基于累積損傷模型的多階段系統可靠性分析路集組合方法

胡啟國, 何金銀

(重慶交通大學 機電與車輛工程學院, 重慶 400074)

多階段系統(phased-mission systems，PMS)廣泛存在于航空航天、汽車等大型復雜設備中。大型復雜設備功能的完成往往由一系列階段任務組成，如地球同步軌道衛星在轉移軌道階段需經歷多次變軌階段，如太陽捕獲階段、地球捕獲階段、地球指示階段等。PMS各階段之間屬于串聯關系，任意階段任務失敗整個系統任務將失敗。PMS各階段任務不同，因此各階段系統構成、元件配置、任務持續時間也不盡相同，加之階段內以及階段間通常存在元件共用即同一個元件可能在階段內多個位置使用或者在多個階段被使用，這使得PMS各階段不是彼此獨立存在即存在相關性。PMS各個階段處于的物理環境通常不同，因此各階段元件受到的應力水平也不盡相同，即同一元件在各階段的失效率可能不同，如何求解共用元件在各階段的可靠度以及如何對PMS進行可靠性建模與求解一直是PMS可靠性領域的研究熱點之一。

現有PMS可靠性分析方法可分為3類：靜態模型法、動態模型法以及蒙特卡羅仿真方法。靜態模型法[1-3]主要有可靠性框圖方法、故障樹方法、貝葉斯網絡方法(Bayesian networks,BN)、二元決策圖法、多元決策圖法等。靜態模型方法假設元件失效具有獨立性，但實際系統在階段內以及階段間可能存在元件共用，這使得靜態分析法受到很大限制。結合階段代數與二元決策圖(binary decision diagram,BDD)的PMS-BDD方法[4]很好地解決了階段間的相關性以及元件共用問題，但BDD對變量排序有嚴格要求，不同的變量排序產生的節點規模相差極大，以及PMS-BDD方法難以求取含有多種失效分布類型元件的系統可靠度；貝葉斯網絡方法利用節點間的條件概率關系能很好地表示元件在階段內以及階段間的共用性，并有成熟BN推理算法可以利用。文獻[5-6]將系統任務時間離散后利用離散BN對PMS進行了建模，但隨著元件數量以及離散狀態數量增加，BN節點的條件概率表規模將呈指數增大[7]，且該方法的解只是系統可靠度的近似解。靜態方法目前主要集中在共因失效[8]、多模式失效[9]、階段組合需求[10]等問題的研究。

動態模型法利用元件階段狀態概率從一個階段映射到后一個階段來對系統的狀態進行分析，通過狀態的轉移描述系統的變化過程，最后得到任務的可靠概率。基于動態模型分析方法包括 Markov 模型[11]、Petri 網模型(Petri net,PN)[12]。動態方法能考慮階段內以及階段間的元件共用性，但隨著元件數量增加系統狀態規模將呈指數增長即存在組合爆炸問題。

基于大數定理的蒙特卡羅方法[13]為PMS可靠性分析提供了靈活的建模仿真手段，從原理上來說該方法幾乎沒有限制，缺點是為了獲得一定精度必須多次重復仿真，耗時過長。

除去上述方法在PMS可靠性求解中的缺點，絕大多數文獻都假設系統元件失效服從指數分布，即不考慮元件的歷史損傷作用，這與實際不符。

針對上述問題本文提出基于累積損傷模型的多階段系統可靠性分析路集組合方法。該方法以BN理論對PMS進行建模，直觀的體現了元件的共用性、系統之間的相關性。累積損傷模型的引入，使該方法對PMS可靠性分析更具一般性。算例分析驗證了本文方法的正確性。

1 多階段系統的BN可靠性建模

針對PMS難以建模問題，本文采用BN進行系統建模。BN是一個有向無環圖，由節點與有向線段以及各個節點的條件概率表組成。節點分為葉節點、中間節點與根節點。葉節點不具有子節點，根節點不具有父節點，每一個節點都有一個條件概率表，表示各個節點在給定父節點取值時各個狀態的概率。整個BN表示所有變量的聯合分布。

本文將各階段故障樹分別映射成相應的BN，階段內以及階段間的共用元件用有向邊連接。多階段系統之間是串聯關系，一個階段失效則系統失效，為此新建一個虛擬數值節點表示整個系統可靠。在映射相應故障樹時需遵循以下規則：

1) 增加的虛擬節點置于最后一層，各階段根節點置于倒數第二層，從故障樹頂層到底層順序映射；

2) 每個中間節點只有1個父節點，2個子節點,遇到底層有2個以上子節點時需增加中間節點；

3) 節點編號應從BN第一層開始，同一層從左到右依次增大，下層節點數值大于上層節點數值，節點編號不重復；

4) 故障樹與門映射成或門，或門映射成與門，并用文字標注。

建成的BN即是將故障樹映射為成功樹的一張有向網絡。

2 系統路集組合方法

2.1 路集組合理論

PMS因各階段屬于串聯關系且各階段存在元件共用造成各階段任務相關，可靠度難以求解。本文基于BN的鏈式規則以及條件獨立性規則推導出求解PMS可靠度的通式，具體過程如下：

設系統由N個階段組成，每個階段可靠則系統可靠，單個階段可靠為事件Si,i∈[1,N],由多事件同時發生的交運算有

(1)

設階段i有n個節點,階段j有k個節點,各有x、y個葉節點m個共用元件節點,由BN的鏈式規則以及條件獨立性規則[14]有

式中，P(Xju)=P(Xju|Xiu),u∈[1,m],Xix表示階段i的第x節點,Xjy表示階段j的第y節點。

設階段i與j組成串聯系統的根節點為M有

(4)

當M節點可靠,也就是階段i與階段j的系統根節點Si,Sj都可靠時整個系統可靠其條件可靠度概率為P(M=1|Si=1,Sj=1)=1有

P(M=1)=P(Si∩Sj)=P(Xi1)P(Xi2)…P(Xim)…

P(Xi1)P(Xi2)…P(Xim)…P(Xix)

Xi1)P(Xj2|Xi2)…P(Xjm|Xim)…P(Xiy)

(5)

令

為階段i可靠條件下階段j可靠的條件可靠度有

P(Si∩Sj)=P(Si)P(Sj|Si)=P(Si)P(Sj)*

(6)

(6)式即為任意兩階段串聯系統的概率公式。當階段i,j之間存在其他階段且與階段i,j沒有共用元件時,其與階段i,j條件獨立有

(7)

由(6)式和(7)式得出PMS可靠度求解通式為:

P(S1∩S2∩…∩SN)=P(S1)P(S2)*…P(SN)*

(8)

當階段i與其他階段存在元件共用時P(Si)*,i∈[1,N]表示條件可靠度,不存在共用時即是獨立可靠度。

對單階段i,其可靠度P(Si)等于其最小路集的不交和,對PMS若階段之間彼此獨立,則整個PMS的可靠度等于每個階段的最小路集不交和的積。

當階段之間存在元件共用,各階段最小路集也必存在元件相關,在(8)式中i也可表示為其最小路集的不交和只是在計算時共用元件的概率為條件概率,將所有階段最小路集不交和求積后的所有項即是各個階段最小不交路集的所有組合,這些組合有的可以使系統從第1階段正常工作到最后階段稱之為系統路集組合,求出所有系統路集組合再求和即是系統可靠度。

2.2 各階段路集的不交化處理

各階段路集因元件共用造成彼此相關,不交化處理可以實現路集之間的去相關性。

在BN中分別從各階段根節點由下至上遍歷BN,尋找最小路集,遇到與門則該節點上層節點相加,遇到或門則相乘,再將所有最小路集按數字順序從小到大排列,當遇到串聯節點與并聯節點相乘時串聯節點置于前,并聯節點置于后均需由小到大排列。

路集不交化:設路集A,B組成BN的2個葉節點,如圖1所示,由變量消元法[14]推出路集不交化公式有:

圖1 串、并聯系統貝葉斯網

1) 由A,B組合成的并聯BN

P(S=1)=A+A′B

(9)

P(S=0)=A′B′

(10)

2) 由A,B組合成的串聯BN

P(S=1)=AB

(11)

P(S=0)=A′+AB′

(12)

式中，A,B表示P(A=1),P(B=1)的概率稱為顯性節點;A′,B′表示P(A=0),P(B=0)的概率,稱為隱性節點。

證明:對由A,B,S組成的并聯BN,其聯合分布為P(S,A,B)=P(A)P(B)P(S|A,B),將等式右側每項放入桶中如下:

bucket 4:P(S=1|A,B)

bucket 3:P(B)

bucket 2:P(A)

bucket 1:1

將桶1內容代入桶2消去變量S,再將桶2內容代入桶3消去B,按此順序直到消去所有變量如下:

bucket 4:P(S=1|A,B)

bucket 3:P(B)P(S=1|A,B)

bucket 2:P(A)[P(B=1)P(S=1|A,B=1)+P(B=0)P(S=1|A,B=0)]

bucket 1:P(A=1)[P(B=1)P(S=1|A=1,B=1)+P(B=0)P(S=1|A=1,B=0)]+P(A=0)[P(B=1)P(S=1|A=0,B=1)+P(B=0)P(S=1|A=0,B=0)]

根據并聯節點S的條件概率表關系:

P(S=1|A=0,B=1)=1,P(S=1|A=1,B=1)=1

P(S=1|A=1,B=0)=1,P(S=1|A=0,B=0)=0,

對桶1內容化簡有

P(S=1,A,B)=P(A=1)+P(A=0)P(B=1)=A+A′B

其他公式可以按此得證。設有L個經排序的最小路集,將前L-1個組合在一起作為復合節點A,第L個作為B,按公式(9)～(12)進行不交化,反復利用此公式,直到每項只含唯一使系統正常工作或失效的節點組合,即得到所有不交化后的路集。

2.3 路集規模縮減及組合規則

系統路集組合前采用階段內以及階段間共用元件條件概率關系可以縮減路集規模,減少計算量。

階段內共用元件條件概率關系為:

(13)

Xix,Xiy表示階段i內共用元件的節點號x,y, 即階段i內共用元件相關節點Xix,Xiy一個失效則所有相關節點失效,一個可靠則所有相關節點都可靠。

利用(13)式對各階段最小不交路集數量進行縮減,即去掉同時含有共用元件顯性與隱性節點的路集項。階段間條件概率關系為:

(14)

式中，Xix,Xjy表示階段i與階段j的共用元件的節點號x,y,即當共用元件在階段i失效,在階段j一定失效。

化簡后的路集再利用階段間條件概率關系從階段1到最后階段順序組合,組合時按如下2種規則處理共用元件:

1) 若當前階段某路集項含有的共用元件失效,則在以后階段將含有該元件共用節點號且為顯性的路集項去掉后再組合;

2) 若當前階段某路集項含有的共用元件失效,則在以后階段將含有該元件共用節點號且為隱性的路集項中的相關隱性節點去掉后再組合。

對組合后的路集項,若共用元件節點出現在階段i且為顯性,表示該元件成功工作到階段i,若為隱性表示該元件成功工作到階段i-1且在階段i失效。

3 元件各階段可靠度

共用元件在PMS各階段失效率以及工作時間不盡相等,求解元件各階段可靠度時需考慮各階段歷史損傷對元件壽命的影響。

3.1 元件各階段條件壽命分布

設元件x在階段i可靠為事件Sxi,不同階段的同一共用元件在時間上屬于串聯系統,根據BN鏈規則以及條件獨立性規則,元件在階段i的狀態只與階段i-1有關,元件在階段i可靠的概率為

(15)

失效的概率為

(16)

若求得元件各階段在上階段可靠條件下的條件剩余壽命分布既可得元件在各階段的可靠度。

3.2 元件累積損傷模型

(17)

元件在階段i-1可靠條件下階段i的條件壽命分布Foi|o(i-1)(t),根據條件概率貝葉斯公式有

(18)

條件可靠度為:

P(Sxi|Sx(i-1))=1-Foi|o(i-1)(t)

(19)

電氣元件失效常服從指數分布,其各階段條件壽命分布由(17)式得:

階段1:Fo1(t)=F1(t)=e-λ1t, 0≤t≤t1

階段2:

同理可得任意階段的累積失效分布為

(20)

由(18)式得各階段條件概率分布為

Foi|o(i-1)(t)=1-e-λit0≤t≤ti

(21)

由(15)式得元件任意階段的可靠度為

P(Sxi)=P(Sx1)P(Sx2|Sx1)…P(Sxi|Sx(i-1))=

e-λ1t1*e-λ2t2*…*e-λi-1ti-1*e-λiti=

e-(λ1t1+λ2t2+…+λiti)

(22)

對機械元件其壽命分布常假設為威布爾分布其各階段條件壽命分布仍可使用此方法進行計算。

4 算例分析

地球同步軌道衛星發射后在轉移軌道段需經歷多次變軌,可分為太陽捕獲段、地球捕獲段、地球指示段、遠地點點火準備段、遠地點點火段,以前3階段的控制系統為例進行建模并求解各階段可靠度。本文為計算方便對各階段控制系統結構做了適當簡化。

1) 故障樹及貝葉斯網建立

某地球同步軌道衛星控制系統3階段故障樹如圖2所示,映射成的貝葉斯網如圖3所示。

圖2 某同步軌道衛星控制系統3階段故障樹

圖3 某同步軌道衛星控制系統3階段貝葉斯網

2) 最小不交路集求解

階段1最小路集:28×34×(11×13),28×34×(11×14),28×34×(12×13),28×34×(12×14)。

3) 不交化處理

利用(9)～(12)式對階段1路集做不交化處理有

4) 階段內路集縮減

階段內存在共用元件節點11與13,由階段內共用元件條件概率關系(13)化簡有

同理可得其余階段的最小不交路集:

5) 系統路集組合

階段1不存在路集組合,系統路集為階段1的最小不交路集D1。

階段2系統路集:階段2與階段1存在元件共用按路集組合規則D2為

其中A=30×34×36。

階段3系統路集:階段3與階段1、2存在元件共用,按路集組合方法D3為

D3=

其中B=20×26×32×38×36。

6) 系統各階段可靠度求解

各階段持續時間t1=50 min,t2=600 min,t3=40 min,各階段元件壽命服從指數分布,失效率如表1所示。

表1 元件失效率

將各元件失效率帶入(22)式得各元件在各階段末失效的概率,如表2所示。

表2 各階段末元件失效概率

將表2元件各階段失效概率帶入系統路集D1,D2,D3中既可求得系統處于各階段末的可靠度。系統可靠度變化如圖4所示,部分時刻可靠度見表3。

圖4 某同步軌道衛星控制系統3階段可靠度

表3 部分時刻的系統可靠度

7) PMS-BDD方法求解

將各階段故障樹轉化為相應BDD如圖5所示,采用向后排序規則,變量順序為X31

圖5 控制系統各階段的BDD

利用階段代數與向后BDD階段合并規則[4]將3個階段的BDD合并為系統BDD,即先將階段1的BDD與階段2的BDD 合并再與階段3的合并,如圖6所示。

圖6 階段合并的BDD

頂節點到0節點的所有路徑即是該階段的不交路集,對所有路集求和即是系統在該階段的可靠度。

5 結 論

1) 本文針對多階段系統因階段任務相關、元件共用造成的系統可靠性難以建模與求解問題，提出了基于累積損傷模型的多階段系統路集組合方法，該方法直接對各階段不交化后的路集進行組合求和，沒有PMS-BDD方法對變量排序的嚴格限制以及傳統BN方法因階段狀態離散過多造成的條件概率表規模大、計算量大問題。且該方法不限制元件的壽命分布類型，有更廣的適用性；

2) 針對多階段共用元件在各階段工作時長、失效率不同，元件各階段可靠度難以求取問題，本文考慮元件歷史損傷作用，利用元件累積損傷模型，獲得元件各階段條件壽命分布，解決了共用元件在各階段的可靠度求解問題；

3) 針對路集相關，利用由BN變量消元法推導出的不交化公式實現了路集去相關性。針對路集規模過大問題，利用共用元件的條件概率關系，縮減了路集規模，減小了計算量；

4) 算例分析表明本文方法與PMS-BDD方法計算結果一致，驗證了本文方法的正確性。

本文所做的工作，為后續PMS結構優化，以及維修保障性優化工作奠定了理論基礎。