解決問題的兩柄利劍：“特殊化”與“一般化”

朱靜

每個同學都可能遇到過這樣的兩種情形：其一，面對一道數學問題無從下手，反復在腦海中百度，也搜索不到能夠借用、類比或轉化的信息，只能望題興嘆，匆匆跳過；其二，每天練了一道義一道的數學試題，可拿到數學試卷時，總感覺多數題是新的，心中不無感慨：是命題老師太厲害了，還是數學問題無窮無盡？

其實，這兩種情形是正常的.究其原因，不是我們學習態度、學習能力的問題，而是我們解決數學問題時的策略有缺陷.當你無從下手時，有沒有考慮從簡單、特殊的情形（狀態）之中，解讀問題信息、探尋數學規律，進而破解難題？當你解完一道數學問題時，你是否匆匆忙忙急于完成下一題，而遺忘問題解決的關鍵步驟——題后反思？

本文擬結合具體的數學問題，與同學們談談這兩柄利劍：特殊化和一般化，

一、特殊化：退一步海闊天空

所謂“特殊化”，可以簡單地理解為：“從一般問題中抽取特殊情形，充分利用特殊情形的簡單性去認識復雜事物，”學會“特殊化”能將抽象的數學命題變得具體而簡單，能從復雜的問題表征中刪去干擾的、冗余的信息.由簡單情形作為起點，猶如一面鏡子，可為一般情形提供對比，在對比中解決問題，在變化中把握趨勢，在特殊中窺見一般，從而破解難題，甚至獲得驚喜的發現.

題后反思（1）回顧本題的求解過程，用到了兩個知識：對數式和指數式的互化、分數指數冪的比較大小，顯然，先“特殊”后“一般”，我們思維通道的密度增加，這些知識回想起來自然些，運用起來簡單些.

（2）本題本質上是比較三個數的大小：x∈（0，1）上不具備單調性，我們比較這類數的大小時，“構造函數，利用單調性比較大小”的方法不是很適合.

例2 在數列{an}中，已知a1=p>0，且an+1'an=n2+3n+2，n∈Nx，求數列{an}的通項，

分析由數列{an}相鄰項的關系式求通項，我們常用的方法是“變形一換元一轉化為等差數列或等比數列”，但面對“an+1an=n2+3n+2，n∈Nx”，我們一籌莫展，怎么辦呢？“特殊化”！數列中運用“特殊化”是一種基本策略，通過“歸納”前幾項的規律，探求一般的解題路徑.

仔細觀察不難發現：似乎數列的奇數項按原來的順序構成的數列{a2n-1）成等差數列；偶數項按照原來的順序構成的數列{a2n}也成等差數列.如果猜想成立，我們只需研究相隔一項的兩項之間的關系.

題后反思數列中的“特殊化”策略可以通俗地表達為“寫出來，看一看”.這是因為一個數列的定義不是直接給出“通項公式”，就是給出“相鄰項的關系式”.無論是“通項公式”，還是“相鄰項的關系式”，它們都是“全稱命題”，即對于任意的滿足要求的“n”均成立.我們將之“特殊化”——從初始的值開始，代入等式，一個個地“寫出來”.所謂“看一看”，就是“觀察”、“歸納”.一般地，如果遭遇令人一籌莫展的數列題時，“寫出來，看一看”不失一條“簡”道，同學們可以嘗試嘗試，大多能夠“柳暗花明義一村”.

二、一般化：舉三歸一、舉一返類

數學問題的解決固然重要，但題目的變化千千萬萬，我們肯定無法窮盡，也無須窮盡.因為數學問題是數學知識的一種表征，隱在數學問題后的數學知識是有限的，將有關聯的問題根據所用知識、方法等“聯系”起來，進行“一般化”，我們稱之為“舉三歸一”；如果能將這些知識歸類、整合、打包，形成一類完整的“知識塊”，我們稱之為“舉一返類”，這樣學習起來就更簡單了，

為了說明問題，我們做個類比：數學問題好比電腦里的一個個“文件”，“舉三歸一”就是將那些“特殊的”、“關聯的”文件放人同一個“文件夾”；如果將這些“文件夾”進一步“一般化”，歸類放人更大的“文件夾”中，就是“舉一返類”.這種“一般化”的優勢在于“我們需要時，能夠快捷檢索”.類比到學習，做到“舉三歸一”、“舉一返類”，數學問題解決時，我們能將相關知識快速遷移到問題情境之中.如此堅持訓練，自然而然，我們能夠坦然面對一切考題，不再“懼新、畏難”.當然，有些同學難以做到“舉一返類”，可以先嘗試“舉三歸一”.

例3 求平面內與兩定點A1（-4，0），A2（4，0）連線的斜率之積等于常數-1/4的點的軌跡.

分析本題是一道常規的求軌跡題，答案為：橢圓（去除A1，A2兩點）.

第一次“一般化”

變式1 求平面內與兩定點A1（-a，0），A2（a，O）（a>O）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡.

分析將例3中的定點和定值用字母替代，進行“一般化”.雖然問題解決時采用的方法完全一樣，但難度增加了，而且得到的結論需要討論：加上A1，A2點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.

第二次“一般化”

變式2 求平面內與兩定點A1（-a，0），A2（a，O）（a>0）連線的斜率之積等于非零常數-b2/a2的點的軌跡.

分析反思變式1的解答，m的取值不同，軌跡也不同，怎樣才能是橢網呢？通過探求，我們不難發現取“m=-b2/a2”時，所得軌跡方程為：x2/a2+y2/b2=1（x≠±a）.

變式3 A1（-a，0），A2（a，O）是橢圓x2/a2+y2/b2=1的左、右頂點，動點P是橢圓除A1，A2的任意一點，求證：P與A1，A2連線的斜率之積為定值.

分析 變式3是變式2的“逆命題”，在變式2中我們發現“Al （-a，O），A2（a，0）”正好是所得橢圓的左、右頂點，自然要想，橢網上的點是否具有這樣的性質？證明方法很簡單：只要設出動點P的坐標，代入驗證即可.

第三次“一般化”

變式4 已知過橢圓x2/a2+y2/b2=1中心的定直線交橢圓于A1，A2兩定點，動點P是橢圓除A1，A2的任意一點，求證：P與A1，A2連線的斜率之積為定值.

分析 變式4將變式3中的A1，A2進行“一般化”.變式3中的“A1（-a，o），A2（a，0）”是關于原點對稱的兩個橢圓上的點，如果“一般化”為“橢圓上任意兩個關于原點對稱的點”義會怎樣？“一般化”驗證結果，讓人熱血沸騰——也成立.

當然問題還能進一步“一般化”，上述問題是橢圓的性質，是圓的性質嗎？是所有圓錐曲線共同的性質嗎？進一步地探索，鞏固方法的同時，自然地形成了一類圓錐曲線知識塊.