一種具有幾何非線性的斜置式慣容隔振器動態特性研究

王 勇， 汪若塵， 孟浩東

(1.江蘇大學 汽車工程研究院，江蘇 鎮江 212013； 2.常州工學院 機械與車輛工程學院，江蘇 常州 213002)

Smith[7]于2002年首次發明了慣容器，慣容器是一種被動的機械裝置，具有兩個相對自由運動的端點，作用于兩端點的力與兩端點的加速度成一定比例，該比例值，稱為“慣質系數”(單位為kg)。作為一種新型的機械裝置，慣容器廣泛運用于汽車懸架[8-10]、軌道車輛懸架[11]、建筑減振[12]、動力吸振系統[13]和隔振系統中，研究表明采用慣容器后，這些裝置具有更好的減振或隔振性能。Chen等[14]研究了慣容器對振動系統固有頻率的影響，表明慣容器能減小系統的固有頻率。Hu等[15]分析了幾種慣容隔振器的動態特性，在這些隔振器中，慣容器與彈簧或阻尼器處于并聯或串聯，研究表明與線性隔振器相比，并聯式或串聯式慣容隔振器可以有更好的隔振性能。

與幾何非線性彈簧裝置和幾何非線性阻尼器裝置類似，本文研究采用幾何非線性慣容器裝置的隔振器的動態性能，主要目的是分析此幾何非線性對斜置式慣容隔振器動態性能的影響，研究此隔振器是否比線性隔振器具有更好的隔振性能。隔振器的隔振性能用動態位移峰值、傳遞率峰值和隔振頻帶[16]來評價。本文首先分析考慮幾何非線性的斜置式慣容隔振器的動態響應，建立系統的動力學方程，運用諧波平衡法求解系統的動力學響應。之后研究斜置式慣容隔振器的隔振性能，并與線性隔振器進行對比分析。

圖1 采用幾何非線性彈簧裝置和幾何非線性阻尼器裝置的非線性隔振器
Fig.1 Nonlinear vibration isolator with geometric nonlinear spring and geometric nonlinear damper

1 斜置式慣容隔振器動態響應分析

斜置式慣容隔振器如圖2所示，圖中的彈簧變形調節裝置使承載質量m在靜態平衡位置處平衡，且使慣容器處于水平位置，這種結構能適應承載質量m的質量變化。彈簧剛度為k；慣容器慣質系數為b；設系統阻尼為線粘性阻尼，阻尼系數為c；慣容器的長度為l；x為承載質量m從靜態平衡位置開始時的位移；外界激勵為簡諧力激勵f=fecos(ωt)。

圖2 斜置式慣容隔振器Fig.2 Inclined inerter-based vibration isolator

慣容器在承載質量m的運動方向即垂直方向上的力為

(1)

運用式(1)，斜置式慣容隔振器在簡諧力激勵下的動力學方程為

(2)

式(2)表示對時間t求導。將式(2)無量綱化，可得

(3a)

(3b)

式(3a)表示對參數T求導，xs為斜置式慣容隔振器的靜態位移；注意到mg=kxs；激勵力幅值fe也可用承載重量無量綱化，即Fe=fe/(mg)。

將式(1)無量綱化，可得

(4)

則慣容器在承載質量運動方向上的無量綱力Fb隨著慣質比δ的增加而增大，隨著長度比L的增加而減小。定義力Fb中的非線性項

(5)

當系統位移量X較小時，可將式(5)在X=0處進行泰勒級數展開以近似處理，可得

(6)

H(X)的精確表達式與近似表達式對比曲線如圖3所示。當系統位移量較小時，H(X)的精確表達式與近似表達式誤差較小，表明運用泰勒級數展開式來近似處理H(X)是有效可行的，很明顯高階泰勒級數展開式能更好地模擬精確表達式，且隨著長度比的增加，泰勒級數展開式能很好模擬精確表達式的位移范圍增大。當系統位移量增加時，H(X)的精確表達式與近似表達式的誤差逐漸增大，當系統位移量增加到一定值時，H(X)的泰勒級數展開式會小于0，而實際H(X)的精確表達式是一個正值，此時表明泰勒級數展開式不能再用來模擬精確表達式。

本文考慮較小的系統位移量，H(X)用四階泰勒級數展開式來近似處理，則式(3a)可表示為

(7)

圖3 H(X)精確表達式與近似表達式對比曲線Fig.3 Comparison between exact and approximate expressions of H(X)

運用諧波平衡法求解式(7)，假設解的形式如X=Xmcos(ΩT+Φ)，忽略高次諧波項的影響，可得斜置式慣容隔振器的幅頻及相頻特性關系

(8a)

(8b)

(8c)

當激勵力幅值Fe取不同值時，斜置式慣容隔振器幅頻及相頻特性曲線如圖4所示。隨著激勵力幅值的增加，系統幅頻特性曲線有四種不同的形式：線性、軟特性、漸軟漸硬特性和硬特性。當激勵力幅值比較小時，系統幅頻特性曲線與線性簡諧激勵系統類似，為線性特性曲線，即對于每一個激勵頻率Ω有唯一對應的動態位移Xm；當激勵力幅值增加時，系統幅頻特性曲線向左側彎曲，表現出軟特性，與軟達芬系統類似，當激勵頻率從低頻向高頻掃頻或從高頻向低頻掃頻時，會發生一次跳躍現象；當激勵力幅值繼續增加時，系統幅頻特性曲線先向左側彎曲，表現出軟特性，再向右側彎曲，表現出硬特性，當對激勵頻率進行掃頻時，系統會發生兩次跳躍現象；當激勵力幅值增加到較大值時，系統幅頻特性曲線向右側彎曲，表現出硬特性，與硬達芬系統類似，當對激勵頻率進行掃頻時，系統會發生一次跳躍現象。

需要注意的是圖4所示的斜置式慣容隔振器幅頻特性曲線是根據式(7)得到的，與式(3a)代表的原始的振動系統不同，式(7)代表的是用四階泰勒級數展開式近似處理的振動系統。從圖4中可看出，當激勵力幅值取值較大時，系統動態位移較大，而當系統動態位移增加時，H(X)的精確表達式與近似表達式的誤差逐漸增大，H(X)的近似表達式很難用來模擬其精確表達式，表明圖4所示的激勵力幅值較大下的近似振動系統的幅頻特性曲線可能不能代表原始振動系統的幅頻特性曲線。因此需要驗證式(7)代表的近似振動系統的有效性以及運用諧波平衡法求得的解析解的精確性。

曲線1-Fe=0.01；曲線2-Fe=0.05；曲線3-Fe=0.1；曲線4-Fe=0.15；曲線5-Fe=0.2；曲線6-Fe=0.4

系統動態響應的解析解與數值解對比如圖5所示，數值1和數值2通過四階定步長的龍格庫塔法對近似振動系統(式(7))和原始振動系統(式(3a))進行數值積分求解得到。

圖5 斜置式慣容隔振器動態響應解析解與數值解對比(δ=2，L=2，ζ=0.05)Fig.5 Comparison between analytical results and numerical results of the dynamic response for the inclined inerter-based vibration isolator with δ=2, L=2 and ζ=0.05

從圖5(a)～圖5(c)中可看出，當激勵力幅值較小時，系統動態位移相對較小，從圖3(c)中可看出，在這個動態位移范圍內，H(X)的精確表達式與近似表達式的誤差較小。在整個頻帶內，兩種數值解比較一致，表明式(7)代表的近似振動系統是有效可行的；兩種數值解與解析解也比較一致，說明運用諧波平衡法求解系統的動態響應也是可行的。

從圖5(d)～圖5(f)中可看出，當激勵力幅值較大時，系統在共振頻帶內的動態位移相對較大，從圖3(c)中可看出，在這個動態位移范圍內，H(X)的精確表達式與近似表達式的誤差較大。在共振頻帶內，兩種數值解以及數值解與解析解的誤差都較大，表明式(7)代表的近似振動系統不能再精確模擬原始振動系統，運用諧波平衡法求得的動態響應精確性也有所下降。當激勵力幅值較大時，近似振動系統的幅頻特性曲線會呈現軟特性，漸軟漸硬特性和硬特性，而用數值解求得的原始振動系統的幅頻特性曲線呈現軟特性，進一步表明了激勵力幅值較大下的近似振動系統的幅頻特性曲線不能代表原始振動系統的幅頻特性曲線，因此本文在分析斜置式慣容隔振器的隔振性能時只考慮激勵力幅值較小時的情況。

2 斜置式慣容隔振器隔振性能分析

斜置式慣容隔振器的隔振性能用動態位移峰值XmP，傳遞率峰值TFP和隔振頻帶Ωi這三個評價指標來評價。將系統的幅頻特性方程式(8b)寫成關于頻率的方程

P2Ω4+P1Ω2+P0=0

(9a)

(9b)

則可得

(10)

(11)

通過數值求解可求得動態位移峰值，將動態位移峰值代入式(10)可確定其所對應的頻率，斜置式慣容隔振器的動態位移峰值在圖4中用圓圈表示。可以證明動態位移峰值隨著激勵力幅值的增加而增大，隨著阻尼比的增加而減小，本文不再詳細論述，只討論慣質比和長度比對系統動態位移峰值的影響。

斜置式慣容隔振器的隔振性能需與線性隔振器進行比較。簡諧力激勵下線性隔振器的動態響應為

(12)

將式(12)對頻率進行求導，可確定動態位移峰值以及其所對應的頻率

(13)

當慣質比取不同值時，斜置式慣容隔振器動態位移峰值隨長度比變化趨勢如圖6所示，并與線性隔振器的動態位移峰值進行對比分析。鑒于慣容器的實際長度，長度比的取值范圍為1～5，較小的長度比不符合實際工程情況。斜置式慣容隔振器的動態位移峰值隨著慣質比的增加而增大；在選擇的長度比范圍內，當慣質比較小時，動態位移峰值隨著長度比的增加而減小，而當慣質比較大時，動態位移峰值隨著長度比的增加先增大后減小；當長度比較大時，動態位移峰值接近線性隔振器的動態位移峰值。與線性隔振器相比，斜置式慣容隔振器的動態位移峰值較大。

圖6 不同慣質比下，斜置式慣容隔振器動態位移峰值隨長度比變化趨勢(ζ=0.05，Fe=0.05)Fig.6 Peak dynamic displacement of the inclined inerter-based vibration isolator for different length ratio under different inertance-to-mass ratio with ζ=0.05 and Fe=0.05

經斜置式慣容隔振器傳遞到基礎的無量綱力為

(14)

則斜置式慣容隔振器的力傳遞率為

TFN=

(15)

運用式(8b)，式(15)也可寫為

TFN=

(16)

將動態位移峰值以及其所對應的頻率代入式(16)，可確定斜置式慣容隔振器的力傳遞率峰值，隔振頻帶也可通過式(16)確定。

簡諧力激勵下線性隔振器的力傳遞率為

(17)

將式(17)對頻率進行求導，可確定力傳遞率峰值以及其所對應的頻率

(18)

不同激勵力幅值下，斜置式慣容隔振器力傳遞率，力傳遞率峰值及隔振頻帶如圖7所示。在所考慮的較小的激勵力幅值范圍內，當激勵力幅值增加時，力傳遞率峰值減小，隔振頻帶變寬。

(a) 力傳遞率(b) 力傳遞率峰值

圖7 不同激勵力幅值下，斜置式慣容隔振器力傳遞率，力傳遞率峰值及隔振頻帶(δ=2，L=2，ζ=0.05)Fig.7 Force transmissibility, peak force transmissibility and isolation frequency band of the inclined inerter-based vibration isolator for different force amplitude with δ=2, L=2 and ζ=0.05

不同慣質比及長度比下，斜置式慣容隔振器力傳遞率如圖8所示。當慣質比取不同值時，斜置式慣容隔振器力傳遞率峰值及隔振頻帶隨長度比變化趨勢如圖9所示。當慣質比增加時，斜置式慣容隔振器力傳遞率峰值逐漸減小，隔振頻帶逐漸變寬；而當長度比增加時，力傳遞率峰值逐漸增大，隔振頻帶逐漸變窄。

當激勵頻率趨于無窮時，斜置式慣容隔振器的力傳遞率趨于0，與線性隔振器類似。當與線性隔振器相比時，斜置式慣容隔振器的力傳遞率峰值較小，隔振頻帶較寬。

圖8 不同慣質比及長度比下，斜置式慣容隔振器力傳遞率(ζ=0.05，Fe=0.05)Fig.8 Force transmissibility of the inclined inerter-based vibration isolator for different inertance-to-mass ratio and length ratio with ζ=0.05 and Fe=0.05

圖9 不同慣質比下，斜置式慣容隔振器力傳遞率峰值及隔振頻帶隨長度比變化趨勢(ζ=0.05，Fe=0.05)Fig.9 Peak force transmissibility and isolation frequency band of the inclined inerter-based vibration isolator for different length ratio under different inertance-to-mass ratio with ζ=0.05 and Fe=0.05

3 結 論

(1) 斜置式慣容隔振器采用了幾何非線性慣容器裝置，表現在慣容器在承載質量運動方向上的力是非線性的以及動力學方程中的加速度項是非線性的。

(2) 用泰勒級數展開式來近似模擬斜置式慣容隔振器在承載質量運動方向上的力，用諧波平衡法求得近似振動系統的動態響應，解析解與數值解的對比分析表明激勵力幅值較小下的近似振動系統的動態響應能代表原始振動系統的動態響應，用諧波平衡法求解系統的動態響應是可行的。

(3) 當激勵力幅值較小時，與線性隔振器相比，斜置式慣容隔振器的力傳遞率峰值較小，隔振頻帶較寬，高頻傳遞特性類似，而動態位移峰值較大。