數學之美數形結合

蔡萃藝

依稀記得剛走進初中大門之時，數學老師在班級公共郵箱里放了一份《數學之美》的PPT文件.點開后，是一張張精美的幾何動態圖，幾張體現數與數之間運算規律的宏大的平面圖，數與形的美妙結合給我帶來了強烈的視覺沖擊.曾經的我只是單純地認為數學就是數學地運算，要通過縝密的頭腦風暴才能將數學運用得如魚得水，而數字就是人們操控數學的秘密武器.在我將那份PPT從頭到尾一圖不落一字不疏地看完后，之前在腦海中構建出的數學概念堡壘，瞬間被一個個奇形怪狀的立體幾何轟炸成碎片，需要被替換，更新，重新組建.

說是被數學之美驚艷到，但其實還有對數學難以克服的恐懼，后者占了多數.人們總是對未知的事物有著探索的渴望；與渴望并存的，還有對探索結果的恐懼.一想到這些“美”的背后煩瑣的證明過程，復雜的計算方法，總是使我踟躕在數學之美的表面，它背后更具有深度的美是以我目前的理解水平無法感受到的.這就仿佛給數學蒙上了一層朦朧的面紗，你深知面紗之下的真容是能夠觸動大腦里最僵硬的那根神經，給你一種如釋重負，恍然大悟的快感，卻捉摸不透揭開那層面紗的方法.

總而言之，數學不單單研究數字，它還研究結構、變化、空間以及信息等方面，從某種角度看屬于形式科學的一種.因此數學的本質，便是“數量科學”.

在小學數學的學習中，幾何與數字的關系并不是非常緊密的，稍有涉及的無非是計算圖形面積，周長，要求稍微高點則是計算最值問題等等.到了初中，圖形的種類變得豐富起來，函數也登上了舞臺，這兩者之間的結合便構成高中試卷壓軸題型——數形結合.

函數可以用圖象來表示，其中必然會涉及幾何問題；幾何圖形里大有文章可做，最為寵幸的便是函數.這兩者涵蓋了義務數學教學的絕大部分內容，它們的結合便可謂為“雙劍合璧”了.我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性，而數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系.

靈活巧妙地運用數形結合來解題，往往產生事半功倍的成效.在過去接觸的大部分題里，題干中并不會給出明確的注明來揭示這道題的本質是數形結合的應用，這就要求我們做題時擁有一種敏銳度，原式進行各種變形轉化后還是無法找到解題的突破口，就可以換一種思路，采用化數式為圖象的方法來解決.

由圖可知，當χO，所以f（χ）<0，這時就要求我們對χ≥1時f（χ）的圖象進行條件限制.首先確定m的正負，由它來決定f（χ）圖象的開口方向.當m>0時，圖象開口向上，則χ≥1時總會有f（χ）>0的地方，因此m必須為負數.所以f（χ）的圖象與χ軸的交點為（2m，0）和（-m-3，0），就如下圖.

由此可見，數形結合就是把抽象的數學語言（數量關系）與直觀的幾何圖形（位置關系）結合起來，通過“以形助數”或“以數助形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優化解題途徑的目的.這個方法常常與以下內容有關：實數與數軸上的點的對應關系；函數與圖象的對應關系；曲線與方程的對應關系；以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如三角函數等.

我們要在平常所做的題中，不斷總結積累，慢慢培養出數形結合的思想方法，讓兩者相得益彰地輔助我們思考，從而達到問題的解決.如果說數式與幾何是數學界的兩大強者，強強針鋒相對之時你不知所措，只會被夾在中間受到二倍技能的傷害，倘若你選擇避開，同樣會造成兩敗俱傷，而你毫無利可收.因此不如試著將它們征服于股掌之間，融合出更為強大的必殺技，想必到那時，許多囤積的難題便可以巧妙地迎刃而解了.

教師的話：數形結合是高中數學學習一個非常實用有效的方法，該生能感受到其中的生動有趣，體會到數學之美，對其將來的數學學習道路必有助益.