改進非線性干擾觀測器的機械臂自適應反演滑模控制

鄒思凡,吳國慶,2,茅靖峰,朱維南,王玉榮,王 健

(1.南通大學 電氣工程學院,江蘇 南通 226019; 2.江蘇省風能應用技術工程中心,江蘇 南通 226019;3.南通理工學院 機械工程學院,江蘇 南通 226019)(*通信作者電子郵箱wgq@ntu.edu.cn)

0 引言

機械臂是由關節連接起來的一系列連桿構成的,具有多個自由度,用以抓取和移動物件的裝置[1]。作為一個復雜的多輸入多輸出系統,機械臂系統具有強耦合、未建模動態、時變不確定性、高度非線性等特征。機械臂在生活醫療、農業生產、工業需要甚至是航天航空領域有著廣泛的應用前景,因此對機械臂的精確控制得到了高度的重視。機械臂的控制主要是對它的各關節或末端執行器的位置進行控制,使其能夠以期望的動態品質跟蹤給定的軌跡,即所設計的控制系統的任務是軌跡跟蹤控制[2-3]。然而機械臂控制系統具有一定的復雜性,容易受到摩擦力和負載等的干擾,所以傳統的PID(Proportion Integration Differentiation)控制方法難以滿足準確快速穩定的控制要求。

相比之下,滑模控制(Slide Mode Control,SMC)其實是一種特殊的非線性控制,其表現為控制的間斷性。滑模控制可以使系統隨著當前的狀態有目的地改變,從而使得系統能夠根據預定的軌跡實現期望的軌跡運動。因此在機械臂軌跡控制系統中,應用滑模控制律是十分行之有效的。但是傳統滑模控制律存在一定的缺陷性,即在開關來回切換時存在慣性,使得運動軌跡穿梭于滑模面兩側,無法嚴格地從滑面滑向平衡點,從而引起系統抖振,控制精度較低[4-5]。

國內外近年來,基于干擾觀測器的控制(Disturbance Observer Based Control,DOBC)與不同控制策略相集成的復合抗干擾策略相繼成為熱點,Guo等[6]對此進行了詳細介紹,尤其針對多源干擾系統提出一系列復合分層抗干擾控制(Composite Hierarchical Anti-disturbance Control,CHADC)策略,促使一類帶有多源干擾系統的精細抗干擾問題得到很好的處理。文獻[7]中給出了一類具有不確定非線性項和未知外源干擾的多輸入多輸出系統,應用DOBC 和終端滑模控制(Terminal Sliding Mode,TSM)相結合的控制策略,實現抗干擾的目的。文獻[8]中針對帶有外源干擾的嚴格反饋系統,將DOBC與反演(Backstepping)控制相結合,最后實現了閉環系統為半全局一致最終有界的目標。

本文設計了一種改進非線性干擾觀測器的自適應反演滑模控制方法：首先設計干擾觀測器進行在線測試,在滑模控制律中加入干擾估計值對干擾進行補償；然后選擇合適的設計參數,使觀測誤差指數型收斂；再引入反演自適應控制律,進一步改善控制系統的跟蹤性能；提高了機械臂系統的響應速度并改善了控制精度[10]。

1 空間二自由度機械臂數學建模

根據拉格朗日方法,建立空間二自由度機械臂的動力學方程:

(1)

式(1)描述的機械臂系統的動力學特性[10]如下:

特性2 慣性矩陣J(θ)是對稱、有界正定矩陣。

(2)

2 控制器設計

圖1 系統控制結構Fig.1 System control structure

2.1 改進的非線性干擾觀測器設計

干擾觀測器的基本思想是將干擾項及模型參數變化造成的實際系統與重構模型之差作為控制輸入端,并將估計出的干擾值作為補償信號反饋以達到抑制干擾的作用,消除干擾項對系統的影響,使系統對干擾表現出強魯棒性的作用。

改進前非線性干擾觀測器設計為:

(3)

(4)

并且還需要滿足:

(5)

為了克服觀測器的不足,本文根據機械臂的數學模型,采用如下形式的非線性觀測器[12]:

(6)

L(θ)=X-1J-1(θ)

(7)

(8)

(9)

通常情況下,沒有干擾d的微分先驗知識,假設相對于觀測器的動態特性,干擾的變化是緩慢的,即

(10)

定義李雅普諾夫(Lyapunov)函數為:

(11)

其中:J(θ)=J(θ)T>0。于是

(12)

根據觀測器式(4),推導可得:

(13)

因而可得觀測誤差方程為:

(14)

從而得到:

(15)

(16)

于是

(17)

構造不等式

(18)

其中:Γ>0為對稱正定陣。則存在Γ′,有

(19)

其中:Γ′>0。

可見,選取合適的Γ,可以使觀測器的誤差指數趨于零。

非線性干擾觀測器的輸出送給增益調整模塊,由式(1)可知增益調整矩陣為單位陣,則

(20)

通過對線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality,LMI)的求解,可以求得Y的值,進而得到所需的X值。由不等式(18)可見,式中含有非線性項,必須轉化為線性矩陣不等式才能求解。令Y=X-1,將YT=(X-1)T和Y=X-1分別乘以式(11)的左右兩邊,得

(21)

即

YT+Y-YTΓY≥ζI

(22)

即

YT+Y-ζI-YTΓY≥0

根據Schur補定理:假設C為正定矩陣,則A-BC-1BT≥0等價為:

則式(22)等價為:

(23)

2.2 反演滑模控制器設計

滑模變結構控制系統是指存在一個(或幾個)切換函數,當系統的狀態達到切換函數值時,系統從一個結構轉換成另一個結構的系統,也就是在控制過程中,系統結構(或稱為模型)可發生變化的系統。如圖2 所示。該方法的缺點在于當狀態軌跡到達滑模面后,難于嚴格地沿著滑模面向著平衡點滑動,而是在滑模面兩側來回穿越,從而產生顫動,即抖振問題。

圖2 實際滑動模態Fig. 2 Actual sliding mode

現設計滑模控制器,采用反演(Backstepping)方案并選用式(35)的滑模切換函數。采用干擾觀測器后,式(1)所述機械臂系統可以寫成:

(24)

結合式(24)可知,采用干擾觀測器后,本文采用的二自由度機械臂系統中,干擾d變成了D,總干擾減小,因此原機械臂系統可以改寫成:

(25)

設θd為機械臂給定指令輸入,θ為實際輸出。現采用Backstepping方案[14]滑模控制器,使輸出θ跟蹤指令輸入θd。具體步驟包括兩個步驟。

1)定義跟蹤誤差：

z1=θ-θd

(26)

則求導可得：

(27)

定義虛擬控制量：

α1=c1z1

(28)

其中:c1∈Rn×n為對稱正定常值矩陣。

(29)

求導得：

(30)

由式(24)和式(29)可得：

(31)

定義反演控制算法下的Lyapunov函數V1：

(32)

則求導可得：

(33)

2)定義反演滑模控制算法下的Lyapunov函數V2：

(34)

定義滑模切換函數：

s=k1z1+z2

(35)

其中:k1∈Rn×n位對稱正定常值矩陣。

對式(35)求導可得：

(36)

對式(34)求導可得：

z1Tz2-z1Tc1z1+sT[k1(z2-c1z1) +

(37)

2.3 自適應律設計

在實際應用中,機械臂系統的外部擾動信號D包括很多復雜的因素,通常情況下難以預知D的上界值，因此,在設計控制器時,要注意避開D的上界值。本文在前面反演滑模控制器設計的基礎上,引入自適應算法,將外部擾動信號D中無法觀測的部分預估出來。

(38)

定義自適應反演滑模控制算法下的Lyapunov函數V3：

(39)

其中:γ為正常數。對式(39)求導得：

z1Tz2-z1Tc1z1+sT[k1(z2-c1z1)+

(40)

根據式(40),設計機械臂的控制律：

τBS=τeq+τvss

(41)

(42)

τvss=-βJhsgn(s)

(43)

其中:τeq位等效控制;τvss為切換控制;h∈Rn×n為對稱正定常值矩陣;β為正常數;sgn(s)為切換函數。

自適應律取：

(44)

2.4 穩定性分析

定義改進非線性干擾觀測的自適應反演滑模控制算法下的Lyapunov函數V4：

(45)

求導可得：

(46)

將式(14)、式(39)～(43)代入式(45)得：

(47)

參考文獻[14]的方法,取:

(48)

適當取值,使P為正定陣,并令z=[z1z2]T,則有

zTPz=z1Tc1z1-z1Tz2+sThs

(49)

則式(46)以改寫成：

(50)

式(50)保證跟蹤誤差在有限時間內收斂為零,使得系統滿足Lyapunov穩定性理論條件,z1和z2以指數形式漸近穩定,從而保證系統具有全局意義下指數的漸近穩定性,從而實現了空間二自由度機械臂的軌跡跟蹤控制。

3 仿真模型及實例

以二自由度機械臂為例,將式(1)中機械臂動力學模型的各參數表示為：

為了對比控制性能,對滑模控制方法進行仿真,控制器設計為：

圖3～4分別為傳統滑模控制算法和本文所用控制算法應用在二自由度機械臂軌跡跟蹤時的仿真曲線。根據圖3～4仿真實驗,記錄實驗數據并作數據分析,可以得到表1對實驗數據進行定量分析。

圖3 傳統滑模控制律仿真曲線Fig. 3 Simulation curve of traditional sliding mode control law

表1 算法改進前后實驗數據對比Tab. 1 Comparison of experimental data before and after algorithm improvement

表1為傳統滑模算法與本文所用控制算法應用在機械臂仿真實驗的數據對比。由表1可知,滑模控制算法下,機械臂的關節1、2位置調節時間分別為3.2 s、2.9 s,而本文所用控制算法下,機械臂的關節1、2位置調節時間分別為0.4 s、0.3 s;同理,改進前后,關節1、2速度跟蹤的調節時間分別為3.7 s、3.8 s,0.5 s、0.4 s。因此,這兩種方法雖然都可以實現跟蹤控制,但是傳統的滑模控制方法無法在短時間內快速逼近系統不確定項,而本文所用控制算法解決了這一問題,大幅提高了機械臂軌跡跟蹤時的響應速度。

圖4 本文控制律仿真曲線Fig. 4 Simulation curve of proposed control law

此外,傳統滑模控制算法的不足在于當狀態軌跡到達滑模面后,由于式(43)切換函數等控制項的不連續性,使得系統難以嚴格地沿著滑模面向著平衡點滑動,而是在滑模面兩側來回穿越,從而產生顫動,即抖振問題。因此控制輸入曲線中含有大量高頻信號,控制輸入出現嚴重的抖振,關節1、2的控制輸入在抖振幅值分別在±0.38、±0.17的范圍內高頻振蕩。在實際系統尤其是機電系統中,抖振的存在可能會降低系統的精度、增加系統的能耗,甚至損壞系統的結構，而本文所用的控制算法下,關節1、2的控制輸入抖振幅值分別為±0.03、±0.02,所以此時控制輸入作用連續、平滑。

因此,本文所用的控制方法既可以較快地跟蹤期望軌跡,又可以較好地處理系統慣性參數不確定與外部擾動對空間機械臂系統的影響。

4 結語

本文將滑模反演自適應控制方法與非線性干擾觀測器結合起來,提出了一種新型的改進非線性干擾觀測器的機械臂自適應反演滑模控制方法。針對傳統的滑模控制算法和干擾觀測器,本文進行了改進,有效削弱了控制輸入的抖振,避免了測量加速度項,并且使動力學方程中的正定慣性矩陣不再受到形式限制,擴大了觀測器在其他類模型的應用。通過Matlab/Simulink仿真驗證了該方法是行之有效的。實驗結果表明,本文所提出的控制方法比傳統滑模控制方法具有更好的動態特性,既提高了系統的響應速度,又極大地削弱了系統的抖振,具有良好的控制性能。