探討解未定式極限的方法

劉建峰，熊艷琴

（南京信息工程大學 數學與統計學院，江蘇 南京 210044）

1 引言

極限是貫穿數學分析始終的基本問題，數學分析中的包括連續、導數、積分在內的幾乎全部的基本概念都離不開極限.因此，極限運算是數學分析中十分重要的內容，而未定式極限是極限運算中的一個重要類型.未定式極限問題的出現還要早于極限理論[1]，甚至還要早于微積分的出現.早在16世紀就已經有了關于未定式極限的問題出現，比如求解瞬時速度就是求解一個型未定式極限.事實上，微積分處理的問題中的一部分——求導問題，就是一類型未定式極限問題.可以說，解決型未定式極限問題是微積分誕生的一個誘因.

未定式極限問題，本質上就是一類特殊的極限的四則運算問題.假設變量

則變量x與變量y之間的四則運算都可以直接使用實數的四則運算法則，先對變量取極限，這時極限值就是一個實數，對實數就可以使用實數的四則運算法則，即極限運算與四則運算可以進行交換.但當a=0或a=∞時，情況出現了變化.極限取值不能簡單確定，這也是未定式極限這一名稱的由來.

求解未定式極限的最常用的方法是洛必達法則[2,3]，洛必達法則可以解決絕大多數的比式型的未定式極限，洛必達法則的出現是解決未定式極限問題的歷史性的一刻.為了借用洛必達法則基本解決未定式極限問題，將其余非比式型的未定式極限轉化為比式型的未定式極限也就顯得十分必要了.

2 求解未定式極限的方法

方法一：約去0因式

定義1[1,2]若函數f(x)是由多個因式組成，函數u(x)滿足，且 f(x)=u(x)f1(x)，則稱 u(x)是 f(x)當 x→ω 時的一個0因式.若函數f1(x)同時滿，稱 u(x)是 f(x)當 x→ω時的全部0因式.

以v(x)=u(x)q(x)為例，則f(x)=u(x)f1(x),g(x)=v(x)g1(x)=u(x)q(x)g1(x)，從而

例1求極限

解原式

注：在運用約去0因式方法時，需要通過因式分解將分母的0因式分解出來，再與分子約分消去0因式.如果不能將分母的全部0因式約去，則約去0因式方法不能解決未定式極限問題.

方法二：等價無窮小替換

定義2[1,2]，則稱當x→ω時u(x)是無窮小量.在此前提下，若，則稱當 x→ω 時 u(x)和 v(x)是等價無窮小量，記為u(x)～v(x)(x→ω).

定理 1[1]若 u(x)～f(x)(x→ω).，則有：

下面通過一個例子來說明如何運用等價替換方法求解未定式極限.

例2求極限

解首先

則有

可以看到，在解題的最后一步運用到了約去0因式方法，等價無窮小替換與約去0因式一般是相伴出現的.

注：等價無窮小替換一般不單獨用來處理不定式極限，而是結合其他方法，通過等價替換將函數的結構變得簡單同時，需要注意的是，在乘除運算中可以使用等價無窮小替換，但在加減運算中使用替換可能會導致錯誤.比如，我們來看下面一個例子.

例3求極限

解可以看到分母是一個差式，如果直接進行等價無窮小替換，則會得到如下結果

但實際上

方法三：洛必達法則

定理2[2,3]對于極限，當函數 f(x)和 g(x)在 U0(ω)上可導，且g'(x)≠0時.若此時有

例4求極限

解顯然，該極限是型未定式極限，運用洛必達法則，有

例5求極限

解顯然，該極限是型未定式極限，反復運用洛必達法則得到

方法四：泰勒公式

定理3[1,2,4]設函數f(x)在ω處有n階導數，則存在ω的一個鄰域 u(ω)，任意 x∈U(ω)，有

稱rn(x)為Peano余項，且滿足

前n+1項組成的多項式

稱為f(x)的n次Taylor多項式.

上述公式稱為f(x)在x=ω處的帶Peano余項的Taylor公式.

例6求極限

解將在x=0處展開

代入極限，得

例7求極限

解若對這個未定式極限直接運用泰勒公式，需要將函數與sin2x在x=0處展開到5階，即將函數ln展開到5階，有

代入極限，得

這樣計算十分繁瑣，但若在運用泰勒公式之前先運用約去0因式與等價無窮小替換的方法，就可以大大簡化計算.

首先

則有

分子、分母同時約去0因式x，得到極限

可以發現，在運用了約去0因式與等價無窮小替換方法之后，原本較復雜的未定式極限化為了較易處理的極限，極限的求解過程在例6中已經給出.

3 求解未定式極限方法之間的聯系

3.1 約去0因式與等價無窮小替換之間的聯系

約去0因式要求分母得0因式能夠和分子約分消去，但這一要求比較高，而等價無窮小替換能夠為約去0因式服務，使得分母得0因式被約去的概率大大提高.同時若在等價無窮小替換之后不進行約去0因式，則等價無窮小替換的操作就沒有了意義，等價無窮小替換之后必然進行約去0因式.這兩種方法往往相伴出現.

3.2 等價無窮小替換與泰勒公式之間的聯系

等價無窮小替換，本質上就是略去尾式后的在x=0處的泰勒公式.參考等價無窮小替換

sinx在x=0處的泰勒公式為

令兩端 x→0，略去 o(x)，得

即sinx的等價無窮小替換

3.3 洛必達法則與泰勒公式之間的聯系

將函數f(x)和g(x)在x=ω處進行泰勒展開，得

兩端令x→ω，得

故

當 g'(ω)≠0 時，且函數 f'(x)和 g'(x)在 U(ω)上連續，則有

即運用一次洛必達法則.

當 g"(ω)≠0 時，且函數 f"(x)和 g"(x)在 U(ω)上連續，則有

即反復運用兩次洛必達法則.

此后反復以上步驟，可發現泰勒公式是洛必達法則的核心，是洛必達法則的本質，在運用上相比與洛必達法則較為復雜，但使用范圍更廣.