AANA序列的新 Hájek-Rényi型不等式

劉玥雯，王才士，普麗琴

(西北師范大學數學與統計學院，甘肅蘭州730070)

1 引言及預備知識

2011年，X.J.Wang等［1］建立了 1 ＜p≤2 條件下的漸近幾乎負相協(AANA)隨機變量序列的Hájek-Rényi型不等式.Hájek-Rényi(簡稱 HR)型不等式是J.Hájek等［2］在1955年發現和證明的，定理內容是:若{Xn，n≥1}是獨立隨機變量序列且均值為零，{bn，n≥1}是一非負不減實數序列，那么對?ε＞0和任意正整數m≤n有

這個不等式引起了不少學者的興趣.例如，B.L.S.Rao［3］給出了正相協(PA)隨機變量序列的H-R 型不等式，之后，S.H.Sung［4］改進了該不等式，并給出了一些應用；M.H.Ko等［5］應用 H-R型不等式得到AANA序列加權和的強大數定律.

定義 1［6］稱{Xn，n≥1}為 AANA 隨機變量序列，如果存在一個非負序列q(n)→0，對所有n，k≥1滿足

其中，f和g是使上式有意義，對各變元不降且使(1)式右端有限的函數.

AANA序列是一類非常廣泛的隨機變量序列，它包含負相協(NA)序列和相互獨立隨機變量序列.由于AANA序列在可靠性理論和多元統計分析中有著廣泛應用，所以研究AANA序列的收斂性和極限定理具有重要的實際意義，與其有關的應用也被更多的發現和推廣.例如，X.J.Wang等［1］得到了AANA序列的大偏差和Marcinkiewicz型強大數定律；T.K.Chandra等［6］獲得了 AANA序列加權平均的幾乎必然收斂；X.J.Wang等［7］給出了AANA序列部分和的強大數定律和強收斂速率；D.M.Yuan等［8］建立了 AANA序列部分和的Rosenthal型不等式等.

本文在3·2k-1＜p≤4·2k-1的條件下建立了AANA隨機變量序列的H-R型不等式，并應用此不等式得到了AANA隨機變量序列的部分和收斂定理、強大數定律和上確界可積性定理.

為了證明本文的主要結論，需要給出以下引理.

引理 1［8］令{Xn，n≥1}是一列均值為零的AANA隨機變量序列，其混合系數為{q(n)，n≥1}，且p∈(3·2k-1，4·2k-1］，整數k≥1.若＜∞，則存在一個只依賴于p的非負常數Dp，使得對所有n≥1有

2 主要結論

3 應用

［1］Wang X J，Hu S H，Li X Q，et al.Maximal inequalities and strong law of large numbers for AANA sequences［J］.Commun Korean Math Soc，2011，26(1):151-161.

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［4］Sung S H.A note on the Hájek-Rényi inequality for associated random variables［J］.Statistics and Probability Lett，2008，78:885-889.

［5］Ko M H，Kim T S，Lin Z Y.The Hájek-Rényi inequality for the AANA random variales and its applications［J］.Taiwanese J Math，2005，9:111-122.

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