磁化強度的磁感應強度依賴函數在Halbach型永磁體陣列研究中的應用

徐小農 盧定偉 王智河 陳年林 王坤明

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磁化強度的磁感應強度依賴函數在Halbach型永磁體陣列研究中的應用

徐小農1盧定偉1王智河1陳年林1王坤明2

（1. 南京大學物理學院固體微結構實驗室，南京 210093；2. 南京騰馳電子有限公司，南京 211151）

在Halbach型永磁體陣列磁場和磁化強度分布研究中，涉及永磁材料內部磁化強度()、磁場強度()和磁感應強度()三者的相互關系函數()、()和()。本文介紹了這些函數的典型實驗特征，說明為計算獲得永磁體陣列磁體內部自洽的磁場和磁化強度矢量分布，必須使用()函數。強場永磁體陣列材料內部的磁場和磁化強度矢量分布無法直接被進行實驗測量，不恰當地使用()和()函數易導致不符合實際情況的磁場和磁化強度分布狀態預測。

Halbach型永磁體陣列；磁感應強度；磁化強度與磁場自洽分布

永磁體陣列是實現單側增強磁場的有效手段[1]，在電氣技術領域有極為廣泛的應用[2-9]。在一定理想條件近似下，永磁體陣列在磁體內外磁場分布的解析解[7-15]，在一定近似條件下更接近實際永磁體陣列磁體內外磁場分布的數值解[16-18]，有助于理解永磁體陣列單側磁場的產生和增強原理，以及永磁體陣列構成磁體材料內部在強自場作用下的局部退磁甚至磁化強度方向翻轉的機制。至今材料內部的實際磁化強度分布無法由實驗直接觀測，近年來不斷有針對各種用途永磁體陣列的研究新結果報道，然而涉及永磁體陣列材料內部一些基本的物理現象，如退磁等問題仍然存在一些不完全一致的分析。

在涉及實際永磁體陣列材料的磁化狀態以及產生磁場空間分布的數值計算中，需要用到磁體陣列構成材料（超高矯頑力硬磁，超高磁能積硬磁）各向異性的磁滯回線。在推導磁體內外磁場分布的解析表達式過程中，也需要用到理想化的有關磁化強度（）、磁感應強度（）和磁場強度（）三者的相互關系。電磁學中磁感應強度矢量是代表磁場的基本物理量，而磁場強度矢量是為了描述磁場方便引入的輔助物理量，在電氣工程技術領域描述磁性材料特征時，常用()磁滯回線來表征永磁材料磁化強度對外加磁場強度的響應。本文介紹永磁材料的不同方向的磁特征函數()，()和()是如何獲得的；說明在永磁體陣列材料內部磁感應強度和磁化強度分布分析中，使用()函數存在的局限性以及永磁體陣列磁化狀態和磁場分布若干基本物理問題存在爭議的原因；強調要用()函數才能獲得的材料內部自洽的磁感應強度和磁化強度分布，從而正確認識實際發生在永磁體陣列構成材料內部的、偏離材料初始磁化狀態分布的復雜磁化現象。

1 永磁體材料的磁化特征函數

1.1 磁化強度的磁場強度依賴函數M(H)

硬磁材料具有明顯的各向異性，圖1給出了釹鐵硼永磁材料樣品磁化強度對于磁場強度的實驗磁化曲線()。均勻磁化的橢球狀樣品內部的磁場強度應當修正為

=0（1）

式中，為橢球樣品的形狀退磁因子；0為外加磁場強度。如圖1中的兩線[0||(0||),0^(0^)]是通過0(00)測量，經過式（1）退磁修正后，等價于無退磁效應（=0）樣品在平行與垂直磁化主軸兩個方向上的磁滯回線。

圖1 一種釹鐵硼永磁材料樣品在平行與垂直易磁化軸方向m0M||(m0H||), m0M^(m0H^), m0M||(B||), m0M^(B^)磁滯回線

式中，和都很大時（≥10，1），0≈1。這說明了有強退磁形狀的樣品，即使真實的磁化率達到102-4量級，在(0)圖中起始磁化曲線的斜率0也成為了1。

1.2 磁化強度的磁感應依賴函數M(B)

獲得()函數后，利用在三維空間成立的矢量表達式

=0(+) （3）

再分別作平行與垂直易磁化軸兩個方向上磁化強度和磁感應強度的疊加，進而獲得了0()函數如圖1中的0||(||)和0^(^)回線。

考慮()圖中磁化初始部分=，利用式（3）得到=0(1+)，0()圖中磁化初始部分的斜 率為

當很大時，=1，因此圖1中()回線中幾乎垂直向上的起始磁化線，變成()函數中約45°的傾角。

注意圖1中易磁化軸方向||(||)的回退曲線與橫軸相交位置處的斜率幾乎為無窮大，也就是說在=-c磁化強度矢量發生翻轉之處，磁化強度存在一定的不確定性，磁化強度并不是磁場強度的單值函數。易磁化軸方向()的回退曲線與橫軸相交的位置直線斜率為1，因此磁化強度是磁感應強度的單值函數，在數值計算中使用()函數，就避免了使用()函數在-c處遇到的不確定性。

1.3 磁感應強度的磁化強度依賴函數B(H)

圖2是由圖1演變過來，在平行與垂直易磁化軸的兩個方向上的硬磁材料樣品的||(||)，^(^)回線。其中第一、二象限回退曲線在零場附近的線性較好的部分，在易磁化軸方向可以近似表達為

||=0(r||||+R) （5）

式中，r||和0R是擬合常數，分別等于零場附近||(0||)回退曲線被看成直線時的斜率和在軸上的截距。

圖2 一種釹鐵硼永磁材料樣品樣品在平行與垂直易磁化軸方向B||(H||), B^(H^)回線

垂直于易磁化軸方向的^(^)可以近似表達為

^=0r^^（6）

Halbach最初提出類似于式（5）的()關系時[1]，是將r看成是擬合常數，后來有學者定義式（5）中的r為回退磁導率[8-11]。要注意這里的r不符合傳統磁導率的物理定義，因為回退磁化曲線M(H)上各點的磁化強度M，不是由對應的磁場強度H激發并且維持的。回退()曲線上隱含的磁化強度，磁體制造工藝上是由脈沖強磁場飽和充磁獲得，磁化強度M能保留依靠了永磁材料內部的磁通釘扎，與對應的磁場強度H關聯度不是太大。

實際的硬磁材料擬合常數通常r||1r^，在其他與易磁化軸不同交角方向上r也有不同的值。有學者因為由式（5）、式（6）代表的()關系在平行與垂直易磁化軸的兩個不同方向上，回退曲線r||和r^值很接近，就認為材料是各向同性的[11-13]。實際上式（5）用于描述同一硬磁材料相對于磁化主軸不同方向的()關系，參數r即使在相對磁化主軸的不同外場方向很接近，參數R仍會變化很大。擬合參數r本來就不符合磁導率的嚴格物理定義，與材料真實的各向異性并無太大的關聯，即使r||=r^，也完全不能代表各向同性。圖2所示的釹鐵硼永磁材料樣品()回線，盡管r||與r^接近，對應圖1中0(0)起始磁導率和剩余磁化強度的數值，沿著易化軸方向與沿著垂直易化軸方向之比，都超過了5倍，磁各向異性非常顯著。

2 磁化強度的磁感應強度依賴函數M(B)在永磁體陣列磁場和磁化強度自洽計算的應用

在永磁體陣列情形，磁場強度是由磁體提供的自場?？紤]如圖3所示硬磁材料理想磁滯回線0(0)和0()，在＜-c之前的=-c，磁化強度從+R變化到-R，=-c稱為磁極性轉變的臨界磁場強度，在臨界磁場上材料的磁化強度值需用0()函數自洽計算獲得。在圖3所示的0(0)回線中，設置了參數R＞c，以展示單一磁塊在自場作用下進入退磁臨界態=-c的情形。

圖3 永磁材料的理想m0M(m0H)和m0M(B)回線（為方便說明相關問題，此處設定參量MR＞Hc=MR/3）

下面以一個均勻磁化的旋轉橢球（半軸長度分別為,和,=，磁化主軸平行軸）為例，介紹永磁橢球進入轉變臨界態后，如何獲得自洽的磁化強度和磁感應強度一組數值的思路。這是理解如何獲得永磁體陣列內部全自洽的磁化強度和磁感應強度矢量分布計算方法的基礎。

圖3所示的0(0)回線給出=0時，退磁效應可以被忽略的磁橢球的磁化強度=R。如果磁橢球有退磁效應，并且退磁場可以達到或者超過材料的磁矯頑力，即-c，粗略地結合0(0)回線判斷，就有可能得出磁化強度極性會翻轉的結論。然而，單一永磁橢球在自場作用下磁極性自動翻轉，這是違背物理學常識的，實際情形在自場作用下磁化強度會退化但是不會翻轉，在0()磁滯回線的回退分支上可以找出自洽的工作點（＞0，0＞0）。

現在假設剩余磁化強度為與矯頑力的關系為

R=c（7）

式中，為常數，＞1時R＞c。如橢球的退磁因子為，那么在外加磁場不存在（0=0）時球內的磁場強度全部來源于自場，磁化強度為R的橢球，在球內產生的均勻磁場強度可以由式（1）和式（7）得到為

==-R=-c（8）

如果＞1，那么＜-c，退磁必定會發生。

在圖3所示0()回線給出磁極性轉變過程的磁感應強度變化范圍是-m0(R+c)＜＜0(R-c)；退磁發生的條件是=0(+R)=0(-R+R)＜0(R-c)，即R＞c。在0()回線上對應磁化強度從+R到-R轉變的臨界態上

0=0c+（9）

同時，

由上列兩式求出一組自洽的(,0)值為

＞1情形在自場作用下，初始飽和磁化的橢球磁化強度值從R自發退化至=c/。利用式（7）可得c＜=R/＜R。假設相關參數如圖3所示為=3,=1/2,3/2＞1，則式（11）給出退磁因子=1/2的永磁扁橢球（=＜＝在自場作用下，自洽的磁感應強度和磁化強度工作點位于圖3第一象限0()中回線上的小圓圈處。此處(,0)=(0c, 20c)=(0R/3, 20R/3)，對應0(0)回線上的臨界磁場強度值=/0-=-(1/3)R=-c。

上述具有圖3磁滯回線特征的永磁橢球，在自身磁場作用下磁化強度退化的例子說明，非自洽物理模型下給出的磁場強度值＜-c，并不是一定能導致磁化強度翻轉。磁化強度翻轉發生在0()回線的=-m0c處。從圖3可以看出，=-c表明磁化強度可能退化，＜-c則意味著磁化強度徹底翻轉達到反向飽和。達到反向磁飽和，需要的磁感應強度值＜-m0(Rc)，也就是||＞0(Rc)，這是單個永磁橢球自身無法提供的反向磁場。

以上舉例說明了對于一個永磁體體元，如何在已知0()函數的基礎上獲得自洽的磁化強度與磁感應強度。在永磁體陣列情形，要考慮到所有計算磁元之間的相互作用，磁元磁化強度對磁感應強度場響應存在的各向異性，磁化強度飽和，磁化強度轉向等因素，利用||(||)和^(^)函數，在采取一定近似的條件下，在永磁體陣列磁體材料內部和外部獲得全自洽的磁化強度和磁感應強度分布[16-18]。

2.1 乳腺葉狀腫瘤良惡性病理表現 納入研究107例患者的107個病灶其中良性乳腺葉狀腫瘤45個，交界性乳腺葉狀腫瘤33個，惡性乳腺葉狀腫瘤29個。其中，良性病灶出現膨脹性形狀，且間質細胞較為疏松的排列，具有明顯的核分裂象(每10個高倍視野下0～4個核分裂象)，但并無出血壞死的病理表象；交界性乳腺葉狀腫瘤呈現明顯的浸潤性生長，且間質細胞生長過度，具有明顯的核分裂象(每10個高倍視野下5～9個核分裂象)，可見少量出血壞死現象；惡性乳腺葉狀腫瘤間質細胞排列緊密，但胞質內明確可見空泡，且導管稀少，每10個高倍視野下10個核分裂象，可見大片出血和壞死。

3 結果和討論

3.1 永磁體陣列材料內部磁感應強度，磁場強度和磁化強度三者的基本關系

一些有關永磁體陣列磁場分布的解析解的研究論文[10-11]，將在易磁化軸一維方向成立的式（5）推廣到三維矢量空間的等式

=0(r+R) （12）

式中，R代表剩余磁化強度矢量的三維空間分布，而后由已知的R空間分布，通過求出矢量磁勢或標量磁勢，導出磁感應強度矢量分布或者磁化強度的矢量分布。我們認為將易磁化軸方向上磁場強度和磁感應強度兩者關系的式（5），推廣成為二維或三維矢量形式的式（12），其合理性存疑。式（5）代表在易磁化軸方向上，磁場強度與磁感應強度兩個變量，在一定磁化強度變化范圍內的依賴關系，R的地位只是一個擬合常數，在數值上等于剩余磁化強度R=(=0)。永磁體材料內部磁感應強度，磁場強度和磁化強度三者基本矢量關系只能是式（3）。

式（5）中隱含了一個對場敏感的磁化強度模型，由式（5）和式（3）消去磁感應強度得到磁化強度，磁場強度和剩余磁化強度三者矢量關系為

||=(r||-1)||+R（13）

對照圖1可見，在易磁化軸方向式（13）在＞-c大致成立，在＜-c實驗||(||)關系完全偏離式（8）表達的線性。文獻[11]在式（12）的基礎之上求解矢量磁勢的方法，給出了理想Halbach圓柱型陣列材料內外磁場分布r≥1的解析解，并且否定了文獻[10]給出的磁場解析解。利用復變函數直接積分的方法，導出的理想Halbach圓柱型陣列磁體內外磁感應強度分布解析解[15]，與文獻[11]中的磁場解析表達式在（r=1）時完全一致，這也進一步證實了文獻[11]作者的判斷是正確的，文獻[10]給出的磁場分布解析解有誤。

文獻[10-11]采用物理模型本身是不自洽或者是有矛盾的。在推導磁化強度對磁場敏感的情形下永磁體陣列磁場分布解析解的過程中，作者一方面引入常數r＞1表明磁化強度的幅值是對外加磁場敏感的，另一方面在推演過程中使用了||=R的關系，用式（12）中=0時的剩余磁化強度矢量分布R導出同式中磁場強度分布，并未進一步考慮式（13）所示磁化強度隨外場的改變，也就是在實際推演過程中，最終又忽略了磁化強度對外加磁場敏感性。

文獻[11]在r＞1情形，即磁化強度對磁場強度敏感的假設下，以式（12）為基本函數導出了的雙極柱形永磁體陣列空腔內部磁場的解析表達式，始終代表一個與r值有關，大小和方向都恒定的均勻磁場。而實驗測量或者依據實驗磁化回線()自洽計算出的雙極Halbach永磁體陣列空腔內的磁感應強度分布，是有一定變化規律的非均勻場[16]，所以在式（12）基礎之上導出的空腔內磁感應強度的解析表達式，在定性上并不符合Halbach永磁體陣列磁場分布的實驗變化趨勢。磁化強度對磁場敏感的永磁材料（r＞1，或者|1常數R）的永磁體陣列內外磁感應強度的分布解析表達式，至今依然是一個尚未解決的挑戰性問題。

3.2 在永磁體陣列磁場的分析和計算中該使用M(H)函數還是M(B)函數？

文獻[13]討論了磁塊局部區域的磁極性在永磁體陣列自身強自場作用下翻轉的可能性。該文依據永磁材料的磁化曲線M(H)（如圖1和圖3所示），在反向磁場強度H小于矯頑力場c時（H＜-c）磁化強度轉向，得出Halbach中空柱形永磁體陣列南北外側兩極處的局部材料磁極性，在材料磁參量值c＜R條件下會翻轉的結論。這里需要指出，得出這個翻轉結論所依據的數值結果，并不符合永磁體陣列磁體內部磁化強度矢量和磁場強度矢量的自洽分布。

＜-m0c（14）

分別用復變函數積分導出的理想中空圓柱型永磁體陣列磁體內外磁感應強度的解析分布表達式，用求解泊松方程方法導出理想中空球形永磁體陣列磁體內外磁感應強度的解析分布表達式，進而依據理想永磁體陣列磁感應強度在材料內部解析分布，建立起解析的退磁函數[14-15]。用實驗()關系自洽數值計算獲得的實際永磁體陣列材料內部的磁化狀態分布[16-18]，都不支持文獻[13]提出的Halbach中空雙極永磁體陣列外側南北兩極處的磁塊局部磁化強度方向、在材料磁參量值c＜R條件下會翻轉的結論。

3.3 軟鐵在永磁體陣列產生的磁場中是容易被飽和磁化的嗎？

圖1中的0||(0||)是包含了被測量硬磁材料樣品自身對磁場強度的貢獻以后的磁化曲線0||(0||)。注意起始磁化曲線起始部分幾乎是垂直向上的，在0||值達到約0.2T時就獲得磁飽和，這說明無退磁效應的內置磁化主軸的塊狀硬磁，在順著易磁化軸的方向很容易被飽和磁化；而軟磁材料的起始磁化曲線往往比硬磁材料更接近垂直，通常起始磁化率＞102。然而，若認為依靠永磁體或者永磁體陣列產生的靜磁場，大塊的軟磁輕易會被飽和磁化，則是不符合實際情況的。式（2）表明即使是極其容易被磁化的軟磁材料，若有比較強的樣品形狀退磁效應（10），則在(0)圖中的起始磁化曲線的傾角也會接近45°而不是90°。有強退磁效應的樣品，只有在外磁場00基本達到飽和磁化強度值0R的時候，才能被飽和磁化[17-18]。

永磁體陣列任一體元的磁化強度，應該看作是當地磁感應強度的函數，需計及磁元自身的貢獻。磁感應強度矢量和磁化強度矢量自洽數值計算的結果表明：在強場永磁體陣列內部磁化強度達到飽和的區域，適度地用軟鐵替代部分硬磁，圓柱體陣列空腔內部的總體磁通量和磁場均勻度都可能得到改善；但是替代部分硬磁材料的大塊軟磁，并非輕易達到飽和磁化狀態。軟鐵難以飽和的原因可以從圖1所示0()回線的特征以及式（4）看出，軟磁材料的起始磁化線的斜率≤1，而軟磁材料的飽和磁化強度，通常會遠高于硬磁材料的飽和磁化強度。軟磁材料替代硬磁材料后主要起到匯聚磁通量到空腔的作用，流經空腔磁隙內的磁通量會增加的同時，永磁體陣列整體磁路中的總磁通量反而會減少[18]。

4 結論

在強場永磁體陣列磁體材料內部，用非自洽方法獲得的磁化強度和磁場分布的分析或計算結果，往往與實際情形相差甚遠，也很可能導致物理預測情形上的誤判。磁性材料磁化強度矢量對外加磁場強度矢量的響應與磁元的幾何形狀相關，磁化強度的磁場強度依賴函數()難以直接用于涉及強場永磁體陣列材料內部磁化強度和磁場相互作用的自洽分析。相對于磁場強度矢量，磁感應強度矢量為更加基本且能與材料單一磁化狀態相關聯的物理量。磁化強度的磁感應強度依賴函數()，適用于強場Halbach永磁體陣列關于磁場和磁化強度的自洽分析與計算，研究永磁體陣列產生磁場對材料內部原有磁化狀態的改變，如在強自場作用下的局部退磁、磁飽和、磁化強度矢量翻轉等復雜的磁化現象。

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Applications of the magnetic induction strength dependent magnetization function in the study of Halbach type permanent magnet array

Xu Xiaonong1Lu Dingwei1Wang Zhihe1Chen Nianlin1Wang Kunming2

(1. Physics College of Nanjing University, National Laboratory of Solid State Microstructures, Nanjing 210093;2. Nanjing Tengchi Electronics Corporation Limited, Nanjing 211151)

In the study of magnetic field and magnetization distribution generated by Halbach permanent magnet array, the relationship functions(),() and() among magnetization (), magnetic field strength () and magnetic induction () are involved. Here the experimental characteristics of these functions are introduced, and it is illustrated that() function should be used in the calculation for obtaining the self consistent magnetization and field distributions inside the permanent magnet array. At the material interior of permanent magnet array, the sophisticated vectorial distributions of field and magnetization may not be experimentally measured, inappropriate use of() and() functions possibly results in the untrue predication of magnetic field and magnetization distributions under the intense self field.

Halbach permanent magnet array; magnetic induction; self-consistent distribution of magnetic field and magnetization

2018-04-23

徐小農（1962-），男，博士，教授，研究方向為磁性材料應用等。

國家自然科學基金（50577030）