所不同，但本文的方法同樣可以借鑒應用。
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