益智課堂《漢諾塔》教學設計

李永紅

教學目標：

1.認識漢諾塔。了解漢諾塔歷史及游戲規則，學會移動1～6個圓盤的玩法。能用條理清晰的語言闡述自己的想法。

2.在學習過程中，經過自己的探索，發現前面探究獲得的結果可以幫助解決后面未知的問題，總結首環移動與圓盤的奇偶性關系。體驗數學方法倒推、轉換、遞歸等在游戲中的應用，培養學生思考力。

3.開發動手能力，培養遇到難題時堅持不懈的精神。

教學重點：掌握漢諾塔的游戲規則，發現最優步驟取決于首環移動位置。

教學難點：倒推和遞歸等數學思想的應用。

教學準備：多媒體教學課件，每人一個漢諾塔。

活動過程：

一、展示預習作業，導入新課

師：昨天老師留了預習作業，讓大家收集有關漢諾塔的資料。現在我們就來看看幾位同學收集的資料吧。

生1：通過搜集我知道了漢諾塔的構造，它是由一個底座和三根同樣高的柱子構成，這三根柱子從左到右可以叫A柱、B柱、C柱。其中一根柱子上，由下至上還排列著由大到小的8個不同顏色的圓環。

生2：我通過搜集資料了解到漢諾塔的游戲規則：

（1） 將所有盤按原來的排列移到另一根柱子上。

（2） 在玩的時候，每次只能移動一個圓盤。

（3）大圓環永遠不能壓在小圓環上面。

（4）按上邊規則盡可能用最少的步數移出。

為了玩得更輕松，有人還把器具的玩法編成了口訣：一次一環，大不壓小。

生3：我搜集到了有關漢諾塔的傳說。印度有一個古老的傳說：在世界中心貝拿勒斯的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石柱。印度教的主神梵天在創造世界的時候，在其中一根柱子上從下到上地穿好了由大到小的64片金盤，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶按照下面的法則移動這些金盤：一次只移動一個金盤，不管在哪根柱子上，小金盤必須在大金盤上面。僧侶們預言，當所有的金盤都從梵天穿好的那根柱子移到另外一根柱子上時，世界將會在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡，世界末日隨之到來！

師：世界末日真的會到來嗎？一位法國的著名數學家愛德華聽了這個故事，就動手玩了這個游戲，結果他笑了，他為什么笑了呢？今天我們玩一玩這個器具，共同走進奇妙的漢諾塔。（板書課題。）

二、嘗試活動，探尋數學思想

師：（出示課件。）剛才同學介紹了漢諾塔的三根柱子分別叫A柱、B柱、C柱。為了一會兒操作方便我們還可以把圓環所在的A柱叫起始柱；假如我們想把圓環移到C柱上，C柱就叫目標柱；B柱就叫過渡柱。而在圓環的移動過程中，有時候它們的角色會發生轉變。這8個圓環也可以叫做圓盤，我們可以從上至下叫1環、2環、3環……8環，另外這8個環的首領是最小的1環，所以1環也可以叫首環。

師：大家還記得這個游戲的規則嗎？把圓環按原來的順序，也就是原來小環在上，大環在下，把它們移到另一根柱子上時，仍然要小環在上，大環在下。同學們想想移動的過程中我們的第一個目標是把最大環移至目標柱，還是把最小環移至目標柱。（板書：一次一環，大不壓小。）動手試試吧。

師：剛才在操作中你遇到了什么困難？

生1：我移到3根柱子都有圓環的時候就不知道怎么辦了。

生2：有時候我移來移去又移回到起始柱了。

師：看來要成功地移出8個環確實有難度，它的移動一定是有規律可尋的，那我們可不可以降低難度由易到難，從一個盤的移動開始體會。接下來請大家借助老師為你準備的導學單，我們一起來研究一下。

師：導學單的第一列是什么？（生：環數。師板書。）也就是要移動幾個環；第二列呢？這里哪個詞最重要？（生：最少用幾步。師板書。）“最少”體現了數學上的優化思想，所以也可以說是最優步數；第三列呢？（生：首環位置。師板書。）就是第一步先把首環放在哪根柱子上？這正是我們要驗證的一個重要問題。

師：現在我們就從易到難從一個環開始研究。一環移動用幾步？

（生演練。）

毋庸置疑一環移出沒有障礙，一步就可以完成，第一步首環直接落在目標柱上。（板書：1-1-目。）

師：要是兩個環我們怎么移出呢？請你試試。

（生匯報，分別請5步完成及3步完成的學生演示。）

師：這兩位同學的操作，雖然都把圓環送達了目標柱，但是你更喜歡誰的方法？為什么？（生：用3步完成的。）（板書：3。）當我們選擇最簡潔的步驟完成任務時，就體現了我們數學中的“優化”思想。在學習和生活中我們會選擇優化的方法，效率就會提高，我們的頭腦也會變得更聰明更智慧。

現在我們看一下兩位同學演示過程的解析圖，為什么有的同學用3步，有的同學用5步？他們在第幾步出現了不同？

師：首環移動時就不同了。用5步完成的同學第一步把首環落在哪了？（生：目標柱。）。用3步完成的同學，第一步把首環落在哪了？（生：過渡柱。）

移出兩環時為什么把首環落在過渡柱上步數才最優呢？在移動兩環時我們的第一目標是——（生：最大環——目標柱。）最大圓環能否直接移去目標柱？（生：不能。）原因是——（生：首環壓住了最大環。）怎么辦？（生：上面的首環是障礙，所以先把首環落在過渡柱上，首環要禮讓才能順利移出最大環。）就像排隊一樣，越想往前擠就越浪費時間，首環如果先擠占了目標柱，最大環就不能直接去目標柱了，就浪費了步數，所以首環應落在——（生：過渡柱。）

師：再次操作，請所有同學把首環落在過渡柱上移出兩環。如果同桌有困難，請相互幫助。

師：看來首環的位置就已經決定我們的步數是否最優。 要想優化兩環的步驟，我們的第一步一定落在哪里？（生：過渡柱上）。回頭看移出一環時我們直接把它落到哪根柱子上了？（生：目標柱）。那要想優化三環的步驟首環應該落到哪根柱子上？看課件讓我們分組試試，女生落在目標住上，男生落在過渡柱上，把你的步驟記錄在導學單上。

（男女生分別匯報，得出優化三環步驟為7步，首環落在目標柱。）

師：為什么把首環落到目標柱用的步數最少？請同學們再次移動找出原因。誰來講講移三環的時候為什么把首環落到目標柱用的步數最少？

生：移三環的第一目標還是最大環先移到目標柱上，那上面兩個環就是大環的障礙，要想把上面兩個環都移至過渡柱上，第一個環又是第二個環的障礙，所以要先把第一個環落在目標柱上。

師：他的這種方法叫做倒推法，倒推是一種非常好的數學思想。它是利用已知條件，最大環要移去目標柱，倒著向前推理，那前兩環應該怎么辦？二環要移至過渡柱，倒著向前推理一環怎么辦？這樣倒著推理出首環要落在目標柱步驟才能最優。

師：在移出四環之前你能以第一目標：最大環移去目標柱開始，倒推出首環的位置嗎？同桌交流，大膽推測。

（一生說推理過程：4-目，前3-過，前2-目，首-過。首環應落在過渡柱位置。）

（生操作，匯報步數，展示操作過程。）

師：第一目標：最大環去目標柱，前三環要去過渡柱，這時候B柱其實是前三環的——（生：目標柱。）C柱變成前3環的——（生：過渡柱。）按三環的移動經驗，7步把它們移至B柱上。第八步將最大盤成功落在目標柱上，再將前三環移至C柱上，這時候C柱又變成前三環的目標柱了，A柱變成前三環的過渡柱。這個過程你有什么發現？在移動的過程中三個柱子的角色是在變換的。這種變換就是另一種數學思想——轉換，利用轉換的思想可以令我們走出困境。

觀察前四環的移動，你們發現了首環移動的規律了嗎？（生：單數環首環移動到目標柱，雙數環首環移動到過渡柱。）能根據這個規律推想一下移出五環時，首環落在哪？（師板書。）

師：我們再看最優步數，四環的步數是怎么得到的？是在幾環的基礎上？7×2+1，（師板書）這個7是誰用的步數？這個1呢？哪位同學來說一說？

師：五環用多少步你能算出來嗎？（生：15×2+1=31。）六環呢？（生：31×2+1=63。）

師：那我們能不能將它分解成前四環和最大環來想，前四環如果能移到過渡柱，最大環就能順利地移至目標柱。我們剛剛研究過四環的移出用15步。 同樣道理，移4環需要考慮怎樣把前3環移出，移3環需要考慮怎樣把前2環移出。這種思想就叫遞歸。遞歸就是把一個復雜的思想轉換成與之類似的簡單的小問題來解決。5環較為復雜，我們就把它轉換成4環來想，4環就把它轉換成3環來想，這就是遞歸。

（游戲：盲移5環，移后報時。）

三、總結

師：同學們真是了不起，在短短的時間內不僅探究出首環位置的規律，還找到了計算圓環移動次數的方法。數學家愛德華也找到了這個方法，他按這個方法計算下去，10環1023步，20環100多萬步，30環 10 億多步……繼續算下去，移動完64個環要用1800多兆步，移完這個步數大約要用5850億年。5850億年，那是個遙不可及的未來！所以愛德華笑了。通過漢諾塔的學習，我們了解并運用了一些數學思想，比如：化難為易、優化、倒推、轉換、遞歸……這些數學思想能使我們變得更聰明更智慧，少年智則國智！少年強則國強！有了你們的大智慧我們的祖國一定會更加富強！

（作者單位：大慶市八百坰第一小學）

見習編輯∕徐蕊