非線性裂紋轉子的振動控制與裂紋延緩的研究

劉 軍， 胡 敏， 陳建恩， 王肖鋒

(1. 天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室，天津 300384； 2. 天津理工大學 機電工程國家級實驗教學示范中心，天津 300384)

轉子系統作為大功率、高轉速動力機械(如航空發動機、燃氣輪機、壓縮機等)的核心部分，通常工作在多耦合場(高壓、高溫、高速)和周期性交變載荷的環境中，由于多變的振動形態、復雜的應力狀態、過大的軸向溫度梯度分布以及工作介質的腐蝕等諸多因素的影響，使得轉子在運行過程中易出現橫向裂紋。橫向裂紋[1-3]的出現和擴展會導致轉子剛度發生變化，從而引起轉子系統振動響應的改變，甚至可能引起轉子系統的失穩，從而導致機械損壞等重大事故[4-7]。為了及早準確地檢測和診斷出轉子裂紋，延長轉子的使用壽命，有必要深入地研究裂紋轉子系統的振動特性和穩定控制方法。

目前，描述裂紋的數學模型主要有兩種：開閉裂紋和呼吸裂紋。相比開閉裂紋模型，呼吸裂紋模型更接近實際裂紋的變化規律[8]。但是，現在仍然沒有精確描述的呼吸裂紋模型。因此，找到一個準確合理的呼吸裂紋模型對研究裂紋轉子系統的動力學行為尤為重要。Gasch[9]提出方波函數模型，該模型假設轉子運動過程中裂紋開閉情況符合階躍函數形式，只描述了張開和閉合兩個狀態。Mayes等[10]提出余弦函數模型，與方波模型相比，考慮了裂紋全開和全閉之間的過渡狀態，但是忽略了裂紋在全開和全閉狀態時的持續過程。高建民等[11]綜合考慮方波模型和余弦函數模型的優點，同時考慮裂紋全開、全閉和過渡狀態的過程，提出混合函數開閉模型。但是，上述模型都是通過假設和近似函數來描述裂紋呼吸過程，與實際裂紋呼吸變化的過程描述存有差異。Al-Shudeifat等[12-15]采用傅里葉級數建立了一種新的呼吸裂紋模型，通過截面慣性矩的變化反映裂紋開閉過程和裂紋轉子剛度的變化，研究結果表明該模型更接近實際裂紋的開閉過程。但是，該研究中轉子模型沒有考慮非線性因素，與實際裂紋轉子系統存在差異。

轉子系統的振動控制問題一直是國內外學者研究的重點。電磁軸承[16-18]和電磁執行器[19-21]是通過對轉子施加主動電磁力,實現轉子振動控制和提高穩定性的有效方法。占智軍等[22-23]采用電磁執行器實現對轉子系統的振動控制，取得了良好的效果。但是,由于電磁執行器本身具有非線性恢復力和參數不確定性,傳統的線性控制器通常是在平衡點附近進行線性化處理和忽略參數不確定性部分，控制中往往不能達到最優的控制要求,導致控制器易受干擾。

Zhu[24]開展了旋轉狀態下的電磁軸承對轉子系統的激勵實驗，指出傳統PID(Proportion Integration Differentiation)控制器的穩健性不強，不能很好地適應非線性系統，對電磁軸承基座橫向振動的抑制能力非常有限。神經網絡[25-26]具有一定的自學習、自適應、非線性映射能力和容錯性，越來越多的應用在控制領域的各個方面，較好地解決了具有不確定性、非線性、時變和滯后等復雜系統的控制問題。Yousefi等[27]利用神經網絡控制抑制永磁直線同步電動機中的振動。Al-Nassar等[28]設計一個神經網絡控制器實現了線性轉子軸承系統的振動控制，結果表明神經網絡控制有較好的抗高頻干擾和穩定性。

裂紋的周期性開閉是導致轉子疲勞裂紋擴展的主要原因，而隨著裂紋的不斷擴展，轉子強度逐漸減小，因此，有必要對延緩裂紋擴展進行研究。但是目前的研究主要集中在對裂紋的監測和檢查，尚無法對轉子裂紋擴展進行有效的控制。Liu等提出了裂紋開閉模型，研究了影響轉子裂紋開閉的一些因素，從而可以對裂紋擴展進行有效控制。但是，研究中僅僅采用的綜合裂紋剛度模型構建數學模型，具有一定的局限性。

針對上述問題，本文采用截面慣性矩的變化反映呼吸裂紋的模型，設計神經網絡PID控制器對電磁執行器進行控制，通過仿真和實驗實現了對非線性裂紋轉子系統的非線性振動的控制，提高裂紋轉子系統的穩健性和穩定性。同時基于提出的一種新的可靈活地描述轉子裂紋開閉程度模型，通過對改變不同轉子參數值得到裂紋開閉程度的分析研究，探討了延緩裂紋擴展的策略。

1 裂紋轉子系統建模

1.1 裂紋非線性剛度模型

圖1 裂紋橫截面示意圖Fig.1 Cross-section schematic diagrams of the cracked element

在重力與質量不均勻力作用下，轉子軸旋轉時裂紋會出現周期性開閉現象，裂紋截面形心和中性軸位置會發生改變，如圖2所示。中性軸通過截面的形心，是截面上壓應力區域和拉應力區域的分界線。中性軸上方區域屬于壓應力區，位于這個區域的裂紋處于閉合狀態；中性軸下方屬于拉應力區域，位于這個區域的裂紋保持張開狀態。

圖2 旋轉不同角度時裂紋的狀態Fig.2 States of the breathing crack at different rotational angles

轉子旋轉一周裂紋開閉狀態如表1所示。假定轉子旋轉初始位置如圖2(a)所示，裂紋處于全開狀態；裂紋邊緣沿逆時針旋轉至θ1時，裂紋邊緣上端點剛接觸到中性軸，裂紋開始閉合；當轉子旋轉至圖2(c)所示位置時，中性軸以上裂紋區域閉合，中性軸以下區域保持張開；當轉子旋轉至θ2時，裂紋區域全部位于中性軸以上，裂紋處于全閉狀態。

表1 一個周期裂紋內裂紋開閉狀態Tab.1 Crack states in one periodic

裂紋轉子的剛度矩陣可表示成下列方程

(1)

式中：kxx為裂紋轉子水平方向的剛度；kyy為裂紋轉子豎直方向的剛度；kxy和kyx為裂紋轉子的耦合剛度；E為材料的楊氏模量；L為轉子長度。

1.2 裂紋轉子系統建模

轉子系統模型如圖3所示。圓盤位于水平支撐的轉子中間，忽略轉子質量，在轉子上靠近圓盤處有一個深度為h的橫向裂紋。由于材料不均勻，整個裂紋轉子系統存在質量偏心。轉子兩端分別由單列深溝球軸承和自動調心球軸承支撐，由此轉子系統會受非線性彈簧恢復力作用，從而導致系統產生非線性振動。電磁執行器(Electromagnetic Actuator, EMA)固定在轉子外側，用來控制裂紋轉子系統的非線性振動。

圖3 具有電磁執行器的裂紋Jeffcott轉子模型Fig.3 Jeffcott rotor with a transverse crack and an electromagnetic actuator

電磁執行器采用四極C型結構，包含八個定子極，相鄰兩個定子磁極的極性相反，當電磁執行器的線圈通電后，相鄰定子之間會形成一個C形的磁通回路，磁場中的偏置電流I0用來保證轉子的平衡。電磁執行器沿坐標軸四個方向產生電磁合力，當轉子位于第一象限時，上下和左右線圈的電流分別為I0-ix，I0+ix，I0-iy和I0+iy，沿坐標軸方向的電磁合力分別為Fmx和Fmy。

具有電磁執行器作用的裂紋轉子系統的動力學方程如下所示

(2)

式中：m為轉子系統集中質量；c為轉子系統阻尼系數；kxx為裂紋轉子在x方向的剛度；kxy為裂紋轉子在y方向的剛度；kxy，kyx為裂紋轉子的耦合剛度；e為偏心距；ω為轉速；φ0為轉子不平衡方向初始相位角；Nx和Ny分別為裂紋轉子系統x和y方向的彈性恢復力的非線性項。

電磁力Fmx和Fmy的表達式為

(3)

式中：R0為氣隙；I0為偏置電流；ix與iy分別為在x和y方向的控制電流；km和δ為電磁作用器的特征常數。

非線性項Nx和Ny的表達式如下

(4)

為了計算方便，對非線性裂紋轉子方程式(2)進行無量綱化處理，變換參數如下

經無量綱后，裂紋轉子系統的動力學方程如下所示

(5)

為方便后續表述起見，在式中變量上標“-”將被省略。

1.3 裂紋開閉程度模型

(6)

式中：L為轉子長度；a為裂紋深度；x(ω)為轉速為ω時轉子在水平方向的位移量。

圖4 轉子裂紋的開口程度和x方向位移量的關系Fig.4 The relationship of the crack opening degree and the vibration displacement in x-direction

假設轉子系統存在初始位移x0(ω),則有如下關系式

x(ω)=xi(ω)-x0(ω)

(7)

由式(7)可知，當xi(ω)≤x0(ω)時，τ(t)≤0，表明此時裂紋處于閉合狀態，P=0；當xi(ω)>x0(ω)時，τ(t)>0，表明此時裂紋處于張開狀態，P=τ(t)。P越大說明裂紋的張開程度越大，裂紋的擴展速度可能越快。

2 神經網絡PID控制器的設計

針對復雜系統的非線性和參數不確定性等問題，具有適應能力強、穩健性和并行處理能力的神經網絡應用于控制系統，使系統具有更強的適應性和穩健性。同時，傳統PID控制器具有結構簡單、調整方便等特點，將神經網絡與PID結合，可提高參數實時調整與對具有復雜過程和時變參數難以控制等上述問題的處理能力。

2.1 基于BP神經網絡的PID控制器結構

基于BP神經網絡的PID控制器結構如圖5所示，整個控制器主要由兩部分組成：

圖5 基于BP神經網絡的PID控制器結構Fig.5 Structure of PID controller based on BP Neural Network

(1)傳統的PID控制器，直接對被控對象進行閉環控制，同時在線調整kp，ki，kd三個參數。

(2) BP神經網絡，輸出層神經元的輸出狀態對應PID控制器的三個可調參數kp，ki，kd，通過神經網絡的學習、加權系數的不斷調整，使神經網絡的最終輸出達到學習后最優控制下的PID控制參數。

2.2 網絡訓練算法

在大量的實際應用中，PID參數的在線調整主要與e(n)和Δe(n)有關，本文的神經網絡自適應PID控制算法中加權系數修正采用改進的學習算法如下

(8)

(9)

(10)

式中，ηp，ηi和ηd分別為比例、積分、微分的學習速率。

對比例(P)、積分(I)和微分(D)分別采用不同的學習速率ηp，ηi和ηd，以便對它們各自的加權系數可以根據各自要求分別進行學習調整。選取規則如下：

(1) 對于階躍響應，若輸出產生較大超調，且多次出現正弦衰減，則應減少K，維持ηp，ηi和ηd不變；若上升使時間較長，不產生超調，則增大K，保持ηp，ηi和ηd不變。

(2) 對于階躍輸入，若輸出產生多次正弦衰減，則減少ηp，其他參數不變。

(3) 若被控對象響應出現超調過大、上升時間短，則減少ηi，保持其他參數不變。

(4) 若被控對象的響應的上升時間長，增大ηi，又導致超調過大，可以適當增加ηp，保持其他參數不變。

(5) 開始調整之前，應選擇較小的ηd，當調整ηp，ηi和K，使被控對象響應特性達到理想效果時，再逐漸增大ηd，保持其他參數不變，使系統的輸出基本無波紋。

(6)K是系統最敏感的參數。K的變化相當于P、I、D三項同時變化，因此應該首先調整K值，然后根據(1)～(5)的規則調整ηp，ηi和ηd。

2.3 數值仿真

由于Jeffcott裂紋轉子模型性質和將電磁執行器固定在圓盤位置等特點，為保證模型性質的不變，本研究中暫不考慮裂紋與執行器處于不同相對位置對控制效果的影響。

2.3.1 不同裂紋模型的對比分析

為了對比裂紋模型的差異，僅僅利用具有裂紋的Jeffcott轉子模型進行計算和比較研究。

圖6 裂紋轉子系統的響應曲線Fig.6 Resonance curve of cracked rotor system

2.3.2 非線性振動與控制

采用龍格-庫塔法求解方程式(5)，計算結果如圖7所示，其中實線代表裂紋轉子系統的響應曲線，虛線代表無裂紋轉子系統的響應曲線，點劃線代表電磁執行器作用下的裂紋轉子系統的響應曲線。當轉子系統存在裂紋時，在s點(ω=0.47)和n點(ω=0.7)處會分別產生超諧波共振。由于轉子支撐存在著非線性彈性恢復力的作用，轉子系統在p點(ω=1.4)和q點(ω=2.8)處，分別產生主諧波和1/2次分數諧波共振。同時，在主諧波共振p處還出現了多分枝穩定解。在1/2次分數諧波共振q處產生跳躍現象和呈現出漸軟型彈簧特性。但是，在電磁執行器作用下裂紋轉子系統的超諧波、主諧波和1/2次分數諧波共振均得到很好的抑制。結果表明，采用電磁執行器能夠很好實現裂紋轉子系統的非線性振動控制。

2.3.3 神經網絡PID控制性能分析

由于對稱轉子系統在x方向和y方向振動情況類似，在此僅討論研究方向x上的振動與控制特性。當裂紋轉子系統工作時，給系統施加幅值為0.16的階躍信號，分別得到神經網絡PID和傳統PID控制下的位移響應曲線如圖8所示。實線代表神經網絡PID控制響應曲線，虛線代表傳統PID控制響應曲線，橫坐標為時間t，縱坐標為裂紋轉子系統在x方向上的位移。

圖7 非線性裂紋轉子系統的響應曲線Fig.7 Resonance curve of nonlinear cracked rotor system

圖8 傳統PID和神經網絡PID控制下系統響應曲線Fig.8 Responses of cracked rotor system controlled by traditional PID and neural network PID

對比計算結果可知，傳統PID控制時，系統的響應會出現62.5%的較大超調值，調整時間0.02；采用神經網絡PID控制時，系統超調量僅為18.8%，調整時間縮短到0.005。相較于傳統PID控制，神經網絡PID控制對裂紋轉子系統的調節效果更好，更迅速。

當t=0.05時系統受到干擾，兩種控制方法的控制效果如圖9所示，實線代表神經網絡PID控制下系統響應曲線，虛線代表傳統PID控制下系統響應曲線。

圖9 傳統PID和神經網絡PID 控制作用下裂紋轉子系統受干擾時的系統響應曲線Fig.9 Disturbance responses of cracked rotor system controlled by traditional PID and neural network PID

結果表明，傳統PID控制時,系統響應會產生較大的擾動，而且調節時間較長。神經網絡PID控制時，控制器能實時調整參數,系統基本保持穩定，受干擾較小。相比傳統PID控制，神經網絡PID控制有著更好的穩定性和穩健性。

3 延緩裂紋擴展的研究

裂紋開閉程度與開閉周期對裂紋擴展有很大的影響，裂紋的張開程度越大及開閉頻率越高，裂紋的擴展相對越快。相同時間內裂紋的開閉次數增多，可能加速了裂紋的疲勞擴展。本文研究影響裂紋擴展的幾個相關因素，可以在實際的轉子系統中考慮調整對應參數值，減小轉子運動過程中的裂紋開閉程度和開閉周期，從而延緩裂紋擴展。

3.1 非線性參數對裂紋擴展的影響

圖10(a)、圖10(b)分別表示對稱非線性項β(0)=0.05和β(0)=0.15時裂紋開閉程度隨時間變化曲線。當β(0)由0.05增加到0.15時，裂紋開閉范數從0.01增加到0.04，但在相同的時間內，裂紋開閉次數由45次顯著減小到23次。由此，綜合考慮當轉子已經存在裂紋時，可以通過適當調整減小轉子支撐中對稱非線性項β(0)的值，實現對轉子裂紋擴展的延緩。

(a) β(0)=0.05

(b) β(0)=0.15圖10 對稱非線性項對裂紋開閉程度的影響Fig.10 Opening degree of crack with different symmetrical nonlinear parameters

3.2 偏心距對裂紋擴展的影響

圖12(a)、圖12(b)為不同偏心距e=0.1和e=0.15時裂紋開閉程度隨時間變化曲線。由圖可知，隨著偏心距的增加，裂紋的開閉大小由0.04顯著增大到0.06，但相同時間內裂紋開閉次數均為22次。因此，當轉子存在裂紋時，可以通過平衡轉子的不均勻質量的方法減小偏心距，從而延緩裂紋擴展。

(a) e=0.1

(b) e=0.15圖12 偏心距對裂紋開閉程度的影響Fig.12 Opening degree of crack with different eccentricities

3.3 電磁執行器對裂紋擴展的影響

圖13(a)、圖13(b)分別為沒有電磁執行器和具有電磁執行器作用情況下的裂紋開閉程度隨時間變化曲線。結果表明，在有電磁執行器作用時，裂紋始終閉合，裂紋周期性開閉現象得到很好的抑制。電磁作用器能很好的控制裂紋開閉狀態，從而實現延緩裂紋擴展。

(a)

(b)圖13 電磁執行器對裂紋開閉程度的影響Fig.13 Opening degree of crack with electromagnetic actuator

4 實 驗

為了安全起見，轉子由球軸承支撐，并豎直安置，實驗裝置如圖14所示。當轉子任意一端由單列深溝球軸承支撐時，系統的恢復力表現為非線性特性。

圖14 實驗裝置Fig.14 Experimental setup

軸的材料為不銹鋼(SUS304)，長度和直徑分別為700 mm和12 mm。圓盤(S45C鋼)安裝在軸的中心位置，直徑和厚度分別為150 mm和25 mm。電磁執行器被安裝在圓盤的位置，與圓盤間隔1 mm。為安全起見，在距離傳感器圓盤下面0.6 mm的位置，加裝一個安全軸承。

在圓盤上半徑Rd=100 mm的位置附加平衡質量。用于測量的圓盤安裝在距離主圓盤下面8 mm的位置，直徑和厚度分別為62 mm和44 mm。利用分辨率為0.8 μm的渦流式傳感器測量轉子在x和y方向上的位移。

非線性轉子系統的實驗結果如圖15所示。圖中圓圈表示沒有電磁執行器控制時的實驗響應曲線，三角形表示采用電磁執行器控制時的實驗響應曲線。

圖15 非線性轉子系統實驗響應Fig.15 Experimental resonance of nonlinear rotor system

在沒有電磁執行器控制的情況下，系統在主臨界速度ω=850 r/min處呈現漸硬彈簧特性，并產生較大振幅。由于軸承非線性恢復力的作用，當轉子轉速從高速 (ω=1 020 r/min)減小時，系統發生跳躍現象，并且加速和減速有不同的響應曲線(滯回現象)。當引入電磁執行器控制時，系統在整個轉速區間(0～1 500 r/min)的振動被有效地抑制在低幅值范圍，實驗結果與圖7的數值仿真結果一致。

圖16 裂紋開閉程度的影響(實驗)Fig.16 Experiment about opening degree of crack

在有效控制下裂紋轉子在ω=900 r/min處的裂紋開閉程度的影響結果如圖16所示，該結果與仿真結果圖13(b)基本一致，其中實線表示裂紋轉子系統有電磁執行器作用下裂紋開閉程度，虛線表示裂紋轉子系統無電磁執行器作用時的裂紋開閉程度。分析圖16可知，通過利用電磁執行器控制，裂紋的開閉程度P由0.04大幅縮減到0.003左右，同時，相同時間內裂紋開閉次數也由22次顯著減小到11次，裂紋的開閉程度和開閉頻率得到有效控制。

5 結 論

本文基于新型的呼吸裂紋函數和非線性裂紋轉子模型，采用神經網絡PID控制的電磁執行器，實現對裂紋轉子系統的非線性振動和裂紋擴展控制。同時分析不同轉子參數對裂紋擴展的影響，提出了延緩裂紋擴展的方法。主要結論如下：

(1) 使用神經網絡PID控制的電磁執行器能夠有效的對裂紋轉子系統的非線性作用力進行自學習處理和實現裂紋轉子系統在主諧波和分數諧波共振區域的非線性振動控制，同時解決裂紋轉子系統的非線性和不穩定性，提高了裂紋轉子系統的穩定性和穩健性。

(3) 裂紋轉子偏心距越大，裂紋開閉程度變大，開閉周期基本不變，會加速裂紋擴展。可以通過平衡轉子的不均勻質量的方法減小偏心距，從而延緩裂紋擴展。

(4) 電磁執行器可以有效控制裂紋轉子的非線性振動，控制裂紋的開閉狀態，使裂紋始終保持閉合，從而有效的延緩裂紋擴展。

致謝

感謝天津市自然科學基金(17JCZDJC38500和17JCYBJC18800)對本研究的資金資助。