人群激勵下人行橋非線性橫向參數振動研究

陳 舟, 顏全勝, 鄧德員, 陳玉驥, 賈布裕, 余曉琳

(1.佛山科學技術學院 交通與土木建筑學院，廣東 佛山 528000；2.三峽大學 土木與建筑學院,湖北 宜昌 443002；3.華南理工大學 土木與交通學院，廣州 510640；4.中建鋼構有限公司，廣州 510000)

為了達到造型優美的目的，人行橋的跨度越來越大，結構亦日漸輕柔，如倫敦千禧橋的主跨達到144 m，四川綿陽橋S型人行橋主跨達到200 m，人行橋發生大幅振動甚至災害的現象時有發生，且往往會出現非線性振動特性。因此有必要對此現象進行研究，目前人行橋的振動主要集中在線性振動[1-3]，對非線性振動的研究較少，Nakamura等[4]考慮行人在大幅搖擺情況下停止或者放慢步伐的情況，基于人—橋相互作用，提出了模態共振激勵力非線性變化，袁旭斌[5]考慮同步人群的自激作用與未同步的人群的強迫振動，假定同步概率與振幅成非線性關系，建立了人致振動的非線性模型。Blekherman[6]將倫敦千禧橋考慮成雙線擺， 研究了其內共振現象。上述人致橋梁振動的研究中沒有考慮幾何非線性因素。

眾多學者基于強迫振動研究了人致橋梁、樓蓋的振動[7-10]，如：宋志剛與葉歡基于社會力模型研究了人行橋側向振動的臨界人數，宋志剛與張堯基于社會力模型和行人與橋梁側向相互作用機理研究了人行橋的動力響應放大系數。王益鶴等[11]結合結構動力學、生物力學提出新型雙足模型，基于能量原理研究了人群行走下梁的振動響應。

由于大跨異型的人行橋的固有頻率較低，而行人步頻的橫向一階分量的范圍為0.8～1.2 Hz，強迫振動不能夠解釋基頻低于此范圍的人行橋出現大幅振動的現象，而在參數振動中，當激勵頻率為結構基頻的倍數時，可激起結構的大幅振動。李鳳明等[12]針對結構進行振動主動控制采用壓電材料，研究了參數激勵下非線性壓電梁的振動穩定性及幅頻曲線特性。但是，目前關于行人作用下人行橋的非線性參數振動的研究未見報道。

本文針對低頻人行橋的一階橫向大幅振動，基于已測數據，對動載系數與速度的關系進行擬合，建立了基于力與速度之間關系的非線性橫向參數振動模型，以倫敦千禧橋為例，用Galerkin方法和多尺度法，對人致人行橋參數振動引起的大幅橫向振動進行了理論研究和數值分析。

1 動力方程

對于梁結構，取距離梁端x處的微段，假設橫截面變形前后都垂直于梁的軸線，本文考慮人行橋上分布的行人對橋梁自重的影響，運用彈性力學對圖1中的簡支梁進行受力分析，引入基本假設，變形前垂直于梁軸線的橫截面在變形后垂直于變形的軸線，因此，該點的縱向位移

(1)

則該點的正應變

(2)

所以，在線彈性范圍內，梁在橫截面上的正應力

σ(x,z,t)=Eε(x,z,t)

(3)

忽略梁的橫向運動對縱向運動的影響和梁的縱向慣性，根據位移法得到距離左端x處一微段質心橫向運動的平衡方程為

(4)

式中:u(x,t)為縱向位移;w(x,t)為橫向位移;ρs為人行橋的主梁單位長度的質量;mp為橋上每延米行人質量;μ為縱橫向阻尼系數;fl為橫向單位長度上行人作用力。式(4)是考慮人行橋的幾何非線性效應后橫向參數振動方程。

圖1 縱橫向作用下梁的受力圖Fig.1 Force diagram of beam under lateral excitation

根據Dallard等[13-14]針對倫敦千禧橋的試驗所測得數據進行分析，通過擬合試驗數據得到動載系數與速度的關系如圖2，由圖2可以看出動載系數與速度成線性關系，同時由于行人的橫向運動為諧波運動，因此

(5)

圖2 動載系數與速度的關系Fig.2 Relationship between dynamic load coefficient and velocity

由于倫敦千禧橋的現場試驗表明：當行人數量增加到一定程度時，不僅激發了二階頻率的振動，同時也激發了0.48 Hz的一階頻率橫向振動失穩，且一階模態的響應起主要作用，而以往的強迫振動模型都不能解釋千禧橋一階橫向振動這一現象，本文為了解釋千禧橋一階模態出現大幅橫向振動的現象，因此只考慮一階模態，設其一階振型函數為φ(x)=sin(πx/L)，方程的解可以寫為

(6)

式中：q(t)為第1階振型的廣義坐標，將式(5)、式(6)代入式(1)，利用Galerkin方法將其離散，得到考慮人群對橋梁質量影響的單模態的振動微分方程式(7)

β1cos(ωpt)q(t)+β2q3(t)-F0cos(ωpt)=0

(7)

2 多尺度攝動分析

用多尺度[15]法對式(7)進行求解，由于行人激勵頻率不在ω0附近，因此對阻尼項、參數激勵項及非線性項引入無量綱小參數，那么式(7)可以改寫為

εβ1cos(ωpt)q(t)+εβ2q3(t)-εF0cos(ωpt)=0

(8)

式(8)的一次近似解

q(t)=u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)

(9)

將式(9)代入式(8)，令方程兩邊小參數ε的系數相等，可以得到以下線性偏微分方程

(10)

(11)

設式(10)的解為

(12)

把式(12)代入式(11)得到

(13)

式中:cc為前面表達式的共軛復數，由式(13)可知：當ωp≈2ω0系統存在參數共振，ωp≈ω0系統是強迫振動，下面就ωp≈2ω0進行參數振動分析。引入新的激勵頻率調諧參數ωp=2ω0+εσ，將其代入式(13)可以得到消除永年項的條件

(14)

令A(T1)=a1(T1)/2ejγ1(T1)，將其代入式(14),比較其實部和虛部，并令φ1=σT1-2γ1，得到

(15)

(16)

令D1a1=0，D1φ1=0得到：平凡解為a1=0，非平凡解可以從幅頻方程式(15)、式(16)中得到

(17)

為了研究式(17)在非平凡解的穩定性，令

an=an0+Δa，φn=φn0+Δφ

(18)

式中：Δa,Δφ微小撓動量。將式(18)代入式(15)、式(16)進行線性化處理得到

(19)

(20)

考慮式(19)、式(20)，消除sinφn0,cosφn0得到特征方程

λ2+ν1λ+χ1=0

(21)

由于ν1=ζ1>0,所以，χ1>0時，非平凡解是穩定的，否則是不穩定的。

3 算例分析

以倫敦千禧橋中跨橋為例進行人行橋橫向非線性參數振動分析，計算時所取的參數：人行橋單位長度的質量ms=2 000 kg/m，單個行人的平均質量mps=70 kg，根據《法國指南》的研究結果[16],等效同步系數λ=0.3，αl0=0.04,αlv=0.7, 縱向動載系數αh1=0.04,基頻fs0=0.48 Hz，跨徑L=144 m，其等效抗彎剛度EI=8.038 3×1010N·m2，等效截面面積A=0.254 8 m2，等效抗壓剛度EA=5.350 3×1010N·m2，阻尼比分別取0.005,0.007.0.010,0.015,0.020,0.030。

3.1 確定臨界條件

(22)

(23)

根據式(23)畫出ζ2的臨界值與人群行走頻率的關系圖，如圖3所示。

圖3 不同阻尼比時ζ2lin的一階近似曲線Fig.3 First approximate curve of ζ2lin in different damping ratios

圖3給出了一階近似解在不同阻尼比時，臨界曲線隨激勵頻率變化的趨勢，由圖3可知：在εσ=0時，ζ2取得最小值，且εσ較小的變化即可引起ζ2較大的變化。當在εσ=0附近時，阻尼比的影響較大，阻尼比越大ζ2的值越大，當εσ遠離0時，阻尼比的影響漸漸減小，且阻尼比越大，ζ2的臨界值越大，在臨界曲線以下為穩定區域。因此，參數共振解的物理意義是：只有當行人的步頻接近人行橋的頻率的2倍時，才可能激發出共振，使人行橋出現大幅橫向振動。

3.2 確定臨界人數

人群在千禧橋上行走滿足穩定的條件是

ζ2≤ζ2lim

(24)

假定橋上的行人是均勻分布的，與橋量的質量分布規律基本相同，且有

mpL=Nmps

(25)

式中:N為橋上的人數，人群對人行橋的阻尼的影響忽略不計。

由式(23)～式(25)可以得到

(26)

從表1可以看出：雖然本文的動載系數與速度之間的關系是千禧橋現場實測得到的，但本文的方法較Dallard方法預測更加準確，可對不同人行橋的臨界人數進行預測，且計算簡單方便。

表1 不同人行橋臨界人數對比Tab.1 Comparison of critical numbers of different footbridges

在人群行走頻率接近0.96 Hz較小范圍內，千禧橋會發生嚴重的參數振動和強迫振動。考慮非線性振動時，當振動達到一定時間，幅值達到穩定狀態，參數振動為等周期振動，而在線性振動中，參數振動不再是等周期振動。最大位移為37 mm，最大速度為0.11 m/s，最大加速度為0.33 m/s2。其中速度計算值與試驗值相接近，試驗測試的最大速度為0.135 m/s，計算的位移和加速度幅值分別為12 mm,0.1 m/s2，二者處于同一量值，說明模型具有一定的可信度。

3.4 單位時間內上橋人數的影響

由于人群上橋受到行走目的、地域以及時間的影響，在單位時間內上橋的人數可能不同，而不同的人流量可能會導致結構不同的動力響應，本文考慮總數為250人，每400 s上橋的行人數分別為30人,50人,70人,90人,110人時，計算倫敦千禧橋參數共振時橫向動力響應幅值。

從圖4可知：隨著單位時間內上橋人數增加，倫敦千禧橋的動力響應幅值減小，這是由于單位時間內上橋人數越少，行人在橋上的時間越長，因此越容易引起參數共振，當達到每隔400 s上橋50人，結構的動力響應幅值變化不大。

圖4 橫向響應幅值與上橋人數的關系曲線圖(εσ=0)Fig.4 Graph of relation between lateral response amplitude and the crowd on the footbridge(εσ=0)

3.5 橋梁單位長度質量對橫向振動的影響

圖5以橋上200人為例，研究了橫向響應幅值與橋梁單位長度的質量的關系。當結構的單位長度的質量增大時，結構的橫向振動響應幅值減小，從圖5可知：質量較輕的結構，容易引起參數共振，使結構的橫向響應大幅增加。當結構單位長度質量大于2.2 t，200人在橋上同時行走時不能激起參數振動，單位長度的質量對結構側向振動響應幅值影響不大。

圖5 橫向響應幅值與橋梁單位長度質量的關系曲線圖(εσ=0)Fig.5 Graph of relation between lateral response amplitude and mass per unit length of bridge (εσ=0)

橋梁單位長度的質量對千禧橋的影響不同于日本的T橋，因為千禧橋的振動主要是參數振動引起，而日本T橋則是強迫振動引起的共振。因此提高千禧橋的單位長度的質量可以有效避免參數振動。

3.6 橋梁結構阻尼比對橫向振動的影響

圖6以橋上200人為例，計算在結構不同阻尼比，千禧橋發生參數共振時的橫向位移幅值的變化情況。由圖6可知：當結構阻尼比較高時，千禧橋的橫向振動響應較小；當結構的阻尼比較低時，千禧橋發生了參數振動，振動響應急劇增大，當結構的阻尼比大于0.01，200人同時行走時不能激起參數振動，阻尼比對結構的響應影響不大。

橋梁的阻尼比對千禧橋的影響不同于日本T橋，因為千禧橋的振動主要是參數振動引起，而日本T橋則是強迫振動引起的共振。因此提高千禧橋的阻尼比可以有效避免參數振動。

圖6 橫向響應幅值與橋梁阻尼比ζ1的關系曲線圖Fig.6 Graph of relation between lateral response amplitude and damping ratio of footbridge

圖7為千禧橋在不同阻尼比情況下，跨中位移響應的時程曲線，該圖顯示出在經過一段時間的參數共振后，由于幾何非線性的原因，千禧橋的橫向振動漸趨穩定，阻尼對振幅的影響較大，阻尼越小，到達穩定振動所需要的時間越短。

圖7 不同阻尼的橫向位移幅值時程圖(w0=0.001,v0=0.001)Fig.7 Lateral displacement amplitude time-histories graph in different damping(initial conditions：w0=0.001,v0=0.001)

4 結 論

本文考慮行人質量對人行橋自重的影響，基于實測數據，建立了基于力與速度之間關系的非線性橫向參數振動模型，以倫敦千禧橋為例，對行人引起人行橋參數振動作用下的大幅振動進行了理論研究和數值分析，得到如下結論：

(1)該模型能夠較好地解釋千禧橋一階模態發生橫向大幅振動的原因。給出了千禧橋發生大幅橫向振動的臨界條件，臨界人數的理論計算值與實測值相接近，由于非線性的存在，響應幅值并不是一直增大，這與實際情況相符，說明建立的理論模型是合理可靠的。

(2)臨界人數的理論計算值與現有研究成果進行比較，表明本文方法可用于不同人行橋的臨界人數進行預測，且計算簡單方便，說明建立的模型是合理的、正確的；行走頻率越接近2倍固有頻率能夠激起大幅振動所需要的行人數越少，只要輕微的激勵，人行橋也會發生大幅振動；考慮非線性振動時，當行人數超過臨界人數時，振動幅值趨于穩定的等幅振動，而線性振動時發散振動的非等幅振動；

(3)隨著單位時間內上橋人數增加，千禧橋的動力響應幅值減小；當結構的單位長度質量、阻尼比增大時，能夠有效避免千禧橋發生參數振動。