R. Steriner定理的三角證法

甘志國

R.Steriner定理：有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形.

下面用三角法給出該定理的證明.

已知：BD，CE是△ABC的兩條角平分線，BD=CE.

求證：AB=AC.

證明 如圖1所示，設∠ABC=2a，∠ACB=2β，可得βADB=a+2β，∠AEC=2α+β.

在△ABD，△ACE，△ABC中，利用正弦定理，并注意BD=CE，可得

AC/（sin 2α+β）=CE/sinA=BD/sinA

=AB/sin（α+2β），

且AC/sin2α=AB/sin2β

所以sin2α/sin（α+2β）-sin2βsin（2α+β）

即sin2αsin（α+2β）-sin2βsin（2α+β）=0，

即sinα.2sin（α+2β） COS α-sinβ.2sin（2α+β） cos β=O，

積化和差可得sinα[sin 2（α+β）+sin2β]-sinβ.[sin 2（α+β）+sin 2α]=0，

即sin 2 （α+β）（sinα- sinβ）+2sinαsinβ.（cOsβ-cosα）=O，

和差化積得2sin 2（α+β） cos（α+β）/2.sin（α-β）/2+4sinαsinβsin（α+β）/2sin（α-β）/2=0，

即2sin（α-β）/2[sin 2（α+β）cos（α+β）/2+2sinαsinβsin（α+β）/2]=0.

由α，β∈（o，π/2），可得（α+β）/2∈（o，號），且sin 2（α+β）=sin∠BAC>O，

所以sin 2（α+β） cOs（α+β）/2+2sin αsinβ·sin（α+β）/2>0，

進而可得sin（α-β）/2=0.

由α，β∈（o，π/2），可得（α-β）/2∈（-π/4，π/4），所以（α-β）/2=0.α=β.

因而∠ABC=∠ACB，AB=AC.