把“某人”變“本人”

張登林 謝秀芳

計數問題是數學的重要研究對象之一，是組合數學的最初步知識，這種以計數為特征的內容在中學數學中較為獨特，它不僅應用廣泛，是學習統計、概率等分支的必要準備知識，也是發展我們抽象能力和邏輯思維能力的好素材.分類計數原理與分步計數原理作為本章的開篇，它是解決計數問題最基本、最重要的方法，為解決許多實際問題提供了思想和工具，可以這么說，理解并掌握了它，本章后面的學習就會顯得輕松許多.

喜歡電子游戲的同學們應該都看過網上相關第一視角的視頻，“第一視角”在游戲中的理解是：以游戲操作者本人的視角觀看整場游戲演示，相當于站在操作者身后看，自己所見即為操作者所見.“第一視角”更直觀，更具代人感，可以觀察到操作者每個細致入微的操作，洞悉操作者每一個戰術心理，特別在需要操作技巧、戰略技巧的游戲中更利于旁觀者跟蹤學習，因而受到許多玩家喜愛.那么我們在解決一些數學問題是不是也能從這個角度把題目中的“某人”想象成“本人”？在面對這個問題時“本人”你會怎么做呢？

例1 某校學生會由高一年級2人，高二年級3人，高三年級4人組成.

（1）任選其中1人為校學生會主席，有多少種不同的選法？

（2）每年級各選一人為校學生會常委，有多少種不同的選法？

現在我們把這個權利交給你，讓你隨機決定選取誰，9個同學名單已經在你的手上，你手里拿著筆，對著名單在瀏覽…一

對于問題（1），你這個名額是給高一、高二還是高三呢？如果給了高一，你給高一的誰呢？這時你有幾種選擇？如果給了高二、高三又是怎樣的情況呢？當你填上一個人名后，這件事你完成了嗎？如果你想修改，你得把你填上的擦去，填完后回想一下，你可以有幾種填法？

對于問題（2），你依次選擇三個年級的人選，對于高一的人選，你有幾種選擇？填完高一人選后，你這件事完成了嗎？顯然沒有，你繼續填高二的人選，又面臨幾種選擇？填完后仍然沒有完成任務，還得繼續選出高三的人選.之后你的任務終于完成了，再回想一下，你可以有多少種填法？

問題（1）就是分類計數的方法，一共有2+3+4=9種不同的結果；問題（2）就是分步計數的方法，一共有2×3×4=24種不同的結果.

分類計數原理與分步計數原理是研究“完成一件事”方法的重要工具，兩個原理的區別可以從以下三點進行理解.

1.從“完成一件事”的含義看，分類完成一件事指做這件事可分為若干類方法，每類方法都能獨立完成這件事，各類方法相互獨立；而分步完成一件事指完成這件事要分成幾個步驟完成，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成，哪一步驟都不能獨立地完成這件事.

2.從分類與分步的角度看，分類計數原理的各類具有并列性、獨立性；分步計數原理的各步具有必須性.

3.從特殊字詞看，如從兩組元素中“任取一個”和“各取一個”，雖一字之差，但“任取一個”是分類，“各取一個”是分步.

正所謂：兩大原理顯神通，類類獨立不重漏，步步相依不缺步，類類相加步步乘，遇事三思而后行，

例2 從甲、乙、丙、丁四位同學中隨機選擇兩名同學參加學校A，B兩個會議，每人參加一項，一共有____種選擇.

讓你來解決這個問題，你是分類還是分步？分幾類？分幾步？你的一個結果完成任務了嗎？顯然本題要分成兩步完成，第一步給A會議選擇人選，第二步給B會議選擇人選，腦海里想象成你來填這樣一個表格：

第一步有4種選擇，第二步有3種選擇，所以一共就是4×3 =12種.

通過以上兩題我們再總結一下利用兩個計數原理解題的思考順序：

分類計數：確定任務、一步到位、分類、各類方法相互獨立、種數相加；

分步計數：確定任務、分步完成、分步、各個步驟相互依存、種數相乘.

但有的時候可能完成一件事的過程中既要分類又要分步.

例3 盒中共有9個不同的小球，其中有4個紅球、3個黃球和2個綠球，現從中取兩個球，放入兩個不同的杯子，要求兩球顏色相同，一共有多少種放法？

現在9個球擺在你的面前，你的任務是什么？要完成任務你可以分成幾類？每一類又可以分成幾步？

任務是在兩個杯子中分別放人顏色相同的一個球，按照顏色可以分成三類，如果都放紅色的球，那我們義要分兩步放，第一個杯子有4種選擇，第二個杯子有3種選擇，那么紅色的就有4×3 =12種放法.那選其他兩種顏色又是什么情況呢？自己動手嘗試解決吧.（4×3+3×2+2×1= 20種）

在解決計數相關問題時，明確任務是很關鍵的第一步，有時可能會因為任務選定產生錯解.

例4 甲、乙、丙、丁4名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的1個運動隊，不同的報名方法種數是多少？

有同學是這么想的，要想完成這件事分成三步，第一步給足球隊選人有4種選擇，第二步給籃球隊選人有3種選擇，第三步乒乓球隊有2種選擇，所以一共是4×3×2=24種，你認為對嗎？

我們檢驗一下他結論中的一個結果能不能完成任務，比如足球隊選了甲，籃球隊選了乙，乒乓球隊選了丁，那他的一個結果就是甲、乙、丁各選了一個項目，丙沒有項目，顯然沒有完成題目要求的任務.正確的一個結果應該是四個人都報了一個項目，所以完成這件事應該是以人為研究對象，分成四步，想象成填這樣一個表格：

在應用計數原理解題時我們不要慌亂，把自己想象成解決問題的人，冷靜分析任務，把你的解決方案抽象后對應于兩個原理.分類計數原理要求分類的每一種方法都能把事件獨立完成；應用分步計數原理則要求各步均是完成事件必須經過的若干彼此獨立的步驟.一般是先分類后分步，分類要設計好標準，設計分類方案，防止重復或遺漏，分步時要注意步與步之間的連續性.