例談橢圓中“點分弦所成比”問題的求解策略

王盈慧

圓錐曲線的弦被某一點分成兩段，關于這兩段長所成比發散出一類很典型、很重要的問題，我們以橢圓為例，介紹“點分弦所成比”問題常見題型及處理方法.

1.焦點分弦所成比問題，小題小做，利用統一定義構造直角三角形.

填空題中“焦點分弦所成比”問題，可以利用網錐曲線的統一定義，將焦點弦、焦點弦所在直線的傾斜角歸集在以焦點弦為斜邊的直角三角形中，解這個直角三角形即可.此法可以大大減少運算量.

2.解答題中非焦點的點分弦所成比問題，設而不求，“韋達定理”消參求解.

“點分弦所成比”問題中，當弦不是焦點弦時，圓錐曲線統一定義的轉化不再適用.這類問題一般的解法就是聯立消元法，也即：設出弦所在的直線方程，聯立直線和圓錐曲線的方程，借助一元二次方程的根與系數的關系及參數法求解.

3.點分弦所成比的范圍相關問題，利用函數與方程思想求解.

若弦的具體位置不確定，則“點分弦所成比”只能求解出相關范圍.此類問題可以先建立比值λ和刻畫弦所在直線傾斜程度的參數m之間的關系，再借助函數與方程思想求解.