基于負載牽引和記憶效應的X參數的功放建模

南敬昌，樊 爽，高明明

(遼寧工程技術大學 電子與信息工程學院，遼寧 葫蘆島 125105)(*通信作者電子郵箱1437453960@qq.com)

0 引言

近年來，無線通信系統的飛速發展對于通信的質量和效率提出了非常高的要求。作為無線通信的主要器件，射頻功率放大器對于通信系統有著重要影響，研究射頻功率放大器的各項性能指標成為電子與信息系統的科研方向和熱點問題。如何更精準地表征功率放大器的非線性特性以及記憶效應，使其能夠方便地應用于系統級仿真，提高模型的精確度，成為研究功放行為模型的重要問題。

行為模型理論能夠較高精度地完成仿真計算，同時能夠精確地展現出系統的非線性效應。一般來講，行為模型的建立過程都起始于實際測量與仿真結果，輔以合理的物理假設與參數化辨識方法，進而得到完整的模型參數與框架。其中非線性X參數模型作為下一代工業級別標準化非線性行為模型方法，能夠準確表征復雜頻譜分布下有源器件的性能響應，逐漸成為當前微波工程的研究熱點[1]。

功率放大器的行為建模是利用輸入輸出數據來建立描述其行為特性的數學模型的方法和技術，它為分析和評估通信系統質量，設計數字預失真線性化模塊等相關科研活動提供了一種方便而有效的途徑[2]。表征功放記憶效應的行為模型現主要有Volterra級數模型、神經網絡模型和X參數模型。其中Volterra級數模型及其多項式的功放模型能夠準確描述功放特性[3]，但當Volterra級數模型在多器件系統或級聯非線性框圖中運用時，超大的計算量限制了它在工業化中的進一步推廣。神經網絡模型擁有較強的學習能力和逼近能力，然而模型的泛化能力不強，難以由硬件實現。X參數模型是對經典S參數模型的嚴格數學擴展，有著嚴謹的理論基礎，工程師通過X參數模型能夠實現任意射頻器件從行為模型提取、電路搭建、仿真設計、性能優化、版圖制作以及性能測試的完整流程[4]。它最大的優點是容易理解且易于級聯，考慮共軛信號的影響，表征精度高，能夠描述在大信號作用下的非線性網絡產生的互調失真和頻譜再生[5]。將X參數模型用于表征功放的記憶效應，其研究意義十分重大。

近年來關于X參數在微波射頻領域的研究備受關注。文獻[6]中提出了多諧波失真(Poly Harmonic Distortion， PHD)模型，隨后安捷倫科技公司將PHD模型申請為專利商標，運用該公司的PNA-X系列非線性矢量網絡分析儀搭建完成NVNA硬件測量平臺[7-8]。但PHD模型只能夠表征只有一個大的射頻輸入信號而忽略其他小信號的情況，功率放大器在基本匹配的情況下功放的非線性行為，當出現由于負載阻抗引起的細小偏差而導致輸出端口不匹配時，此時基波與諧波將會產生反射，這導致了傳統的靜態X模型仿真精確度較低。文獻[9]中首次提出動態X參數模型，并引入了表征長期記憶效應的三維核函數，但三維核函數的提取及驗證都極為困難。文獻[10]中提出基于前饋(Feed-Forward, FF)結構的動態X參數模型，提出一種表征功放記憶效應的新方法，但模型僅考慮功放的長期記憶效應，參數辨識困難且普適性差。文獻[11]中提出將輸出信號為幅度與頻率雙變量的新型反饋(FeedBack, FB)結構引入時變頻率變量而簡化動態核函數為二維核函數，模型的精度有了一定提高，但沒有考慮模型在諧波失配情況下產生的擾動，模型仿真速度較慢。

針對以上問題，本文提出了一種新型的X參數建模方法。首先引入負載反射系數|ΓL|，結合X參數模型，構建大信號與二端口信號的二維函數以提高模型的準確度；但由于二維核函數的復雜性，且驗證和應用都比較困難，使用僅保留負載反射系數的幅度信息的一維掃描代替二維核函數的提取。對于X參數表達式中的動態核函數，選用改進的FF模型來代替，FF模型將功放的記憶效應分為短期記憶效應和長期記憶效應，提取出FF模型中表征功放長期記憶效應的核函數，將其用于代替X參數表達式中的動態部分以考慮功放的記憶效應，提取方法使用階躍信號[12]代替原始的雙音信號對提取方法進行簡化。新的動態X參數模型與靜態X參數模型、傳統的動態X參數模型、FF結構X參數模型以及FB結構的X參數模型相比，不僅具有較高的精確度，而且與FF結構模型和FB結構模型仿真相比，仿真時間均有所提高。

1 模型分析

1.1 散射函數

散射函數[13]描述的是被測器件出射波和入射波基波及各次諧波之間的映射關系：

Bpm=Fpm(A11,A12,…,A21,A22,…)

(1)

其中:B表示出射波；A表示入射波；p表示端口號；m表示諧波次數。

1.2 靜態X參數模型

為進一步化簡模型，對散射函數進行一階Taylor級數展開，結合諧波疊加原理，PHD模型[14]如下：

(2)

1.3 動態X參數模型

動態X參數模型[15]是在靜態X參數模型的基礎上延伸得到的，引入了能夠表征時變系統的“動態”部分。這里假設一個完美匹配的網絡，只有一個輸入基波分量A(t)，相應的只有一個輸出基波量B(t)，不考慮諧波分量的影響。另外，假設輸出端口阻抗匹配。動態X參數模型的表達式如下：

B(t)=FCW(|A(t)|)·exp(jφ(A(t))+

(3)

?x,u:G(x,x,u)=0

(4)

該模型的基本理念在于將輸出包絡信號B(t)分解為穩態部分和動態部分，穩態響應部分即由非線性響應FCW(|A(t)|)激勵輸出當前時刻的復包絡，動態部分由記憶核函數G(·)在各時間點的疊加組成。其中，FCW(|A(t)|)和G(·)都只是輸入信號A(t)瞬時幅值的函數，因而輸入信號的相位信息作為一個獨立的分量和幅度信息相乘，引入Φ(t)=exp(jφ(A(t)))。穩態部分和經典的PHD模型輸出相同，動態部分反映了長期記憶效應的作用。能夠反映記憶效應的三維記憶核函數G(·)，其數值只取決于三個因素：時間間隔u、當前時刻輸入復包絡的瞬時幅度A(t)和過去u時段的輸入復包絡幅度A(t-u)。

1.4 |Γ21|模型

對于如式(2)所示PHD模型，只有在放大器近乎完全匹配的情況下才能給出很好的預測，即確保|Γ21|?1，此時|A21|足夠小。因此，在匹配良好的情況下，在大信號工作點(Large-Signal Operating Point, LSOP)[16]下的被測器件的入射信號A21可以忽略不計。此時包含直流偏置DCbias的LSOP為：

LSOPbasic=(DCbias,|A11|)

(5)

然而，當放大器出現不匹配的情況時，PHD模型將不能準確預測整個Smith圓圖上的行為，因為在PHD中，散射波B21只與基波輸入的大信號激勵|A11|有關，此時情況比PHD模型所描述的更為復雜。

在不匹配的情況下，反射波B21將反映這種不匹配，并在輸出端口產生入射波A21，條件|Γ21|?1不再滿足，這時A21足以改變被測器件的LSOP，此時先前使用的頻譜近似無效。

傳統的負載牽引模型提出將|A11|與負載反射系數Γ21結合以解決這一問題，此時負載牽引模型的LSOP為：

LSOPloadpull=(DCbias,|A11|,Γ21)

(6)

1.5 FF結構模型

假設功放輸入信號為一個恒定包絡的大信號A0與變包絡的小信號A1的疊加：

A(t)=Re(A0·ejω0t+A1·ej(ω0+Ω)t)

(7)

FF結構模型拓撲結構[17]如圖1所示，A(t)表示輸入信號，B(t)表示輸出信號，輸入和輸出之間的兩個路徑是根據功放的電路結構建立的雙記憶路徑模型，即短期記憶效應(Short Term Memory, STM)與長期記憶效應(Long Term Memory, LTM)。這種拓撲結構趨向于模仿放大器電路中的兩個基本內存路徑，使得功放被建模為一個在FF結構中有長期響應調制的系統。該模型結構中STM路徑的作用是捕獲功放主動態，擔當著放大以及濾波的作用，當一個時變包絡信號通過這條路徑時，STM路徑的短期非線性作用將會產生一個低頻信號反饋到LTM路徑中，LTM路徑本身是動態非線性的，它可以看作是一個對放大器直流靜態點緩慢調節的過程，以偏置網絡的速率進行充放電，使器件自行加熱或捕獲動態，進而影響STM路徑。該模型的表達式如式(8)所示:

B(t)=(1+BLT(t))·BST(t)

(8)

其中：

(9)

(10)

(11)

(12)

圖1 FF結構模型拓撲Fig. 1 Topology of FF structural model

2 |Γ21|-X參數模型

傳統的二維負載牽引模型需要覆蓋整個Smith圓圖，且只能使放大器在大信號下的工作區域局限于Smith圓圖上的一點，這種方法會增加文件大小，使模型維度升高。而|Γ21|模型將負載反射幅度|Γ21|與|A11|相結合，運用二次諧波失真(Quadratic Poly-Harmonic Distortion，QPHD)模型[18]，使放大器在大信號下的工作區域變為由參數|Γ21|控制的在Smith圓圖上的一個圓，且由|Γ21|完全取代Γ21，在保證精確度的情況下，使只保留負載反射幅度的一維模型代替復雜的二維模型。

本文從理論出發，在X參數動態模型中引入該負載牽引模型以對傳統的動態X參數模型的建模方法進行改進，新的X參數建模方案不僅能夠保證精確度，還能夠得到簡化的模型文件。將新的X參數模型用于進行放大器記憶核函數的提取，在提取方法上，將傳統的雙音大激勵輸入信號替換為窄帶階躍信號以簡化模型的提取過程[19]。

將|Γ21|模型中的大信號工作區域命名為參數控制的大信號工作圓(Parametric Large-Signal Operating Circle， PLSOC)，其模型如下：

RPLSOC=(DCbias,|A11|,|Γ21|)

(13)

2.1 |Γ21|-靜態X參數模型

通過引入參數|Γ21|，對QPHD負載牽引模型進行簡化，得到改進的靜態X參數模型為：

Bpm=Fpm(|A11|,|Γ21|)pm+

(14)

2.2 |Γ21|-動態X參數模型

根據上述結論和X參數模型基礎理論，參數|Γ21|牽引下的非線性電路或系統的行為模型可以表示為：

B(t)=F(|A(t)|,|Γ21|)Φ(t)

(15)

文獻[20]中用h1(t)，h2(t)，…，hN(t)等多個隱含變量來表示記憶效應對系統的映射關系。結合式(15)，通過這種方式所建立的帶有記憶效應的非線性電路或系統的行為模型可以表示為式(16)：

B(t)=F[(|A(t)|,|Γ21|),h1(t),h2(t),…,

hN(t)]Φ(t)

(16)

通過先驗信息和物理測試設備，可以獲得輸入信號和隱含變量之間的關系為：

(17)

將式(17)中的隱含變量看作是通過線性濾波器得到的，即沖擊響應ki(·)與非線性函數Pi(·)的卷積，則式(17)表明了一種特殊的非線性關系。為了更好地完成線性化過程，設輸入信號的幅度始終保持不變，即|A(t-u)|=|A(t)|=X，則式(17)可以整理為：

(18)

其中：

(19)

將式(18)代入式(16)中可得：

B(t)=F[(|A(t)|,|Γ21|),W1P1(|A(t)|,|Γ21|)+

Δ1(t),W2P2(|A(t)|,|Γ21|)+Δ2(t),…,

WnPn(|A(t)|,|Γ21|)+Δn(t)]·Φ(t)

(20)

其中：

?i:Δi(t)=hi(t)-W1P1(|A(t)|,|Γ21|)

(21)

式(20)中所帶的偏差量Δi(t)可以修正hi(t)，使其更接近實際值。對式(20)繼續進行線性化：

B(t)=F[(|A(t)|,|Γ21|),W1P1(|A(t)|,|Γ21|),

(22)

其中：

(23)

函數Di(·)表示輸出信號對隱含變量變化的反應。假設h1(·)代表溫度，那么D1(·)代表溫度的變化對輸出信號的影響。引入函數FCW(·)，可表示為式(24)：

FCW(|A(t)|,|Γ21|)=F[(|A(t)|,|Γ21|),

W1P1(|A(t)|,|Γ21|),W2P2(|A(t)|,|Γ21|),…]

(24)

將式(24)代入式(22)，式(22)可簡化為：

B(t)=FCW(|A(t)|,|Γ21|)·Φ(t)+

(25)

式(25)中，從結構上分為兩部分：一是由函數FCW(·)代表的靜態部分，其他部分表示動態部分。由式(24)表示的靜態部分，對應典型的PHD模型。因此，下標“CW”代表被測件在單一信號連續波下的激勵響應。

將式(21)代入式(25)，可得到式(26)：

B(t)=FCW(|A(t)|,|Γ21|)·Φ(t)+

(26)

注意到：

(27)

因此，式(27)可以寫作：

B(t)=FCW(|A(t)|,|Γ21|)·Φ(t)-

(Pi(|A(t-u)|,|Γ21|)du·Φ(t)

(28)

定義多元函數G(x,y,u)如式(29)所示：

(29)

所以，式(27)可以寫作：

B(t)=FCW(|A(t)|,|Γ21|)·Φ(t)+

(30)

至此，通過借助隱含變量，線性化方程得到了含有記憶效應器件的動態X參數模型，該行為模型的第一項代表了靜態部分，其中FCW(·)表示靜態X參數核，G(·)為記憶核。

將改進的FF結構與式(30)結合，改進的動態X參數模型為：

B(t)=FCW(|A(t)|，|Γ21|)Φ(t)+

(31)

其中：

G(|A(t)|,|Γ21|,Ω)=HST(|A(t)|,|Γ21|,Ω)·

(1+HLT(|A(t)|,|Γ21|,Ω))

(32)

因為STM核函數容易通過包絡恒定的調制信號進行測量，這時LTM路徑效應為零。此時輸入信號周期為0，即輸入信號一個幅度固定為常數的單音連續信號：

A(t)=Re(A0ejΩ t)

(33)

輸入信號包絡幅度、負載反射系數及頻率的函構成輸出信號的包絡，可以由式(34)表示：

B(t)=B0(|A0|,|Γ21|,Ω)ejΩ t

(34)

將式(33)和(34)代入式(31)可得輸出信號為：

B(t)=(1+HLT(|A0|,|Γ21|，0))·

HST(|A0|,|Γ21|,Ω)·A0ejΩ t

(35)

由于此時LTM核函數HLT(|A0|,|Γ21|,0)為零，故STM的核函數為：

(36)

而在對LTM核函數進行提取時，功放的輸入信號為：

A(t)=|A0|+|A1|ejΩ t;|A1|≤1

(37)

此時信號的包絡為：

(38)

由于|A1|遠小于|A0|，故功放輸出端得到一個由|A0|、負載反射系數幅值|Γ21|及頻率構成的三音信號，如式(39)所示：

(39)

此時，FF模型的拓撲結構可以表示為：

HST(|A(t)|,|Γ21|,Ω)=

(40)

HLT1(|A(t)|,|Γ21|,Ω)=

(41)

HLT2(|A(t)|,|Γ21|,Ω)=

(42)

將式(39)代入式(40)并固定負載反射系數的幅值，通過測量獲得輸出端的信號和頻率，此時LTM端信號為：

(43)

其中：

(44)

其中上標和下標分別對應于同步和反同步輸出的頻率分量，結合式(37)、(38)和負載反射系數，并在點A0處一階泰勒展開可得：

hLT(|A|,|Γ21|,t)=hLT(|A|,|Γ21|,t)+

(45)

此時將式(45)代入式(41)和(42)并令其等于式(43)，通過固定頻率Ω和負載反射系數幅值，使A(t)在A0點從零開始移動到無窮，使用經典歐拉算法或梯形法解微分方程得到LTM核函數為：

(46)

通過式(46)推導可以得到將|Γ21|-動態X參數模型與FF結構相結合所獲得的HLT1(|A0|,|Γ21|,Ω)、HLT2(|A0|,|Γ21|,Ω)兩個參數在|Γ21|牽引下的LTM核函數。

3 模型提取和驗證

提取LTM核函數的傳統方法是采用雙音信號激勵模型進行提取，該方法采用不同的功率信號產生不同的電平，此法導致信號的諧波相位參考的最小頻率分辨率固定在10 MHz，這遠大于信號的頻率間隔，以至于很難將兩組信號的包絡進行分隔。本文采用以窄帶階躍信號代替雙音信號作為激勵對核函數進行提取，窄帶信號的周期遠遠短于長期記憶效應的持續時間，該方法沒有額外的校準程序和硬件設備需要重建，因此被測器件的電流輸出是過去幾個輸入信號周期的結果。使用窄帶階躍信號提取本文改進的X參數模型，入射波信號可以在t=0時刻發生轉換：

(47)

窄帶階躍信號A(t)驗證過程如圖2，其中A0為當前輸入，A1表示過去輸入。

圖2 窄帶階躍信號示意圖Fig. 2 Schematic diagram of narrow band step signal

由圖2可以看出，窄帶信號類似于兩個射頻脈沖信號，其占空比為50%，周期時間是20 μs。此時的X參數模型為：

B(t)=FCW(|A(t)|,|Γ21|)P+

(48)

動態核函數為：

G(|A(t)|,|Γ21|Ω)=HST(|A(t)|,|Γ21|,Ω)·

(1+HLT(|A(t)|,|Γ21|,Ω))

(49)

本文提出的X參數模型中包含STM核函數和LTM核函數，參數|Γ21|提取問題可看作最小二乘法問題，采用隨機相位法確定樣本點后進行模型提取。將STM看作靜態X參數的核函數，LTM看作X參數模型動態部分的核函數。使用安捷倫公司的ADS(Advanced Design System)軟件提取靜態X參數HST，使用脈沖測量獲取H(·)，令負載反射系數|Γ21|的值為0.8，如圖3所示，此時大信號的工作區域不再局限于一個特定的負載點，而是Smith圓圖上的一個負載圓，通過對電路進行包絡瞬態仿真和階躍信號仿真，獲得式(50)所需的系數：

Xp(|A11|,|Γ21|,Ω)=

(50)

其中X"P(|A11|,|Γ21|,∞)=X"P(|A11|,|Γ21|)，利用正交表分解法求解矩陣[20]使模型植入系統仿真，其過程為：通過提取的Xp(|A11|,|Γ21|,Ω)的系數，利用奇異值分解(Singular Value Decomposition， SVD)[20]來創建M個正交偏置矢量Ψxpyp,m(|A11|,|Γ21|)，最后利用最小二乘法來確定權值函數。權值函數代表線性濾波器的傳遞函數，可以使用時域矢量擬合的過程通過經典的極點/殘基有效地合成，使卷積變成了簡單的迭代算法，從而提高了建模的速度。正交基矢量Ψxpyp,m(|A11|,|Γ21|)利用三次樣條曲線來代表。

圖3 |Γ21|=0.8時的負載反射系數圓Fig. 3 Load reflection coefficient circle when |Γ21|=0.8

圖4 LTM核函數提取結果Fig. 4 Extraction results of LTM kernel function

對于新的X參數模型，在理論上，如果一個模型含有m個參數則需要m次獨立的測量，但是為減少誤差，適當增加了測量的次數。對于X參數的3個參數，在功放整個帶寬進行16次測量，選擇30個頻點，每個頻點選取20個幅值，用以構建核函數，對STM內核和LTM內核進行提取后在Matlab中進行建模并仿真。通過瞬時包絡仿真以及諧波平衡仿真獲取功放輸入和輸出信號的包絡及頻率信息以提取LTM核函數，函數提取結果如圖4所示。本文采用Gree公司的氮化鎵(GaN)材料制作的CGH40045F晶體管設計一款功放，工作頻段為0～4 GHz，靜態工作點的漏極電壓VDS=28 V，柵極電壓VGS=-3 V，1 GHz時輸入功率從0到45 dBm的功放增益—輸入功率曲線如圖5所示。本次測量利用ADS產生輸入功率為32 dBm的信號，通過雙向負載牽引匹配電路，設置負載反射系數|Γ21|=0.8，使用大信號激勵功放模型，圖6為測量輸出端口各次諧波幅度值。由圖6可得隨著功放非線性增強，二次諧波及三次諧波的急劇上升，新模型能夠很好地預測功放強非線性失真。

圖5 功率為1 GHz時的功放增益Fig. 5 Power amplifier gain at power of 1 GHz

圖6 功放輸出諧波Fig. 6 Amplifier output harmonics

當射頻功放工作在1 GHz時，此時放大器工作在強非線性情況，圖7展示了輸入信號在端口2處的幅值|A21|，在本文的測試情況下，入射波在端口2的幅度從1.6 V變化到6.65 V，仿真使用輸出電壓作為比較指標，本文模型與之前模型仿真獲取輸出電壓與實測電壓對比結果如圖8所示。從圖8可以看出，本文模型在該種非線性情況下與其他模型相比能夠提供更好的預測效果。

圖7 端口2處反射波幅值Fig. 7 Reflection wave amplitude at port 2

通過提取不同負載反射相位時的輸出電壓以獲得相對誤差，相對誤差為絕對誤差與實測輸出電壓功率的比值，其中絕對誤差為實測輸出電壓功率與使用模型提取輸出電壓功率的差值的絕對值，如圖9所示，采用本文的建模方案進行仿真所產生的相對誤差與使用傳統的動態X參數模型進行建模的相對誤差相比有明顯降低，與之前改進的FF結構方案和FB結構方案相比更加精確。從圖10的對比中可以看出，使用本文中的新型X參數模型來對功放建模，與其他三種模型相比能夠更好地表征功率放大器在記憶效應下的特性，能夠有效地預測功放在帶外的頻譜再生特性，仿真精度有所提高。同時通過由表1展示的模型仿真時間可以看出，本文模型通過負載反射幅值結合X參數模型和利用窄帶階躍信號提取X參數的新方法有效地提高了仿真效率，在保證精度和準確度的情況下，與FB結構X參數模型和FB結構X參數模型相比，仿真時間分別減少了1.64 s和4.08 s。

表1 模型仿真時間Tab. 1 Simulation time of model

圖8 實測與四種建模方案輸出電壓的對比Fig. 8 Comparison between output voltage of four kinds of modeling program and actual measurement

圖9 四種建模方案相對誤差的對比Fig. 9 Relative error comparison of four kinds of modeling programs

4 結語

考慮功放記憶效應的特點和傳統X參數模型易出現諧波失配的情況，本文在傳統雙記憶路徑表征功放記憶效應的基礎上結合負載反射系數，通過改進的FF結構并結合X參數進一步表征動態核函數，提出輸入信號幅度與負載反射系數幅值及頻率相關的核函數，建立具有記憶效應的非線性射頻功放模型。利用窄帶階躍信號代替雙音激勵，采用ADS軟件對模型進行提取，通過Matlab的仿真對比，本文的新型動態X參數模型建模方案能夠對射頻功放的非線性和記憶效應進行更加精確的表征。該模型為進一步研究系統級行為模型和諧波失配條件下建模提供了一種思路，但該模型仿真時需要獲取較多數據集合易造成較大工作量，后續仍需進一步改進。

圖10 實測與四種建模方案輸出功率譜密度的對比Fig. 10 Comparison between output power spectral density of four kinds of modeling program and actual measurement