初中數學中利用幾何知識求函數最值問題研究

倪鳳香

摘 要：在初中數學教學中，求函數的最值問題一直是教學的一個重點與難點。從初中數學函數最值教學中存在的問題出發，重點闡述了利用幾何的相關知識解決函數最值問題的一些方法和手段。

關鍵詞：幾何知識；函數最值；研究

函數作為初中數學中的一個重點教學內容，是學生學習的基礎與進一步進行學習的保障。在初中數學中的函數學習中，求最值是一個重要的內容，同時也是教師教學過程中的一個難點。求函數的最值的方法非常靈活，能對學生的綜合能力做出了重點考查，很多時候需要學生能夠熟練地運用數學各方面的分支內容，因此，在解題過程中，學生能否找出最簡單、最正確的方法來進行是一個重要的教學內容。在實際的教學實踐中，我逐漸發現幾何圖形可以作為研究函數性質的一個重要輔助工具，可以將函數復雜的知識結構變得簡單，使學生更快速、靈活地進行解答。

下面，我將結合自身實際的教學經驗，研究利用函數的不同形式給出幾何知識的解決應用有效的方法幫助學生分析幾何與函數的關系，從而幫助學生快速地掌握解答的關鍵，提升學生解決問題的能力，以供參考。

一、函數最值對教學的意義分析

函數是初中數學教學中的一個重要組成部分，對于整個初中數學體系的學習都具有重要的意義和作用。在初中函數教學中，最值是一個尤為重要的內容，是函數的一個重要的形態，并且，在實際生活中，最值也可以幫助我們解決很多問題，函數最值的求解也因此具有非常強烈的現實意義。在過去的初中函數教學中，最值問題一直是一個教學的重難點，而且在求解時也會涉及整個函數體系的知識，因此，如何在教學中幫助學生順利理解最值的含義并且快速找出最有效的求解方案是歷來初中數學教師的一個教學難題。

二、用幾何知識解決函數最值問題的意義以及現狀

1.利用幾何知識求函數最值的意義

幾何是初中數學中的一個關鍵教學內容，同時也可以作為研究函數性質的一個重要的輔助工具。在實際的教學過程中，如果將函數的特性利用幾何知識呈現出來，則可以使函數本身的特性直觀地展現出來，通過這般形象化地展示在學生的眼前，可以使學生更輕易地理解。

實際上，數學中很多的抽象知識都隱含著圖形的信息，因此，在初中數學教學中，如果可以將一些原本看似復雜的數學知識利用圖形表現出來，會更加容易進行研究，則可以使其得到迅速的破解。

2.利用幾何知識求函數最值的教學現狀

最值問題是我們的日常生活與工作中都非常容易碰到的一類問題，具有非常重要的現實學習意義。在傳統的初中數學函數最值教學中，大多數教師為了提升學生的考試成績，會對學生采用“背題”式的教學方法，讓學生生硬地記住一些常規的解題方法，在考試時進行套用。目前，由于新課程改革的提出，作為初中數學關鍵組成部分的函數教學也在不斷地進行方法的創新，其中，運用幾何知識求函數最值就是一個有效的新型手段。

經過調查研究，目前在函數最值領域中運用幾何知識的方法主要有兩種：數形結合法和向量法。其中通過細致的劃分，數形結合法可以分為使用截距的方法求函數的最值和使用構造法求函數的最值兩種，而向量法則可以分為利用向量中的數量積求函數的最值和利用三角不等式求函數最值兩種。

三、利用幾何知識求函數最值的策略探究

1.利用數形結合的方法求函數最值

數與形是數學中研究的兩個最基本的內容，在初中數學知識體系中，基本所有的問題都可以圍繞數與形的發展進行展開。在每個幾何圖形中都包含著一定的數量之間的關系，同時，數量之間的關系也可以通過一些圖象表現出來。因此，在解決某些數學問題時，可以將數的問題首先用圖形表示出來，找到其中涉及的幾何意義，將數量關系與幾何進行有機的結合，這種處理的方法就是數形結合法。經過實踐探索分析，數形結合法同樣可以應用在函數最值求解中。

傳授給學生數形結合的思想，不僅能夠幫助學生掌握基本的解題手段，同樣還能提升學生的思維遷移能力，加強學生的空間意識，對學生的數學素養的提升具有重要的意義。下面是用實例來對數形結合應用在函數最值問題中的說明。

（1）用截距求函數最值

截距是函數與坐標軸的交點中的一個知識。在初中函數最值問題中存在著一些諸如y=f（x）+/-g（x）的最值求解問題。這類問題是函數最值的基礎性問題，同時也是函數最值問題的核心問題，因此，在教學過程中教師一定要重視學生解決這類基礎問題的能力。在解決這類問題時，我們可以發現，問題并未直接地給出函數來讓我們解答，而是通過函數的構造來進行問題的展示，這時，我們可以指導學生通過將這些問題利用數形結合的方法進行函數最值的構造，從而進行解答。

比如例子：兩個數x與y滿足2x2+y2-5x=5，然后需要我們求出x+y的值。在這個問題中，題目非常的簡潔，但是在實際的求解中卻與我們的傳統認知不同，不是我們平常提起過的函數問題，這個時候，我們就可以使用數形結合的方法，構造出a=x+y，所以y=a-b，這樣就將原函數轉化成了求y=a-b在y軸上的截距問題。在接下來的解答中，還涉及了求截距的最大值與最小值的問題。

這類問題是初中數學求函數最值的一類非常簡單的問題，其中涉及了用力截距求函數最值的核心知識。在實際的教學過程中，教師應當將這類問題作為函數最值教學的基礎來進行詳細的講解，幫助學生掌握解決這類問題的思想關鍵，在遇到類似的問題時，首先要弄清楚已知的條件，構造簡單的一元函數，在初期不熟練的階段還可以通過畫圖進行分析，讓思路更加清晰。

（2）用構造法求函數最值

在初中數學的整個體系中，構造法是一種非常有效并且常見的解題方法，在求函數最值問題中也發揮著巨大的作用。針對初中數學的教學內容與教學目標，現階段經常使用到的構造法主要涉及兩方面的構造，一是構造矩形來求函數的最值，另一個是構造立體的圖形來求解函數的最值。

比如在教學過程中，我們經常會看到一些形如x2+y2的題目出現，這種形式的問題很容易使我們想到勾股定理（a2+b2=c2），結合實際的教學經驗，在遇到此類的問題時，我們可以指導學生首先考慮構造矩形。如，題目：已知x+y+z=1，求的最小值，在解決這個問題時，可以首先根據x+y+z=1構造出一個邊長為1的正方形，使其中的一對臨邊的一條長度為x，y，z，另一邊為y，z，x，畫出大致的圖象，由圖形觀察兩點之間直線的最短距離，從而求出最小值。在這類問題中，上述例題只是一個最簡單的問題，但是卻能夠體現出利用構造句型來解決函數最值問題的核心，值得引起初中數學教師的重視。

另外一種構造立體圖形的方法也是一種常見的解決函數最值問題的數形結合方法，例如：x2+y2+z2=2，求xyz的最小值，針對這類問題，我們可以將x，y，z構造為一個長方體的三條邊，x等于，y等于，z等于，然后將這些代換到xyz，根據不等式求解出最小值。

2.利用向量法求函數的最值

在求解函數最值的幾何方法中，向量法同樣是一種非常重要的解題手段，向量法也就是構造向量，在具體的解題過程中，學生可以利用向量的一些不等式和性質作為依據，從而對函數的最值問題進行求解。向量是初中數學教學的一個必學內容，其中蘊含的數學思想對于學生把握整個初中數學體系都有有力的幫助，將向量與函數問題進行有效的融合，對鞏固學生的數學知識并且提升學生的數學實際應用能力具有重要的意義。

（1）利用向量的數量積性質求函數最值

在初中數學函數部分的學習中，我們經常會遇到一些看上去非常難以解答的最值問題，這些問題一眼看上去很難找到解題的思路，給學生的學習造成了很大的困難，但是實際上，在面對這些問題時，教師可以指導學生利用向量中的一些與數量積相關的基本性質來進行解決。對某些函數最值問題構造適當的向量條件，可以將原本復雜的問題簡單化，從而快速地解決。

例如：設有兩個實數x和y，在滿足5x2+y2≤8的前提下，現在需要我們計算出z=2x+7y的最大值。在面對這種類型的問題的時候，我們首先可以考慮向量化={，}，={，}，然后帶入到，，然后根據≥·來計算出其中的最大值。

值得注意的是，在利用向量積求函數最值的過程中，構造的過程一定要合理，要通過練習使學生可以找出最為方便的向量構造，以得到快速解題的關鍵；另外，在構造的過程中很多時候會用到不等式的知識，在這個階段里一定要注意不等式的等號成立的條件，學生要多依靠練習獲得經驗判斷等號是否能取到，這是解題正確的重要依據。

（2）利用函數的三角不等式求函數最值

在初中數學內容中，三角不等式是解決大多數數學問題都會用到的一個有效的公式，在整個數學知識體系中都占據著重要的地位。三角不等式的內容非常簡單，就是在三角形中兩條邊之和大于第三邊，公式可以表示為a-b≤a±b≤a+b，根據這個公式，我們可以將其運用在求函數最值的問題中。

例如：要求求出函數y=的最小值，在面對這種問題時，我們可以將原函數進行因式分解，例如在這個問題中可以化為y=+，接著將y的兩個部分分別用向量與表示，然后利用y=a±b≤a+b來計算出這個問題的最小值。

上面提到的是利用三角不等式求解函數最值的一個典型的問題，也是一個非常基礎的問題，在實際的學習中，學生很可能會碰到更多更復雜的問題，這個時候，教師應當指導學生做題要認真、耐心和細致，利用學習過程中涉及的思想將問題進行一步步的劃分，不要著急。另外，在實際的做題過程中，除了化為兩個向量還有可能會碰到需要化為三個向量的情況，教師應當對學生有針對性地進行課后練習，幫助學生熟練地掌握這些方法。

在初中函數最值問題教學中采用幾何知識來進行解決，可以幫助學生同時對幾何知識進行熟練的掌握，一舉雙得。從前面的分析可以看出，在進行簡單的函數最值問題求解時，可以進行直接的常規求解或者幾何知識的轉化，但是在進行比較復雜的函數最值求解時，則對學生的創新意識有了需求，要學生可以對其中隱藏的幾何知識進行發掘，還要有聯想的能力。初中數學教師應當重視起利用幾何知識求解函數最值的問題，幫助學生更快速地對這種問題進行解答，同時還能培養學生的幾何直觀能力，提升學生的創新能力，對學生的綜合能力發展具有重要的意義。

參考文獻：

[1]孫心怡.初中數學函數圖象的教學策略研究[D].華中師范大學，2017.

[2]肖霄.初中生函數應用題解題障礙的研究[D].西南大學，2014.