基于改進(jìn)模糊熵和證據(jù)推理的多屬性決策方法

熊寧欣,王應(yīng)明

(福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福州 350116)(*通信作者電子郵箱531626142@qq.com)

0 引言

證據(jù)推理(Evidential Reasoning,ER)方法作為處理不確定性多屬性決策問(wèn)題的描繪工具,受到了國(guó)內(nèi)外廣大學(xué)者的重視,目前已成功應(yīng)用于決策分析[1]、雙邊匹配[2]、績(jī)效評(píng)估[3]、系統(tǒng)預(yù)測(cè)[4]等領(lǐng)域。證據(jù)推理方法是在證據(jù)理論(Dempster-Shafer Theory, DST)和決策理論的基礎(chǔ)上經(jīng)歷20多年的歷程發(fā)展而來(lái)的。其中證據(jù)理論由Dempster[5]在1967年首次提出,他的學(xué)生Shafer[6]對(duì)該理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究,最終形成了目前的證據(jù)理論。它是一種能夠?qū)ψC據(jù)進(jìn)行融合的數(shù)學(xué)工具,在處理不確定性多源信息的過(guò)程中起了重要作用。1994年,Yang等[7]在證據(jù)理論的基礎(chǔ)上,結(jié)合評(píng)估分析模型,首次將證據(jù)理論引入多屬性決策領(lǐng)域,提出了不確定情況下的證據(jù)推理方法,并給出了ER證據(jù)組合規(guī)則。2002年,Yang等[8]研究開(kāi)發(fā)了滿足四個(gè)合成公理的證據(jù)推理算法,即遞歸證據(jù)推理算法。2006年,Wang等[9]在遞歸證據(jù)推理算法的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提出計(jì)算更加簡(jiǎn)便的解析證據(jù)推理算法。至此,奠定了證據(jù)推理方法的理論基礎(chǔ),驗(yàn)證了該方法的有效性。

隨著研究的深入,證據(jù)推理方法在識(shí)別框架的構(gòu)建、評(píng)估信息轉(zhuǎn)換、證據(jù)融合規(guī)則等方面的理論體系已逐步完善,并取得了一定的研究成果,但仍面臨著證據(jù)權(quán)重難以獲取及量化的問(wèn)題。目前,在基于證據(jù)推理的客觀賦權(quán)法研究中,主要存在以下三類研究：第一類從解決證據(jù)沖突的角度出發(fā),根據(jù)Jousselme等[10]給出的證據(jù)距離定義,建立最小化理想距離模型以確定屬性權(quán)重。如王小藝等[11]通過(guò)建立各個(gè)加權(quán)證據(jù)與期望證據(jù)之間的距離最優(yōu)化模型,獲得最優(yōu)的證據(jù)權(quán)重分配。陸文星等[12]提出一種基于證據(jù)距離的客觀權(quán)重確定方法,使證據(jù)體與系統(tǒng)中其他證據(jù)的總距離達(dá)到最小以確定權(quán)重。第二類方法主要是利用屬性權(quán)重的不完全信息建立非線性規(guī)劃模型求解權(quán)重。王堅(jiān)強(qiáng)[13]結(jié)合屬性權(quán)重和等級(jí)效用的不完全確定信息建立非線性規(guī)劃模型,利用遺傳算法求解得到各屬性的權(quán)重。朱建軍等[14]結(jié)合原始專家信息,建立了基于專家意見(jiàn)偏差最小的非線性優(yōu)化模型計(jì)算屬性權(quán)重。第三類則是基于信息熵方法確定熵權(quán)。尹德進(jìn)等[15]將定量、定性、模糊和不完全等各種特征的信息統(tǒng)一轉(zhuǎn)換到信度框架下,通過(guò)不確定信息熵模型求取各屬性的熵權(quán)值。Bao等[16]通過(guò)對(duì)屬性權(quán)重與熵、交叉熵、期望值三個(gè)指標(biāo)之間進(jìn)行相關(guān)性分析,在權(quán)重不完全且未知的情況下建立了屬性權(quán)重的識(shí)別優(yōu)化模型求解權(quán)重。

在已有的權(quán)重求解方法中,通常無(wú)法充分利用證據(jù)推理信度框架中的原始信息,從而很大程度影響了決策過(guò)程的客觀性。本文提出一種基于改進(jìn)模糊熵和證據(jù)推理的不確定多屬性決策方法,更加客觀地確定屬性權(quán)重。首先,定義一種基于三角函數(shù)的改進(jìn)模糊熵公式,能夠刻畫(huà)屬性的模糊性及屬性間信息量的差異程度,并能夠同時(shí)處理屬性權(quán)重完全未知和屬性權(quán)重信息部分已知兩種情況。其次,針對(duì)屬性權(quán)重完全未知的情況,結(jié)合模糊熵和熵權(quán)法的基本思想計(jì)算屬性權(quán)重;針對(duì)屬性權(quán)重信息部分已知的情況,定義加權(quán)模糊熵,建立期望模糊熵最小的線性規(guī)劃模型求解最優(yōu)屬性權(quán)重。最后,利用證據(jù)推理算法融合屬性值,結(jié)合期望效用理論對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)劣排序,以實(shí)例說(shuō)明該方法的可行性、有效性。

1 證據(jù)推理算法

1.1 證據(jù)理論概述

則稱m為基本可信度分配(Basic Probability Assignment,BPA)或信念結(jié)構(gòu)。設(shè)兩個(gè)獨(dú)立證據(jù)A和B,按照Dempster-Shafer組合規(guī)則融合后的結(jié)果為:

1.2 基于證據(jù)推理的多屬性決策問(wèn)題描述

S(ei(al))={(Hn,βn,i(al))|n=1,2,…,N;

i=1,2,…,L;l=1,2,…,M}

1.3 證據(jù)推理融合算法

在證據(jù)推理框架下,所有基本屬性的信度值βn,i(al)必須使用Dempster-Shafer組合規(guī)則進(jìn)行信息融合獲得方案綜合分布評(píng)價(jià)信度βn(al)。

令mn,i(al)為基本概率分配函數(shù),表示方案al在廣義屬性y下屬于評(píng)價(jià)等級(jí)Hn的信任度。

mn,i(al)=wiβn,i(al)

(1)

令mH,i(al)為未分配概率指派函數(shù),表示對(duì)于廣義屬性y,方案al在屬性ei下未分配給任何評(píng)價(jià)等級(jí)Hn的信任度。

(2)

(3)

(4)

(5)

證據(jù)推理通過(guò)建立廣義屬性綜合評(píng)價(jià)與基本屬性原始評(píng)價(jià)之間的非線性關(guān)系,將各個(gè)證據(jù)進(jìn)行逐步融合,不斷循環(huán)直至將所有證據(jù)融合完畢。首先假定:

mn,I(1)=mn,1

mH,I(1)=mH,1

具體融合算法[8]如下:

{Hn}:mn,I(i+1)=KI(i+1)[mn,I(i)mn,i+1+mH,I(i)mn,i+1+

mn,I(i)mH,i+1]

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中:I(i+1)表示融合i+1個(gè)基本屬性；KI(i+1)表示第i次集結(jié)時(shí)的歸一化系數(shù)。在所有基本屬性評(píng)估信息集結(jié)完成后,使用如下標(biāo)準(zhǔn)化過(guò)程逆向轉(zhuǎn)換為方案的廣義屬性綜合信任度:

(11)

(12)

其中：βn表示為方案al分配給評(píng)價(jià)等級(jí)Hn的信任度；βH表示廣義評(píng)估中的未分配信度。因此,方案ai的廣義分布評(píng)價(jià)為:

S(y)={(Hn,βn(al))|n=1,2,…,N;l=1,2,…,M}

其中：S(y)表示方案ai在廣義屬性y下被評(píng)為等級(jí)Hn的支持度為βn。

2 基于三角函數(shù)的改進(jìn)模糊熵公式

(13)

其中：En表示信任度框架下方案al在屬性ei下被評(píng)為不同評(píng)價(jià)等級(jí)的信任度偏差。定義證據(jù)推理信度決策矩陣框架下,基于三角函數(shù)的模糊熵公式為:

(14)

從式(14)可以看出,信度框架下基于三角函數(shù)的模糊熵公式不僅包含了信任偏差度,且包含因無(wú)知而引起的不確定指數(shù),能夠較好地刻畫(huà)信息不確定程度。

定義1 稱函數(shù)E(A)為模糊熵,若其滿足如下拓展的公理化要求:

條件1E(A)=0當(dāng)且僅當(dāng)A為傳統(tǒng)精確集;

條件2E(A)=1當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一個(gè)βn,i(al)都有βn,i(al)=βn, j(al)成立;

條件3E(A)=E(Ac);

條件4 若βH,A=βH,B時(shí),有En(A)≤En(B),或者當(dāng)En(A)=En(B)時(shí),有βH,A≥βH,B,均有E(A)≥E(B)。

定理1 由式(14)定義的E是一個(gè)模糊熵。

證明 要證明由式(14)定義的E是一個(gè)模糊熵,只需證明其滿足定義1中的四個(gè)條件。

對(duì)于條件3,由于(En)C=En,顯然有E(A)=E(Ac)。

對(duì)于條件4,改進(jìn)的模糊熵是關(guān)于En的減函數(shù),關(guān)于βH,i的增函數(shù)。βH,A=βH,B時(shí),若En(A)≤En(B),表示A中支持各等級(jí)的證據(jù)越相近,或者當(dāng)En(A)=En(B)時(shí), 若βH,A≥βH,B,表示A中的證據(jù)更少,均有E(A)≥E(B)。

由此,可進(jìn)一步總結(jié)證據(jù)推理框架下的三角模糊熵具有的幾點(diǎn)特點(diǎn):

1)顯然,0≤E(s(ei(al)))≤1恒成立。

2)當(dāng)n=1,β1,1(al)=1時(shí),模糊熵取最小值0。

3)對(duì)某個(gè)S(ei(al))而言,若En=0且n>1,模糊熵取最大值1,意味著方案al在屬性ei下被評(píng)為各評(píng)價(jià)等級(jí)的信任度是相等的,即支持不同評(píng)價(jià)等級(jí)的證據(jù)一樣多。

4)n值越大,表示方案al在屬性ei下支持各評(píng)價(jià)等級(jí)的證據(jù)越分散。

5)En的值越小,方案al在屬性ei下支持各評(píng)價(jià)等級(jí)的偏差越小,意味著支持各評(píng)價(jià)等級(jí)的證據(jù)越相近,從而模糊性增加,模糊熵值越大。

6)βH,i的值越小,表示因無(wú)知而引起的不確定信息越少,支持各評(píng)價(jià)等級(jí)的證據(jù)越多,模糊熵相應(yīng)減小。

3 本文方法

針對(duì)基于證據(jù)推理的不確定多屬性決策問(wèn)題,對(duì)于基本屬性與廣義屬性評(píng)價(jià)集不一致的情況,首先對(duì)模糊決策信息進(jìn)行信息技術(shù)轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)從基本評(píng)價(jià)到廣義分布評(píng)價(jià)的統(tǒng)一形式。其次,本文開(kāi)發(fā)一種適用于證據(jù)推理分布信度決策矩陣的改進(jìn)模糊熵公式,能夠處理屬性權(quán)重完全未知以及屬性權(quán)重信息部分已知的兩種情況。基于改進(jìn)模糊熵和證據(jù)推理的多屬性決策方法具體步驟如下。

步驟1 轉(zhuǎn)化決策信息,構(gòu)建信度決策矩陣。

證據(jù)推理決策框架采用分布式信度結(jié)構(gòu)表示,屬性值可以用決策者主觀定性評(píng)價(jià)表示,也可通過(guò)定量評(píng)估確定,最后轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一的分布式信度結(jié)構(gòu)形式。在實(shí)際情形中,為了方便原始數(shù)據(jù)的收集,往往單獨(dú)為基礎(chǔ)屬性定義一組評(píng)價(jià)等級(jí),因此存在基本屬性與廣義屬性評(píng)價(jià)集不完全一致的情況,需要對(duì)基本屬性分布評(píng)價(jià)進(jìn)行等價(jià)變換。本文采用文獻(xiàn)[18]方法對(duì)單值、區(qū)間值、語(yǔ)言變量等屬性類型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

步驟2 計(jì)算屬性權(quán)重。

當(dāng)屬性權(quán)重信息完全未知時(shí),基于信度框架下三角模糊熵和熵權(quán)法的基本思想計(jì)算屬性權(quán)重,計(jì)算方法如下:

(15)

當(dāng)屬性權(quán)重信息部分已知時(shí),定義加權(quán)模糊熵,建立線性規(guī)劃模型求解屬性權(quán)重,計(jì)算方法如下:

E(S(ei(ai)))=

(16)

模糊熵值越小,即屬性評(píng)價(jià)信息的模糊程度越小,從而決策確定性信息量越多,即方案越優(yōu)。由此需要綜合所有候選方案的模糊熵,令期望模糊熵取最小值,建立如下線性規(guī)劃模型:

(17)

步驟3 對(duì)方案進(jìn)行證據(jù)融合,得到廣義分布評(píng)價(jià)。

使用證據(jù)推理信息融合算法,即利用式(1)～(12)可計(jì)算備選方案的廣義分布評(píng)價(jià)。

步驟4 計(jì)算方案效用值,根據(jù)方案平均效用值對(duì)方案進(jìn)行排序,選擇最滿意方案。

在證據(jù)理論中,通常用以基本信度值βn為下界,以βn+βH為上界所構(gòu)成的區(qū)間值描述命題獲得的信度,即以[βn,βn+βH]作為方案ai在廣義屬性y下被評(píng)為等級(jí)Hn的信任區(qū)間。明顯地,若方案為完全評(píng)價(jià),則區(qū)間信度退化為單值βn。

根據(jù)區(qū)間信度可定義方案ai的效用值。假設(shè)各等級(jí)的效用排序?yàn)閡(H1)

(18)

(19)

(20)

對(duì)方案al和ak,若uavg(al)

4 實(shí)例分析

4.1 問(wèn)題描述

某房地產(chǎn)經(jīng)營(yíng)項(xiàng)目考慮三個(gè)備選方案a1、a2、a3,根據(jù)項(xiàng)目開(kāi)發(fā)方案的經(jīng)濟(jì)效益、風(fēng)險(xiǎn)程度、環(huán)境效益、社會(huì)效益四個(gè)基本屬性對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行綜合評(píng)價(jià),選出最優(yōu)投資方案。四個(gè)屬性分別表示為E={e1,e2,e3,e4}。具體數(shù)值如表1所示。

表1 某房地產(chǎn)投資項(xiàng)目三個(gè)方案屬性Tab. 1 Attributes of three schemes for some real estate investment project

4.2 決策過(guò)程

步驟1 轉(zhuǎn)化決策信息,構(gòu)建信度決策矩陣。

參照文獻(xiàn)[18]的等價(jià)規(guī)則及分布評(píng)價(jià)等價(jià)規(guī)則,針對(duì)基本屬性分布評(píng)價(jià)與廣義屬性分布評(píng)價(jià)等級(jí)不一致的情況進(jìn)行模糊轉(zhuǎn)化。如表2所示,信息轉(zhuǎn)化后的證據(jù)推理框架下信度決策矩陣記為Dg=(S(ei(al)))M×L。

表2 信度決策矩陣Tab. 2 Belief decision matrix

步驟2 計(jì)算屬性權(quán)重。

首先根據(jù)第2章提出的模糊熵公式計(jì)算各屬性模糊熵,計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 屬性模糊熵Tab. 3 Fuzzy entropies of attributes

當(dāng)屬性權(quán)重完全未知時(shí),根據(jù)式(15)可確定最優(yōu)屬性權(quán)重向量為w*=(0.141 1,0.453 9,0.210 2,0.194 8)。

當(dāng)屬性權(quán)重信息部分已知時(shí),假設(shè)決策者給出不完全確定的屬性權(quán)重信息為0.2≤w1≤0.4,0.12≤w2≤0.3, 0.1≤w3≤0.25,0.1≤w4≤0.25。參照式(16)定義加權(quán)模糊熵,根據(jù)式(17)可建立如下線性模型:

minE(DM×L)=2.378w1+w2+2.073w3+2.142w4

s.t 0.25≤w1≤0.4

0.12≤w2≤0.3

0.1≤w3≤0.25

0.1≤w4≤0.25

w1+w2+w3+w4=1

通過(guò)求解上述線性規(guī)劃模型,可以得到最優(yōu)屬性權(quán)重為:

w*=(0.25,0.3,0.25,0.2)

步驟3 對(duì)方案進(jìn)行證據(jù)融合,得到廣義分布評(píng)價(jià)。

當(dāng)屬性權(quán)重完全未知時(shí),可得廣義分布評(píng)價(jià)為:

S(y(a1))={(H1,0.578 4),(H2,0.113 4),

(H3,0.114 1),(H4,0.147 1),

(H5,0.047 0)}

S(y(a2))={(H1,0.121 3),(H2,0.150 8),

(H3,0.476 4),(H4,0.251 4)}

S(y(a3))={(H3,0.067 9),(H4,0.235 9),

(H5,0.696 2)}

當(dāng)屬性權(quán)重部分信息已知時(shí),廣義分布評(píng)價(jià)結(jié)果為:

S(y(a1))={(H1,0.353 2),(H2,0.156 0),

(H3,0.149 8),(H4,0.235 4),

(H5,0.105 7)}

S(y(a2))={(H1,0.165 6),(H2,0.253 0),

(H3,0.438 7),(H4,0.146 2)}

S(y(a3))={(H3,0.122 7),(H4,0.375 8),

(H5,0.501 5)}

步驟4 計(jì)算方案效用值,根據(jù)方案平均效用值對(duì)方案進(jìn)行排序,選擇最滿意方案。

首先定義廣義評(píng)價(jià)集各等級(jí)效用值為u(H1)=0,u(H2)=0.25,u(H3)=0.5,u(H4)=0.75,u(H5)=1,在屬性權(quán)重完全未知的情況下,各方案效用值為:

umax(a1)=umin(a1)=uave(a1)=0.242 8

umax(a2)=umin(a2)=uave(a2)=0.464 5

umax(a3)=umin(a3)=uave(a3)=0.907 1

根據(jù)平均效用值的方案排序結(jié)果為a1a2a3,即a3為最佳投資方案。

在屬性權(quán)重部分信息已知的情況下,各方案效用值為:

umax(a1)=umin(a1)=uave(a1)=0.396 1

umax(a2)=umin(a2)=uave(a2)=0.389 6

umax(a3)=umin(a3)=uave(a3)=0.844 7

根據(jù)平均效用值的方案排序結(jié)果為a2a1a3,即a3為最佳投資方案。

4.3 比較分析

首先利用文獻(xiàn)[19]中提出的證據(jù)信息熵公式計(jì)算本文案例的權(quán)重結(jié)果,求得本文案例各方案屬性證據(jù)信息熵如表4所示。

表4 屬性證據(jù)信息熵Tab. 4 Evidence information entropies of attributes

文獻(xiàn)[19]只提出了屬性權(quán)重信息部分已知情況下的線性規(guī)劃求解方法,因此進(jìn)一步計(jì)算得權(quán)重完全未知情況下的權(quán)重為w=(0.25,0.3,0.2,0.25)。證據(jù)融合后的廣義分布評(píng)價(jià)結(jié)果為:

S(y(a1))={(H1,0.340 6),(H2,0.121 3),

(H3,0.159 1),(H4,0.273 6),

(H5,0.105 4)}

S(y(a2))={(H1,0.141 6),(H2,0.238 8),

(H3,0.478 5),(H4,0.141 1)}

S(y(a3))={(H3,0.115 7),(H4,0.352 6),

(H5,0.531 7)}

各方案效用值為:

umax(a1)=umin(a1)=uave(a1)=0.420 5

umax(a2)=umin(a2)=uave(a2)=0.404 8

umax(a3)=umin(a3)=uave(a3)=0.854 0

根據(jù)平均效用值的方案排序結(jié)果為a2a1a3,即a3為最佳投資方案。

該方法與本文屬性權(quán)重部分信息已知情況下的排序結(jié)果相同,驗(yàn)證了本文方法的有效性。但文獻(xiàn)[19]中的證據(jù)信息熵權(quán)重法只適用于屬性權(quán)重信息部分已知的情況,本文方法能夠同時(shí)處理屬性權(quán)重信息部分已知和屬性權(quán)重信息完全未知的兩種情況,適用范圍更廣。利用本文改進(jìn)模糊熵公式確定權(quán)重時(shí)不僅考慮了信度決策矩陣的信任偏差度,且考慮了因無(wú)知而引起的不確定指數(shù),能最大限度地保留原始信息,因此本文方法更具優(yōu)越性。另外,再結(jié)合傳統(tǒng)熵權(quán)法[18]與主觀權(quán)重法[20]的排序結(jié)果進(jìn)行比較分析,結(jié)果如表5所示。

表5 不同賦權(quán)法的結(jié)果比較Tab. 5 Comparative analysis of different weight methods

比較分析表5中五種不同賦權(quán)法產(chǎn)生的決策排序結(jié)果可知:首先,五種方法中的最佳方案均為a3,表明了本文方法的可行性和有效性。其次,當(dāng)權(quán)重信息部分已知時(shí),本文方法整體排序結(jié)果與文獻(xiàn)[20]中采用主觀估計(jì)法直接獲得權(quán)重的結(jié)果一致；當(dāng)權(quán)重信息完全未知時(shí),本文方法排序結(jié)果與文獻(xiàn)[18]中的采用傳統(tǒng)熵權(quán)法的權(quán)重獲取方法結(jié)果一致。當(dāng)獲取權(quán)重考慮主觀因素時(shí),次選方案為a1,屬性權(quán)重完全未知時(shí),次選方案則為a2。兩種不同情況下排序結(jié)果的差異說(shuō)明,當(dāng)帶有主觀因素時(shí),決策者可能更傾向于考慮投資方案的經(jīng)濟(jì)效益和風(fēng)險(xiǎn)程度,而忽視投資對(duì)象的環(huán)境效益和社會(huì)效益,因此造成了主客觀情況下次選排序結(jié)果不一致的情況,這也說(shuō)明了主、客觀方法對(duì)決策結(jié)果有著重要影響。

本文方法通過(guò)定義基于三角函數(shù)的模糊熵客觀地確定屬性權(quán)重,減少了決策者在決策過(guò)程中的主觀隨意性；同時(shí),本文方法不僅能夠處理屬性權(quán)重完全未知的情況,還適用于在屬性權(quán)重信息部分已知的情況,更符合實(shí)際決策過(guò)程的需要。

5 結(jié)語(yǔ)

為解決證據(jù)推理方法應(yīng)用中屬性權(quán)重難以獲取的問(wèn)題,本文提出一種基于改進(jìn)模糊熵和證據(jù)推理的不確定多屬性決策方法,給出了具體計(jì)算步驟和算例分析。所構(gòu)造的基于三角函數(shù)的改進(jìn)模糊熵公式不僅體現(xiàn)了證據(jù)推理信度決策矩陣內(nèi)部的信任度偏差,且包含了因無(wú)知而引起的不確定性對(duì)決策的影響,從而能夠更充分地反映決策信息的差異性、不確定性及未知性程度,避免了有效決策信息的丟失,更具優(yōu)越性。更進(jìn)一步,該方法可同時(shí)處理屬性權(quán)重信息部分已知和屬性權(quán)重信息完全未知兩種情況,更具一般性。實(shí)例表明,該方法能夠很好地適應(yīng)不確定環(huán)境下的基于證據(jù)推理方法的多屬性決策問(wèn)題,客觀性較強(qiáng),能夠運(yùn)用到投資方案選擇、供應(yīng)商評(píng)估等實(shí)際管理問(wèn)題中。