基于切比雪夫多項式求解一類分數階擴散方程

劉建平，楊璐嘉，毛學志

（河北科技師范學院 數學與信息科技學院，河北 秦皇島 066004）

最近三十年，通過越來越多研究者的努力，確定了在動力學過程中的確具有分數階性態[1].分數階導數與整數階導數相比，它們能夠更加精確地模擬自然物理過程和動態系統，它還能模擬物質的記憶和遺傳性[3]，因此分數階微分方程隨之成為一種解決復雜數學問題不可替代的數學工具，這就使許多學者開始在各個領域進行分數階微分方程的研究[2].目前，研究者在求解分數階微分方程的解析解的過程中，往往通過構造特殊函數，但該特殊函數構造十分復雜，使得求解析解也變得很困難.所以，針對求解分數階微分方程的數值解的求解方法的研究就顯得更加重要了.

分數階擴散方程是在實際工程中有很廣泛的應用的一類方程，一些學者針對該類方程的求解方法展開了研究.文獻[4]與文獻[5]分別給出了變時間分數階擴散方程的隱式差分近似和時間分數階反應擴散方程的全解.文獻[6]與文獻[7]分別給出了變分數階非線性擴散方程的一個顯式有限差分格式和提出變階反常次擴散方程的兩種值格式；文獻[8]與文獻[9]分別給出了一個帶非線性源項的變分數階對流-擴散方程的顯式和一類變分數微分算子模型的擴散曲線.

筆者考慮到切比雪夫多項式具有良好的正交性質，展開公式中的冪函數數項更容易進行變分數階微分的計算.因此，從根本上具備了進行函數逼近處理的基礎，具有形成算子矩陣的條件.基于以上考慮，筆者探討利用移位切比雪夫多項式求解變時間分數階擴散方程的數值求法.考慮的變時間分數階擴散方程模型[10]如下：

初值和邊界條件為u(x,0)=g(x) 0≤x≤1；u(0,t)=h(t)0≤h≤1，其中u(x,t)區間[0,1]×[0,1]上的任意平方可積函數，0＜q(x,t)＜1,f(x,t)已知，u(x,t)未知表示Caputo類型的變時間分數階導數.

1 預備知識

1.1 Caputo類型變分數階微分

定義1[11]Caputo類型的變分數階微分定義

根據定義1，當u(t)=tn時，得到如下的計算結果

其中 0＜q(x,t)＜1.

本文利用了Caputo類型變分數階微分一些常用性質.

性質1任何常數求α(t)階導都為零，即Cα(t)=0.

性質2對于任意常數λ,μ，Caputo變分數階微分算子都有

性質3可交換及疊加性：

1.2 移位移位切比雪夫多項式

切比雪夫多項式[12]定義區間為[-1,1]，一般表現形式為

其在[-1,1]上遞推關系為

為了在x∈[0,1]上使用該多項式，作變量替換z=2x-1，得到移位切比雪夫多項式.用Hi(x)來表示，定義如下

此時移位切比雪夫多項式通項可表示為

2 主要內容

2.1 函數逼近

函數y(x)在[0,1]上是可積的，通過移位切比雪夫多項式的變形，有

在實踐應用中只需要應用前(m+1)項

其中多項式的系數向量CT和向量函數Φ(x)如下：

式(4)是根據移位后的切比雪夫多項式(3)得到的y(x)函數近似表示.

對于任意二元函數u(x,t)∈L2([0,1]×[0,1])，都可以通過移位切比雪夫多項式進行函數的近似.一般地，也只對前n+1項作考慮

ui,j(i=1,2,…n；j=0,1,…,n)表示移位切比雪夫多項式逼近二元函數的待求系數，如下

矩陣U用內積表示為U=Q-1〈Φ(x),〈Φ(t),u(x,t)〉〉Q-1.Q，Φ(x)，Φ(t)分別為

2.2 基于算子矩陣求解變時間分數階擴散方程

本節將推導變分數階矩陣算子.首先將式(5)表示成為矩陣形式(7)

其中 Tn(x)=[1,x,x2,…,xn]T，

稱為移位切比雪夫多項式的系數矩陣.矩陣A為一個上三角形且對角線沒有零元素，故可逆，從而有Tn(x)=A-1Φ(x).

對Φ(t)一階求導，有

其中D為(n+1)×(n+1)階的矩陣，稱為移位切比雪夫多項式的一階微分算子矩陣.根據式(7)可得

定義如下形式(n+1)×n階矩陣V(n+1)×n和n維列向量Tn*(t)

由于一元函數u(t)=CTΦ(t)，則可將其導數u'(t)轉化為矩陣形式，即

對式(9)求二次導，可得Φ"(t)=D2Φ(t).針對任意的二元函數u(x,t)，對x求二階偏導都可以得到如下式子：

下面將推導Φ(t)的q(x,t)階微分矩陣算子

其中

稱為移位切比雪夫多項式的q(x,t)階微分矩陣算子.

利用公式(14)，將Dq(x,t)tu(x,t)表示為矩陣形式，可得

將式(13)和式(15)代入方程(1)中，得到如下形式：

2.3 數值算例

例1 解如下變時間分數階擴散方程

該方程的精確解是u(x,t)=x2(1-x)(1+t3).

故n=2 時，數值解為u1(x,t)=ΦT(x)U1Φ(x)，其中，U1如上所示.

故n=3時，該方程的數值解u2(x,t)=ΦT(x)U2Φ(x)，其中U2如上所示.

分別取t=1/4，t=3/4時，在部分取值點處，精確解和數值解的絕對誤差見表1-2.

表1 t=1/4數值解與精確解的絕對誤差

表2 t=3/4數值解與精確解的絕對誤差

由上表可以觀察到當取n=2時，數值解與精確解的誤差大.而當n=3,4時，數值解與精確解的誤差接近于10-15.表1-2表明，當合理設置截斷項n,本文提出的方法是可行且有效.

3 結論

本文在Caputo類型的變分數階微分定義下，根據變分數階微分的性質，推導出了移位切比雪夫多項式的變分數算子矩陣，結合配點法，將求解變時間分數階擴散方程問題轉化為求解代數方程組，并結合算例說明了該方法可行性及有效性.本文的研究為進一步探討變分數階微分方程的數值計算方法奠定了一定的理論基礎，具有一定的工程實用價值.另外，本文針對該方法的計算誤差、收斂性分析等問題還存在欠缺，這也是筆者下一步努力的方向.