“悟”：數學復習的應有學程

潘本圣

“悟”字，不難解釋，有感悟、領悟、覺悟的含義.林清玄用拆字法，把“悟”字解釋為“獨對我心”，在學習中，代表著問題解決時思維的有效參與，也就是我們父母一直叮嚀的“用心學習”.“悟”是學習的一種過程、一種狀態、也是一種境界，學習輕松者一定擅長“悟”.尤其是數學復習時，“悟”是最經濟的、有效的、簡單的學習之道，“題不在多，擅悟就行！”，新授課學習時，我們通過一些相關的情境學習新知識、新方法，但由于當時的學習是漸進的，自然缺乏整體的、全局的認識，我們可能只是在某個方向上是“懂了”，習得的知識、方法呈“點”狀，這需要我們一段時間的學習后進行“復習”.所謂數學復習就是將知識和方法連點成線，將它們內化為“知識鏈”、“方法鏈”，甚至展線成塊，將它們內化為完整的“知識塊”、“方法塊”，這一內化的過程我們稱之為“悟”.

數學復習的一個重要部分就是以題帶出概念和方法，應該說不同的內容復習的重點不同，因此復習方法也有差別.下面我們以解析幾何題為例，和同學們交流如何“悟”.

1.“悟”，辨別方向

如果我們只是從單一角度去領悟，我們可能就會陷入一種思維定式，可能就會讓“知識網絡”和“方法網絡”缺失結點，我們的思維就會不通暢.因此我們有必要思考該類問題有哪些解決方向，在嘗試中辨別，在多向的比較中“悟”出適合白己的方法.

我們知道，解析幾何的核心就是用代數方法解決幾何問題，因此需要我們將條件中的信息“加工”為代數形式，最后轉化成方程（組）或函數問題.

對于第（2）問，由于題目中的信息多，加工的方向就多了起來，此時我們往往是首先確定基本量.

方向1 在第（1）問的引導下，采用“設點，滿足方程”，而不采用“聯立方程組”.將點A，B，C的坐標作為基本量：

設點A（χl，yl）、B（χ2，y2）、C（χ3，y3），因為三點在橢圓上，得：

觀察上述的6個方程，只有④，⑤是一次形式，將它們變形為

全局地觀察不難發現：⑦平方+2倍的⑧平方，可得：

明顯地，方向2的運算要復雜些，原因是缺乏全局的、整體的眼光，但思路比較清晰.

2.“悟”，學會聯系

本題可以看成是前一題的變式，它們均可采用“以整體的、全局的視角把握方程思想”。

3.悟，嘗試歸類

問題3 平面內與兩定點A，（-α，0），A2（α，0）（α>O）連線的斜率之積等于非零常數m，求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系.

將問題1進行一般化，并給出兩道類似的題目，請同學們自己嘗試在解題中領悟.