洛必達法則應用探析*

摘要：微積分中對洛必達法則的問題求解應用層次較多，對于簡單的問題學生能利用公式進行快速求解。但是，當遇到稍微復雜點的題目，解決的難點隨之加大，甚至無從下手。在學習過程中，應從公式定義出發，分析公式應用條件，探究應用技巧，達到靈活應用的目的。

關鍵詞：極限；洛必達法則；應用

1 洛必達法則的定義

定義1：求未定式 型的極限

洛必達（LHospital）法則Ⅰ：若函數f（x）與g（x）滿足條件：

⑴

⑵f（x）與g（x）在點x0的某一空心鄰域內可導，且g（x）≠0；

⑶

則

定義2：求未定式 型的極限

洛必達（LHospital）法則Ⅱ：若函數f（x）與g（x）滿足條件：

⑴

⑵f（x）與g（x）在點x0的某一空心鄰域內可導，且g'（x）≠0；

⑶

則

特別的：在法則（Ⅰ）和法則（Ⅱ）中，把x→x0改為x→∞，仍然成立.

2 應用洛必達法則的解題步驟

利用洛必達法則進行題目求解時，可采用如下步驟進行：

（1）明確題目的類型是 還是 型的未定式；

（2）分子分母分別求解后再判定極限類型。若不再是 和 就利用一般的極限求解方法進行求解。若還是 或 之一，則再次應用洛必達法則進行求解。

（3）依次循環步驟（2），直至極限求得。

3 習題分析

（1）常見極限的求解問題

例1

分析：當x→0時，x2→0，sin2x→0均趨近于0，所以該極限為 型。

則

例2

分析：該題可采用兩個重要極限中 的結論進行構造求解，但是解題過程相對復雜：

通過分析，當x→0時，sin2x→0，sin3x→0均趨近于0，所以該極限為 型，便于計算。

則

例3

分析當 均趨近于+∞，所以該極限為 型。則，

（2）應用拓展

1）既然洛必達法則可以解決 和 這兩種類型的比值極限，那么借助這個方法可以解決無窮小的比較問題。

例4 當x→0時，cosx-1與x2是什么無窮小？

分析：當x→0時，cosx-1→0，x2→0所以可利用 型極限的求法，判定兩者的比值極限，進而得到結論。

所以，當x→0時，cos-1與x2是同階無窮小。

2）洛必達法則不僅可以用來解決 型和 型未定式的極限問題，還可以用來解決 等類型的未定式的極限問題。求這幾種未定式極限的基本方法就是設法將其轉化為 或 型未定式，即可用洛必達法則求極限了.

例5

分析：這是一個 型的未定式，設

可以先求得 的極限，再利用 得到最終答案。

解： 利用 型洛必達法則求解，得到 。因此，

4 總結

使用洛必達法則，應注意如下幾點：

（1）必須檢驗是否屬于 或 未定型，若不是未定型，就不能使用該法則；

（2）如有可約因子，或有非零極限值的乘積因子，則可先約去或提出，以簡化演算步驟；

（3）當 不存在（不包括∞的情況）時，并不能斷定也不存在，此時應使用其他方法求極限.

參考文獻：

[1]葉永春等.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]陳廣生.高職院校《高等數學》課堂教學最優化研究[J].大眾科技，2010，（12）.

[4]熊慶如.高等數學[M].西安：西安交通出版社，2015.

作者簡介：張延利（1980.9-），男，山東萊蕪人，碩士，講師，從事高等數學教學

基金項目：瀘州職業技術學院2015年度院級教改項目（JG-201504）；瀘州市職業教育研究中心2016年度研究課題（LZJY-2016-18）