高等數學案例教學方法淺析

楊 磊

貴州六盤水師范學院

高等數學是由微積分學、代數學、幾何學以及它們之間的交叉內容所形成的一門基礎學科。主要內容包括函數與極限、微積分、空間解析幾何、常微分方程、無窮級數。高等數學是高校一門重要的基礎學科，作為一門基礎科學，高等數學有其固有的特點，這就是高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。抽象性和計算性是數學最基本、最顯著的特點，有了高度抽象和統一，我們才能深入地揭示其本質規律，才能使之得到更廣泛的應用。嚴密的邏輯性是指在數學理論的歸納和整理中，無論是概念和表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規則，遵循思維的規律。所以說，數學就是一種思想方法，學數學就是學方法，學習數學的過程就是思維訓練的過程。人類社會的進步，與數學這門科學的廣泛應用是分不開的。尤其是進入了新時代，大數據和電子信息使得數學的應用領域更加拓寬，數學成為科技發展的強大動力。

高等數學這門課程不僅能夠培養學生的抽象思維能力、邏輯思維能力，還能培養其綜合分析能力。課程中教學難度比較大，該門課程有著較大的綜合性和應用性。在進行高等數學教學過程中不能單純的只進行理論教學，而應該結合案例進行現實性的案例分析，通過把理論知識融合到實際案例中，才能真正對這些高等數學知識進行融會貫通，取得好的教學效果。

教師應該積極引導、指導學生案例分析，提高學生學習高等數學的積極性和主動性，培養其分析問題和解決實際問題的能力，培養學生數學思維能力，從而提高教師的教學能力和教學水平。

一、高等數學案例教學的意義

案例教學是一種以案例為基礎的教學方法，教師在教學中扮演著設計者和激勵者的角色，鼓勵學生積極參與討論。高等數學案例教學是教師在實際課堂教學過程中，將生活中的數學實際例子引入課堂來實施教學，利用具體的數學問題進行數學建模。因此，選取案例一定要接近實際生活，讓學生感受到數學在實際生活中的應用，數學與生活的緊密聯系。

隨著新時代高等教育的發展，現在的高等數學教學應重在培養高技能性的數學人才，教學的核心注重提高學生的實際問題處理及創新能力。高等學校高等數學教學的過程，其最終的目標就是要培養大學生對于數學的具體實踐意識、動手能力以及具有開創性的應用能力。在新時期對于學習高等數學的學生提出新理念和要求的情況下，在數學教學過程中引進案例教學這一方式，完全突破了傳統的那種重在理論教學的數學教學模式，取而代之的是以數學的實際應用能力為核心、尊重學生自主討論的數學教學理念。與此同時，案例教學的內容一般來自于實踐生活中、工業以及其他行業中的具體問題，在老師的引導和溝通下，充分尊重學生自我思考的主觀能動性，要求高校學生在一定的時間內通過討論、分析、總結的方式對案例進行挖掘，這種師生平等溝通、共同解決問題的過程完全打破了傳統的講授的教學方式，通過在高等數學中進行案例教學不僅促進了師生之間的交流，而且對于整個數學教學質量的提高也有著很大的促進作用。

高等數學教學中使用案例教學方法，彌補了我們教師傳統教學方法的不足，把數學公式、數學定理放在實際例子中來講解，使其真實化具體化。讓學生在這種實際案例的引導下，在解決實際問題中認識數學概念與數學原理。案例教學方法還能夠培養學生的創新能力與綜合分析能力，使得學生能夠把學習的知識很好地與實際生活緊密結合。另外，案例教學法也可以提高教師的創新精神。教師通過案例教學得到的知識是內化了的知識，并且可以在很大程度上整合教育教學中那些“不確定性”的知識。可以幫助教師理解教學中所出現的兩難問題，掌握對教學進行分析和反思的方式。大大縮短了教學情境與實際生活情境的差距，案例的運用也可以促使教師必須很好地掌握數學理論知識。

二、高等數學案例教學的實施

在高等數學中應用案例教學法進行教學過程中，不僅需要師生之間的良好配合，而且必須對案例教學的全過程進行有計劃的規劃，在不同實施階段進行相應的教學工作。應在講授知識內容前引入，通過案例加深印象，使學生更好地理解相關的知識。通過案例將主要內容進行深化，使學生更好地吸收講授內容。我們可以通過案例引導學生把定義、定理向深層次進行拓展。提前把案例材料發給學生，讓學生閱讀案例材料，查閱資料和讀物，搜集必要的信息，積極思索，形成案例中問題的原因分析和解決方案。

1.案例教學的準備。

包括教師案例準備與學生課前準備。教師以學生具備的數學經驗與理論知識為基礎，做好數學建模案例準備。使用案例教學方法時，首先將案例教學的結構及對學生的要求明確提出，指導學生建立小組。其次，教師提供的案例所涉及的數學理論知識應該是學生所具備的。教學案例的選擇應該緊扣教學目標以及尊重學生知識接受水平的情況下，最終找到具有可行性和應用性的案例進行數學教學。要聯系現階段這些學生所掌握的數學知識、應用能力、知識構造以及教學目標對教學案例進行選擇和設計。通常情況下，理論性知識都是比較抽象的，這些知識、概念或理念脫離特定情境，以一種符號或其他方式表現出來。因此在使用案例教學法時，應該注意授課的內容與方法，應該重點強調數學理論內容的框架，計算部分可以用計算機代替。例如，在講授極限課程時，應該重點強調極限來源以及應用，不強調極限的計算方法。

教師為案例教學做準備，學生也要做一些準備，案例教學過程中需要同學們進行小組討論，所以首先要學生進行分組，并且教師可以把課堂上要討論的案例先分發給小組，從而讓學生對案例有一定的認識，最終提高上課的效率。 學生根據自己的知識和經驗，對案例中某種情境提出自己的設想或者假設，也可以提出自己的行動計劃或者確定案例中的問題，這些活動、假設、建議等都屬于“準備”。教師應該在學生準備階段給予其相關理論指導，為學生提供一些理論依據。學生準備過程中，應該首先閱讀案例，對案例內容有一個大體了解，然后分析案例，將案例的關鍵問題確定，尋找分析這種案例的一般性方法，將案例系統中的主次關系分析清楚，找出自己分析的邏輯依據，確定要采取的分析類型和方法。

2．案例教學的實施。

在高等數學課堂案例教學的實施過程中，應該通過選取簡短而典型的案例進行教學，在課堂開始初期主要通過教師的講解、分析和引導。然后，適當地引入與課堂知識相關的簡單“數學模型案例”。 例如在講定積分的定義的時候，我們可以先從如何求由連續曲線圍成的曲邊梯形的面積入手。如何用定積分求經濟問題，如何用定積分求解物理中的變力做功問題，液體壓力問題等等。

高等數學中的案例教學實施過程：一是問題提出。在引進某個概念的時候，先從簡單的例子入手，這樣提出的概念，接受很自然，對概念理解也相對深刻。二是問題分析。簡單地說問題分析就是解決問題的思維過程，通過問題分析找出問題所在，并確定問題發生原因。把問題分解為各個比較小的問題，然后制訂研究這些問題的先后程序。例如如何求曲邊梯形的面積沒有現成的公式可用，這是一個未知的問題，如何把這樣的問題轉化為已知的問題，是問題分析的關鍵。我們知道，矩形的面積是底乘以高，而曲邊梯形與矩形的區別在于高的變化。如果我們把底分成一些小區間，得到一些小曲邊梯形，可以近似看成小矩形，從而算出面積近似值。分割越細，則近似值與真實值越接近，從而可以通過極限求出曲邊梯形的面積。三是問題解決。根據問題，進行簡化。分析完問題后，引進相應的數學符號，引導學生轉化為數學模型，然后求解數學模型，這樣就解決了數學實際問題。四是問題結論。教師要進行及時的整理，針對討論的問題、探索的問題和解決的問題總結，最終形成系統的教學案例資料。

三、高等數學案例教學的特點

1．鼓勵獨立思考，具有深刻的啟發性。

在案例教學中，教師引導學生獨立思考、組織討論研究，進行總結和歸納。通過案例教學，使學生大腦興奮，注意力能夠得到及時調節，有利于學生精神維持最佳狀態。傳統的教學阻礙了學生的積極性和主動性，但案例教學是要學生自己去思考、去創造，使得教學活潑生動。而且案例教學的實施過程，每位學生都要發表見解。通過這種經驗的交流。一是取長補短、促進交流能力的提高，二是起到一種激勵的效果，從而使學生積極進取、刻苦學習。案例教學目的在于啟發學生獨立自主地去思考、去探索，注重培養學生獨立思考能力，啟發學生建立一套分析問題、解決問題的思維方式。

2．注重客觀真實，提高學生實踐能力。

案例教學的最大特點是它的直觀性和真實性。由于教學內容是具體的實例，采用的是形象、直觀、生動的形式，給學生身臨其境之感，易于學習和理解。案例描述的事件都是真實的，由案例的真實性決定了案例教學的真實性，學生根據自己所學的知識，得出自己的結論。通過一個或幾個代表性的典型事件，讓學生在案例的思考、分析、討論和總結中，建立起一套完整而又嚴密的邏輯思維方法和思考問題的方式，以提高學生分析問題、解決問題的能力。眾所周知，知識不等于能力，知識應該轉化為能力。現在絕大部分學生只會學習書本知識而忽視實際能力的培養，不僅阻礙自身的發展，今后走入工作崗位難以入手。案例教學正是為此而生，為此而發展的。學生在校期間就能接觸并學習到大量的社會實際問題，實現從理論到實踐的轉化，提高大學生的實踐能力。

3．重視雙向交流，加強綜合能力培養。

教師在課堂上不是“獨唱”，而是和大家一起思考討論，學生在課堂上也不是被動聽課，而是共同探討問題。由于調動集體的智慧和力量，容易開闊思路，收到良好的效果。傳統的教學方法是老師講、學生聽，聽沒聽、聽懂多少。要到最后的考試時才知道，而且學到的都是一些理論知識。在案例教學中，學生拿到案例后，先要進行課前準備，查閱一些必要的相關理論知識。無形中加深了學生對知識的理解，而且是主動進行的。課前準備好后，學生還要經過縝密地思考，分析問題、提出解決問題的方案，這是綜合能力上的升華。同時，學生隨時要求教師給以指導，這也促使教師加深思考，根據不同學員的不同理解補充新的教學內容。雙向的教學形式對教師也提出了更高的要求。學生在教師的指導下，參與進來、深入案例、體驗案例角色。在教學過程中存在著老師個體與學生個體的交往，教師個體與學生群體、學生個體與學生個體、學生群體與學生群體交往，也就是師生互動、生生互動。 案例教學一般的舉例內涵豐富，二是案例的分析、解決過程也較為復雜。學生不僅需要具備基本的理論知識，而且應具有審時度勢、權衡應變、果斷決策之能。案例教學的實施，需要學生綜合運用各種知識和靈活的技巧來處理，從而加強了學生的綜合能力的培養。

高等數學案例教學采用數學知識、數學模型解決實際問題。案例教學法在高等數學教學中的應用充分發揮了高校學生的主觀能動性，能夠把現實實際生活與高等數學知識有效的結合，從而提高高等數學的教學質量。案例教學能夠創設學習情境，很好的激發大學生的數學學習興趣，培養大學生的實踐能力和綜合能力，培養大學生的創新思維能力，實現新時代創新型人才培養的目標。