一類組合數問題酌多種解法

單奕陽

我對組合數這類問題“情有獨鐘”，不僅因為它有著豐富的現實意義，而且其解法常常會呈現多樣化的特征，能使我的數學思維更加靈活.前些天我就遇到了如下的這道證明題：

以前遇到的有關組合數的證明問題，一般都是每項的系數為1，這道題中待證等式左邊的每一項的系數是呈自然數列搭配，怎樣能“變”個系數出來呢？求導！

解法一先求導，再賦值，將n項的組合數問題與二項式定理連用，再利用賦值法求得結果.

將“求導”與組合數、二項式定理相結合，我以前也從未想過還可以這樣操作；“變”出系數，完全出于靈光一閃，這也許就是數學中的厚積薄發吧.回頭想想，其實求導不太容易想到.

方法二倒序錯位法.將數列中常用的“倒序相加”與“錯位相減”相融合，再嫁接到組合數問題的求解中來.

另外，我還利用我的“小資料庫”中的一個結論，找到了一個簡潔巧妙的辦法：

當然，對于我們理科生來說，遇到有關正整數的證明問題，還得經常記得數學歸納法這位“仁兄”的威力：

方法四數學歸納法.

所以n=k+l時，結論成立.

綜合①②可知：結論成立，

除了對多樣方法的靈活運用外，一些常見的組合數公式也是解題的關鍵.

當遇到不易處理的結構時，可以設法構造出以上的常見結構，以便利用相關公式對條件式進行化簡，從而使問題更加簡化.解決組合數問題時，還要注意聯想，比如在二項式定理、數列等中的常用方法可以進行借鑒.當然，利用組合數的原始定義——階乘表示式對結構進行變形，得到所需也是不可忽略的重要手段.