基于積分求導還原思想的新型邊坡變形預測UGM(1，1)建模方法

馮學茂

(廣西新恒通高速公路有限責任公司，廣西 南寧 530021)

0 引言

邊坡的變形變化受地質因素和工程因素綜合影響，是一個復雜的非線形開放系統[1]。傳統的GM(1，1)模型是基于等時距的數據序列進行預測的，而在實際邊坡變形監測中，所獲得的數據往往并非是等時距的。灰色系統理論的主要思想是以時間距離作為乘數，并將原始數據序列進行一次累加，生成新的序列，從而削弱原始時間序列的隨機性[2-3]。UGM(1，1)模型的出現，有效地解決了非等時距數據序列等時距轉換問題。傳統UGM(1，1)灰色模型先利用實測數據與時區長度的乘積，再通過一階累加構造新的數據序列，但傳統方法構造的數據序列都會與實際情況存在出入。為了縮小兩者之間的差距，羅黨等人對灰色GM(1，1)模型進行優化，認為灰色模型預測誤差主要來自計算式中構造的背景值，并提出全新的背景值構造式[4]；趙曉燕等人提出了對灰色模型平滑改進以提高預測的方法[5]；胡華等人研究了邊坡變形監測數據S型函數光滑處理對馬爾可夫模型預測結果的影響[6]；姜峰等人將優化的背景值和新信息優先原理運用到傳統非等時距灰色模型中，研究表明該方法可以擴大數據有效預測范圍[7]；李秀珍等人研究了灰色殘差修正模型的滑坡位移灰色預測結果具有很好的修正作用[8]。

在仔細研究了傳統UGM(1，1)灰色預測模型的建模原理后，為了提高預測模型的新建序列和實測數據的吻合度，本文從時間序列數據入手，提出一種新的UGM(1，1)模型。該模型基于積分法和近似逼近的思想，利用相鄰均值方法，通過一階累加構造出新的數據序列，使得模擬數據變化情況更加接近實測數據的走勢，再通過積分求導還原得到邊坡歷史累計變形的擬合函數，最后通過實例仿真來驗證UGM(1，1)模型在數據模擬和數值預測方面的可行性和可靠性。

1 新型UGM(1，1)灰色預測模型建模原理

1.1 傳統UGM(1，1)模型

設有一組不等時距監測數據序列：

X(0)={x(0)(t0)，x(0)(t1)，x(0)(t2)，x(0)(t3)，…，

x(0)(tn)}

(1)

各時段的時間間隔為：

Δti=ti-ti-1；Δtj=tj-tj-1

(2)

式中，Δti≠Δtj；i≠j；i，j∈{1，2，…，n}表示各段時間間隔不等。

傳統方法為將不等時距數據序列一階累加生成新的序列[9]：

(3)

通過數據預測找到數據序列的變化規律，然后根據數據序列的規律變化預測未來可能出現的數值，如果原始序列的變化情況在一階累加構建新序列過程中沒有準確反映，預測模型的模擬與預測精度都會受到影響。傳統UGM(1，1)模型的建模原理如圖1所示。

圖1 不等距序列構造示意圖

(4)

由此建立的原始序列{x(0)(tk)}與新建序列{x(01)(tk)}之間的關系，表明了數據序列重構是以原始數據變化為基礎，保證了新序列的合理性和科學性。

圖2 不等距序列誤差來源示意圖

1.2 新型UGM(1，1)模型

1.2.1 新型UGM(1，1)模型建模原理

對傳統UGM(1，1)灰色預測模型的建模原理進行仔細研究之后，針對傳統模型的誤差來源，通過對一階累加序列的構建過程和模型的計算方法的改進，提出了一種全新的UGM(1，1)灰色預測模型。該新模型的建模原理如下：

(5)

(2)在預測監測點的邊坡變形時，基于連續函數積分求導還原思想，通過對預測模型所求得的面積變化的時間響應式求導還原得到監測點的累計變形時間序列方程。

如圖3所示，通過區間相鄰均值與區間長度的乘積的變化值近似表示時間響應方程在區間上的增量，灰色模型模擬和預測的準確性就可以利用面積近似逼近來實現提高。

圖3 相鄰均值法示意圖

1.2.2 新型UGM(1，1)模型構建

設有一組不等時距監測數據序列：

X(0)={x(0)(t0)，x(0)(t1)，x(0)(t2)，x(0)(t3)，…，x(0)(tn)}

(6)

各時段的時間間隔為：

Δti=ti-ti-1；Δtj=tj-tj-1

(7)

式中，Δti≠Δtj；i≠j；i，j∈{1，2，…，n}表示各段時間間隔不等。

建模前，將原始序列中任意兩個相鄰實測數據取均值得到一組新序列：

(8)

處理后的數據序列即為：

X(00)={x(00)(t1)，x(00)(t2)，x(00)(t3)，…，x(00)(tn)}

(9)

對處理后的不等時距數據序列進行一次累加：

X(01)(tk)=x(00)(t1)×Δt1+x(00)(t2)×Δt2+…+x(00)(tk)×Δtk

(10)

(11)

后續步驟與傳統UGM(1，1)模型建模基本保持一致，采用最小二乘法解得新UGM(1，1)模型中時間響應方程[10-11]：

(12)

(13)

(14)

(15)

2 新型灰色預測模型在邊坡位移中的算例分析

以某高速公路路基邊坡位移監測為例，選取其中一組監測數據作為依據，使用新型UGM(1，1)預測模型對原始監測數據序列建模并預測位移，以此來驗證新模型在數據模擬與預測方面的準確性與有效性。邊坡位移實測數據如表1所示。

表1 監測點監測數據表

2.1 模型建模及計算過程

根據灰色模型GM(1，1)適用范圍的討論結果[12-13]，發現當初始數據恒正且為凹函數時是其最佳的適用范圍；又因灰色預測模型的時間序列方程是基于指數函數建立的，本文將對計算的每一階段的數據進行處理，使其時間-位移曲線為呈恒正的凹函數形式。

(1)初始序列

由表1，將實測數據處理后構成的原始數據序列為：

x(0)={x(0)(t1)，x(0)(t2)，…，x(0)(t10)}

={22.80，17.13，13.95，10.37，7.41，5.08，3.48，2.98，2.61，2.39，2.04}

(16)

(2)新建序列

原始位移數據一階累加生成的新序列為：

x(01)={x(01)(t1)，x(01)(t2)，…，x(01)(t10)

={578.985，967.485，1 393.085，1 668.675，1 856.025，1 992.985，2 073.735，2 168.765，2 236.265，2 311.575}

(17)

(3)時間響應式

與傳統方法一樣通過最小二乘法來計算出灰色參數，并得到新型UGM(1，1)預測模型新建序列的時間響應式：

(18)

根據初步得到的模型模擬結果與實測數據的差值，同樣采用相鄰均值方法建立對應的殘差模型如下[14]：

一次殘差修正：

(19)

二次殘差修正：

(20)

最終得到傳統灰色UGM(1，1)預測模型的時間序列方程為：

(21)

2.2 預測結果分析

通過建模計算取得的灰色預測模型的時間響應式，對路基邊坡變形位移的預測結果分析如表2和圖4所示：

表2 新型UGM(1，1)灰色預測模型預測結果分析表

圖4 邊坡位移預測模型擬合預測圖

3 結語

本文所述的新型UGM(1，1)灰色預測模型是通過研究傳統預測模型的誤差來源和傳統UGM(1，1)灰色預測模型建模原理提出來的。以某高速公路一段路基邊坡實測數據為依據來驗證新型UGM(1，1)灰色預測模型的模擬和預測效果，初步得到以下結論：

(1)新型UGM(1，1)灰色預測模型的模擬曲線與實測曲線非常吻合，且其預測數值的誤差為0.22%，遠小于5%的合理范圍，說明新型UGM(1，1)灰色預測模型可以用作數值灰色預測。

(2)經過兩次殘差修正，新UGM(1，1)灰色預測模型生成的時間響應方程隨著實測數據緩慢趨于穩定，其模擬的誤差逐步縮小，說明了新模型適用于對變化平緩且逐漸趨于穩定的數據序列進行模擬與預測。

(3)對于逐漸趨于穩定的數據序列，模型殘差修正是一個循序漸進的過程。前期殘差修正是調整預測模型的時間響應式的整體走勢；后期殘差修正則是進行局部微調。

(4)新型UGM(1，1)模型數據預測的精度會隨著時間的延續而下降，初步分析預測與灰色預測模型的時效性有關。建議今后研究中引進等維新息方法對數據進行新陳代換[15-16]，通過數據序列的不斷更新來提高灰色模型的預測精度。

結論分析表明，在數據預測方面，新型UGM(1，1)灰色預測模型具有一定的可行性和可靠性，對發展和優化非等時距灰色預測模型具有一定的參考意義。