悖論與數學發展

王銘陽

摘 要：悖論表示與人的直覺和經驗相矛盾的結論或命題，主要分為語義學悖論和邏輯-數學悖論。在數學史上，由于人們認識上的局限性，悖論的發生是不可避免的，并引發了多次數學危機。本文先是介紹了悖論的定義，闡述了由悖論引發的三次數學危機，然后重點討論了芝諾悖論和貝特朗奇論，最后給出了悖論的發展及其意義。

關鍵詞：悖論；數學危機；芝諾悖論；貝特朗奇論

中圖分類號：O144.2 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）20-0220-02

“悖論”一詞最早源于古希臘，它表示與人的直覺和經驗相矛盾的結論或命題，也被稱為“逆論”或“反論”。悖論的矛盾性主要體現在語義學和邏輯學上，前者稱為語義學悖論，后者稱為邏輯-數學悖論。在數學的發展史上，由于不同時代的人們在認識上總是存在一定的局限性，悖論的發生是不可避免的，由此引發了數學史上的三次危機。但是，悖論的發現客觀上迫使人們轉變了過去的思維方式，重新構建和完善了數學基礎，從而極大地促進了數學的發展。因此，悖論在數學認識史中具有重要的意義。

1 悖論與數學危機

悖論通常可以描述為一種導致邏輯矛盾的命題。即如果承認該命題是真的，那么它又是假的；如果承認它是假的，那么它又是真的。或者由它為真可以推出它為假，反過來由它為假又可以推出它為真。關于悖論的準確定義，可以從以下幾個方面來具體闡述[1]：

（1）悖論總是相對于一定的理論系統而言的。比如，貝克萊悖論是針對微積分體系提出的，羅素悖論則是在樸素集合論的框架下產生的。（2）悖論的核心是邏輯矛盾。根據邏輯矛盾的不同，悖論又分為語義學悖論和邏輯-數學悖論。語義學悖論是通過語義學上的真假概念構成的，比如說謊者悖論；邏輯-數學悖論則是借助于數學和邏輯符號形成的，比如畢達哥拉斯悖論和貝特朗奇論等。（3）悖論不同于詭辯。詭辯是一種歪曲的論證，表面上運用了正確的推理手段，實際上卻違反了邏輯規律，得出的結論似是而非，具有一定的迷惑性。而悖論只是限于當時的知識范疇因而無法解決，它在推理上是符合邏輯規律的。

悖論實際上是研究問題的一種方式。在數學歷史上，新理論的提出總是伴隨著對舊理論的質疑，悖論往往在此時出現。正是數學悖論引發了數學史上著名的三次危機。

第一次數學危機產生于公元前五世紀，它是由畢達哥拉斯悖論的出現而導致的。畢達哥拉斯學派認為宇宙中一切現象都可歸結為整數或整數之比，因此有理數理論在當時的數學規范中占據統治地位。后來其學派成員希帕索斯發現，等腰直角三角形斜邊與直角邊之比是不可通約的，它們的比不能歸結為整數或整數之比。這一發現嚴重沖擊了當時希臘人的常識，從而觸發了數學史上的第一次危機。直到兩千多年后，戴德金等數學家引入了無理數的概念，建立起實數理論，第一次數學危機才得以徹底解決。第二次數學危機由對微積分理論中無窮小量的質疑產生。17世紀，牛頓和萊布尼茨分別獨立創建了微積分。后來英國大主教貝克萊提出，牛頓在微分的推導過程中，先是認為無窮小量不是零，最后又讓它等于零，無窮小量是“已死的幽靈”。這就是“貝克萊悖論”，它導致了數學史上的第二次危機。十九世紀八十年代初，隨著嚴格極限理論的建立，尤其是魏爾斯特拉斯創立的語言，消除了“無窮小”概念引起的混亂，第二次數學危機得到解決。第三次數學危機產生于十九世紀末和二十世紀初。當時，康托爾創立的集合論，成為整個現代數學的邏輯基礎，同時也是產生危機的直接來源。英國著名數理邏輯學家和哲學家羅素提出，集合論并不具有絕對嚴密性，它是自相矛盾的，即“羅素悖論”。這在數學界引起了一場軒然大波，形成了數學史上的第三次危機。后來策梅羅采用集合論公理化的方法試圖消除羅素悖論。隨著數學家們對理論的不斷改進和完善，逐漸形成了許多集合論公理系統，比如ZF系統以及由馮諾伊曼等人提出的NBG系統等，從而消除了以羅素悖論為代表的一系列集合悖論。但第三次數學危機并沒有徹底被消除，數學基礎和數理邏輯方面的許多重要課題仍然亟待解決。人們在向這些目標前進的過程中不斷產生了許多新的重要成果[2]。

歷史上三次數學危機的爆發，都是由數學悖論導致的，可見數學悖論在數學的發展史上有著非常重要的影響。正是一個個當時無法解釋的數學悖論的產生，引發了許多數學家的深入思考，并不斷提出新的理論試圖解決悖論，從而推動了數學的持續進步與發展。

2 經典數學悖論

悖論的議題非常廣泛，涉及數理科學、邏輯學、語義學、哲學等領域。在數學上，悖論可以分為時間悖論、概率悖論、邏輯悖論、統計悖論和幾何悖論等。

2.1 芝諾悖論

古希臘數學家芝諾提出了一系列關于運動不可分性的哲學悖論，其中最為著名的是關于阿基里斯追烏龜的悖論，也稱阿基里斯悖論[3]。

阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄。在和烏龜的競賽中，假設阿基里斯的速度是10米/秒，烏龜的速度是1米/秒，開始時烏龜位于阿基里斯前100米處。芝諾認為，在賽跑中阿基里斯永遠無法追上烏龜。因為當阿基里斯到達烏龜之前所處的起始位置時，烏龜在這段時間內已經往前爬了10米；當阿基里斯再追上這10米時，烏龜又往前爬了1米；等追完這1米，烏龜又往前爬了一段距離。這樣無限追趕下去，雖然阿基里斯與烏龜的距離在不斷縮短，但他永遠也無法追上烏龜。

這樣的推理過程看似很有道理，結論卻顯然與人們的常識不符。按照我們現在的知識，在100/9秒后二者即可相遇。而以當時芝諾悖論的邏輯來看，這100/9秒可以無限劃分下去，永遠也用不完。這一問題的矛盾在于時間的連續性與離散性。將100/9秒類比為1秒，在這1秒內可以先經過 1/2秒，再經過1/4秒，再經過1/8秒……這樣無限細分下去，永遠也過不完這1秒。但顯然1秒很容易就會過去，將經過的1/2、1/4、1/8秒等相加，這是一個正項級數并且收斂于1。即無限個越來越小的數相加和可能是有限的，因此阿基里斯是可以在有限的時間內追上烏龜的。

2.2 貝特朗奇論

貝特朗奇論是法國學者貝特朗于1899年提出的，主要針對幾何概率這一概念。它的描述如：在圓內隨機選取一條弦，求弦長超過該圓內接等邊三角形邊長的概率[4]。

解法一：由于對稱性，不妨設弦的一個端點固定于內接三角形一頂點，另一端點在圓周上隨機移動，如圖1中（a）所示，當另一端點落于三角形底邊對應的弧上時，弦長滿足上述條件，概率為1/3。解法二：由于對稱性，可只考慮某指定方向上的弦。作一條直徑垂直于該方向，如圖1中（b）所示，當所作的弦中點位于該直徑的處至處時，弦長滿足上述條件，概率為1/2。解法三：由于圓內弦的位置被其中點唯一確定，在大圓內作半徑為大圓半徑一半的同心圓，如圖1中（c）所示，當大圓內弦的中點落在小圓內的任意一點時，弦長滿足上述條件，概率為1/4。

同一問題卻有三種不同的結果，原因是取弦時采用了不同的等可能性假定。解法一假定弦的另一端點在圓周上的落點處處等可能；解法二假定弦的中點在直徑上的落點處處等可能；解法三假定弦的中點在大圓內的落點處處等可能。三種做法各自的假定都是正確的。貝特朗奇論的問題在于概率定義本身，在定義概率時一定要明確指出具體的樣本空間。

3 悖論的發展與意義

我國古代很早就有關于悖論的思考，《莊子·天下篇》中寫道“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，反映了當時的人們認為物質是可以無限分割的，但現代物理學已經證明了時間和空間都是不能無限分割的。劉慈欣的《三體》一書中也對費米悖論做出了新的解釋。他認為在宇宙文明的生存競爭中，任何暴露自己存在的生命都將很快被消滅，這就是宇宙文明的圖景，生存選擇的最終結果是所有文明都變得難以發現。

悖論是科學發展的產物。它的出現正是由于當時的人們對某些概念的理解認識不足導致的，因此悖論的作用主要體現在檢驗和完善已有的理論體系，從而推動科學不斷向前發展。數學悖論的提出往往引起人們的好奇與思考，比如羅素悖論的通俗說法理發師悖論等，人們在爭辯的過程中對這些問題背后的原理有了更深刻的了解，然后提出新的見解。這些貫穿于整個數學史上的大大小小的矛盾，從產生、發展到激化，和最終的解決，為數學基礎問題提供了新的研究方向。它推動著數學家們不斷尋求新的概念、新的方法以及新的理論來替代舊有的框架，然后又會引發新的危機，帶動數學發展進入新的階段。數學就在這樣一種不斷產生矛盾、并不斷解決矛盾的過程中曲折地向前發展。

在21世紀的今天，討論和研究悖論問題時，不能把悖論的出現當成是一種災難，相反應該將它看成是促使人們進行辨證思維的動力。每一次悖論的發現和相對解決，都推進了數學和邏輯的發展演化[5]。解決悖論的過程實際上就是發展人的認識以克服歷史局限性的過程。因此，悖論對于推動整個科學發展乃至人類進步，都具有重大的作用。

參考文獻

[1]趙院娥，喬淑莉.悖論及其對數學發展的影響[J].延安大學學報：自然科學版，2004，（1）：21-25.

[2]洪辛.芝諾悖論與數學危機[J].自然辯證法研究，1986，（2）：39-48.

[3]曾詣.科學悖論的矛盾性及其對思維發展的意義[J].韶關學院學報，2011，（4）：85-88.

[4]李建明，劉慶歐，郭東星.幾個有趣的悖論的數學辨析[J].山西醫科大學學報，2003，（s1）：75-77.

[5]夏基松，鄭毓信.西方數學哲學[M].人民出版社，1986.