解題篇：折出問題的答案

【編者的話】折紙是人們業余生活中喜聞樂見的一項娛樂休閑活動.但是在常博士這里，它還有助于某些數學題目的求解.這真是令人意想不到的好事！

那就讓我們一起去看看吧，希望能對你的數學學習有所幫助.

平面幾何是一門較難的學問，因為一題一個解法，且輔助線不易想到，下面就是一道有一定難度的問題：

題目一

如圖1，已知等腰直角三角形△ABC以及經過直角頂點A的直線EF.如果BE∥CF，求證：AE2+AF2 =BE2+CF2.

分析此題目，與證明有關聯的4個量似乎離得比較遠，尤其EB和FC這兩條線段.再來看結論像是和勾股定理有關系，但是圖中并沒有含這些邊的直角三角形，所以我們知道此題不添輔助線是斷難解出的，

但是如果我們用折紙來找思路，可以繞開輔助線，直搗黃龍！將圖1打印在紙上，剪下來把玩一番（打印機不湊手，可以畫一個圖來剪）.通過折疊我們容易發現，可以讓BE，EA，AF，FC這四條邊“聚首”：將AB折到AC上，同時外翻AB，AC成山折，結果如圖2.

通過這些折紙的操作，原來的三角形ABC不見了，出現了一個新的四邊形AFCE.所證的結論轉化為證明∠EAF=∠ECF=90°，這個是不難證明的.證明留給讀者了！

無獨有偶，我們再看一題，

題目二

如圖3，△ABC中，M是BC中點，ME⊥MF，且ME =MF.求證：AE2+ EB2 =AF2+ FC2.

如同第一題一樣，需要構造直角方能利用勾股定理.故技重施，打印圖形來把玩一番吧！結果發現，如果照下面四步折，問題的答案就浮出水面了.

1.過EF折一道山線，將角A折到后面.

2.過EM折一道谷線.

3.過MF折一道谷線，這時角B和角C翻折后會合為一點（為何能會合？）.

4.將紙片翻過來，

現在，我們從圖4的示意中看到結果是一個四邊形，并且有兩個相對的角是直角.于是和第一題一樣，問題迎刃而解了！證明過程留給讀者.

題目三

已知△ABC中，∠A =100°，∠C=30°，在AC上截取AD =AB，連結BD.求證：BD =AC.

同上題一樣，貌似簡單的題目一碰即知其難啃的本質.不過當紙片在手，任人“折磨”的時候，難題不免要低頭了.怎么折呢？常規思路是把兩條要證明相等的線段化到一起去比較.所以最自然的想法是折出∠ABD的角平分線將AB（長度等于AD）搬到BD上；同時，折出∠CDB的角平分線，將CD搬到DB上，結果發現如圖6的現象.

實驗不但佐證了結論，也給了我們進一步探尋的方向：兩個折起的角碰到一起的地方有什么講究？打開紙片，折底邊中垂線，發現折痕剛好經過會合點.

最終，我們嘗試發現有三個全等的等腰三角形（△ABG，△FBG，△CFD），如圖8所示那樣嵌入到三角形ABC中.BD邊上放置了底邊和一腰，而AC=AD+DC正好也等于該等腰三角形的底邊和一腰.至此問題全部解決，

簡證：在AB邊上向內作等腰三角形ABG，使得∠ABG=∠GAB=20。.沿著BG翻折△ABG得到△FBG，則F在BD上（為什么？）.同時折痕BE交AC于E.

連結EF，易證∠AEB=∠BEF =60°，所以EF平分角∠BEC.又∠EBC=∠C=30°，故EF是等腰△BEC的對稱軸.沿著EF翻折△BGF得到△CDF.至此通過翻折兩次我們得到了三個全等的等腰三角形.剩下的就是簡單的算術題了，

題目四

如圖9，在△ABC中，∠A=20°，AB=AC，∠BCD=50°，∠CBE=60°.求證：∠BED=30°.

此題看似友善，但卻是名副其實的難題，在網上流傳甚廣.有人用角格點來歸類，用正弦定理來求解.也有的人添正三角形輔助線來求解.無論如何過程和方法都不簡單.

然而，如果用折紙來探尋解題思路，就會有如庖丁解牛般“秒殺”.

步驟：

1.打印這個圖，剪下備用.

2.試著找找紙片的形狀中隱藏的等量關系.不經意間你會發現BC =BD.發現這個相等量只要折出∠ABC的角平分線便可發現C，D重合（當然，證明也很簡單）.如圖10.

3.這時，敏銳的觀察者會有一個發現：如圖11所示，這里有了三個60°角（為什么）！

4.驚喜之余，好事連連！通過翻折發現原圖中的DE在圖13中也是∠ADF的角平分線！

5.現在的思路形成了——如果觀察屬實，所有問題就迎刃而解：∠ADE =50°，∠ABE=20°，所證成立.可是第4步發現的角分線如何證明呢？

6.打開所有折痕，還有一個發現，BE是第一道折痕與BD的夾角的角平分線，

已知若干個角平分線，要證一條線也是角平分線，如此多的角平分線強烈暗示我們，要用三角形旁切圓性質，

簡證：點E是△BDF的∠DBF的角平分線上的點，也是外角∠DFG角平分線上的點，所以它一定也在另一外角∠ADF的角平分線上，即得證，

上述4道題，借助折紙可以幫助我們探明解題的方向，甚至直接得出題目的解，真是“小小紙張，變化萬方”！同時也告訴我們，平時解題時，不妨膽子大一些，多嘗試，細分析，說不定就會有所收獲，

特別提醒：數學解題是嚴謹的，找到了方法，還必須用規范的數學語言將其嚴格證明出來，本文的論述只是解題思路的展示，嚴格的證明就請同學們自己寫一寫，