對多條代數曲線光滑連接問題的探究

加入圖形計算器社團后，我嘗試用繪制多個函數圖形的方法制作出一條魚的形狀.第一幅圖繪制完成后我非常開心，因為這是我第一次成功用圖形計算器做出東西，但是這條魚看起來總感覺有一點別扭.仔細觀察后發現，是因為使用了多段二次函數的圖象，但是在連接處并不平滑，造成圖形看起來十分生硬.

問題：怎樣完美處理多條二次函數曲線端點處的平滑？

為了能讓圖形看起來更加流暢連貫，我想能否使用三次函數來減少函數的連接次數，使函數圖象看起來更加流暢呢？因此我開始著手研究三次函數.

探索1：二次函數y= ax2+ bx +c乘上（x+d）得到三次函數

把二次函數 f（x）=ax2+bx+c乘以（x+d）得到三次函數g（x）=（ax2+bx+c）（x+d）.我發現當二次函數、f（x）的△=0時，三次函數g（x）一定和二次函數f（x）相交在f（x）的頂點處（圖1）；當二次函數f（x）的△>0時，三次函數g（x）和二次函數f（x）有三個交點，有一個是x+d =1時對應的點，另外兩個點是二次函數f（x）和x軸的交點（圖2）；當二次函數f（x）的△<0時，三次函數g（x）和二次函數f（x）僅有一個交點，即x+d=1時三次函數對應的點（圖3）.然而這些發現，并不能完全幫助我快速地通過圖象寫出對應的三次函數.我就繼續上網查找有關三次函數的各類資料.

探索2：利用圖形計算器定點求出三次函數表達式

通過網絡上關于三次函數的自學，發現三次函數是一片廣大的數學領域，這在我未曾接觸前，是無法想象的.它帶給了我震撼和全新的感覺，我開始認真地學起來，了解三次函數的圖象性質、對稱中心、盛金公式、卡爾丹公式.在看盛金公式時，我看到第二步用導數化簡，我就琢磨導數義是什么，好奇心驅使下我義查了許多關于導數的資料，更是讓我進入了另一片奇特的世界.經過不斷的學習我終于對三次函數、導數等知識有了一定的了解.

但是具體作圖時，在使用幾個點模擬曲線的過程中，還是遇到了不少的困難.比如俞超同學他要做蓮花需要在好幾個地方作圓，但是他用r=a作圓只能以原點為同心，無法移動.這也讓我意識到魚的眼睛只能做在原點而不能移到其他地方去.共同的問題，可以共同解決，老師在得知這個情況后，為我們補講了網的參數方程，我們才知道只要用圓的參數方程，就能把圓的圓心移到任何想要的地方去.說也奇怪，平時學新知識，總不會那么快接受和順利運用，但這次在圖形計算器的幫助下，很快地，我們都能得心應手地面出需要的圖形了.我也把我遇到的問題拿去和同學交流.施同學認真耐心地一步一步教我如何用圖形計算器的統計功能得出函數.先在圖形中找到函數經過的幾個點，然后記錄下來，用統計中的calc功能選擇想要模擬的函數（如圖5）.

學會這個以后，簡直如虎添翼，我以前十幾分鐘才能得到的函數，用圖形計算器的統計方法，只要幾分鐘就算出來了.在不斷努力下我成功用三次函數改進了圖形，做出來的圖形看起來果然比一開始用二次函數做的流暢許多（如圖6）.

探索3：利用端點處兩側導數逼近相等處理曲線的光滑度問題

前面使用三次函數來減少函數的連接次數，使函數圖象看起來更加流暢，雖然起到了一定的效果，但是并未從根本上解決多個曲線連接時端點處的光滑度不夠的問題.老師了解后提示我用導數方法來處理，就是利用端點處兩側導數逼近相等，可以讓端點兩側曲線的斜率分別左右逼近相等，那么在圖形上的表現就是光滑的.

因為在制作圖形時經常使用二次函數，所以先從如何使二次函數連接處導數相等開始探究.

開始我以為這個問題很簡單，只要求導數，再讓導數相等就可以.但在實際操作中，發現要使想要的圖形導數相等很困難，因為很可能出現圖形是我想要的但其連接處導數不相等，連接處導數相等的圖形卻不是我想要的情況.一開始我的思路是先使得連接點處的導數相等，再以此來調整函數的圖形，可是用這個方法令導數相等不難，但要使圖形變成我想要的就只能硬湊，不斷調整，不僅麻煩，而且效率低.

為了尋找更簡單易行的方法，我思考能否先把想要的圖形大致求出，然后通過導數相等對圖形進行微調，最后達到連接處導數相等的目的.

在具體的操作過程中，兩個函數明顯變量過多，不易于操作，我們首先可以用圖形計算器的統計功能得出函數，先在圖形中找到函數經過的幾個點，然后記錄下來，用統計中的calc功能選擇想要的函數，圖形計算器就可以快速地算出你想要的函數表達式.這樣就可以利用圖形計算器定點求出二次函數表達式功能，再利用（*）式，對已知的函數進行微調，從而使端點處導數值相等.

收獲：圖形計算器讓我愿意主動挑戰未知

對圖形計算器的研究，激發了我對數學的興趣，漸漸讓我對它愛不釋手了.我從以前的被動學習變為現在的主動學習，也很愿意向未知的領域探索.這讓我想起了我一個初中的同學，他非常喜歡數學.初三時，大家都在緊張復習，他則在找高中的數學書和各種關于數學的課外書看.每天都會向其他同學講述他昨天學到的數學知識，當時我覺得他傻傻的，但現在我明白了他是為了喜歡而學習，而我是為了學習而學習.在圖形計算器社里我對此深有體會，當自己喜歡和好奇時，就會不由自主地去學習.

點評 張賓心同學寫這篇論文時，尚未接觸導數這一內容.端點處光滑問題的處理，涉及微分的知識，是有較大難度的，但是，使用圖形計算器研究圖形讓他對學習產生了巨大的興趣，為了能夠找到方法解決問題，他從學過的知識入手，對問題進行初步探究，并通過搜索網絡知識和詢問老師，自學三次函數和導數的知識，較好地解決了這一問題.問題，是數學學習的靈魂；興趣，是支撐我們前行的動力.讓我們時刻懷抱一顆好奇心，去探知我們未知的世界.