從“道、法、術、器”談小學數學計算教學

溫與寒

“道、法、術、器”出自老子的《道德經》，是道家所強調的四個層面。所謂“道”即萬物變遷循環中亙古不變的規律，是靈魂，是方向，是指導思想；“法”是規則體系和方法原則，是在探求“道”的過程中經過實踐思考和歸納總結得出的方法規則；“術”是在規則體系指導下的具體操作技術，只要“道、法”不變，“術”可千變萬化；“器”是指有形的物質或有形的工具，也就是我們常說的“工欲善其事，必先利其器”。

仔細思忖，道家思想體系之科學、完善不禁讓人拍案叫絕，萬事發展皆離不開這四個字，小學數學計算教學亦是如此，道生法，法創術，術依法，更需要以器作為載體。筆者將從道、法、術、器四個層面談談對小學數學計算教學的認識。

一、 小學數學計算教學之“道”——道以明向

“道”之于計算教學是解決“為什么這樣算”的問題，也就是我們常說的算理。算理即計算的原理或道理，它有兩層含義：一是運算的依據，也就是每一步運算的道理；二是列式的依據，也就是某一個問題選擇與其相契合的算法，是根據條件與問題的關聯而確定的。其實這都解決了“為什么這樣算”的問題。例如在人教版三年級下冊兩位數乘兩位數的教學中有這樣一道例題：每套書有14本，王老師買了12套，一共買了多少本？根據乘法的含義列出算式14×12，在推導算理的過程中教材上呈現了兩種方法：

在研究算理時，要充分利用點子圖這一直觀手段，在交流中體會“先分后合”的解題思路，使學生的思維軌跡在點子圖上留下痕跡，然后充分對比兩種“分”的方式，優劣自現，第二種“分”的方法恰恰就是乘法豎式計算的基本思路，為下一步創造算法打好基礎。在一系列的教學過程中不僅解決了“為什么這樣算”的問題，而且學生通過點子圖抽象出后續算法，培養了幾何直觀及分析與優化意識，潛移默化中滲透了轉化的數學思想，在明理中順利自然地過渡到算法上，達到水到渠成的效果。除此之外，“為什么要算”也屬于“道”的范疇，大而言之是學生學習數學的目的，小而言之是學生學習的意志品質，這雖然屬于非智力因素，但對數學學習乃至于整個學習觀的建立都尤為重要，只有觸動學生內心真正的需要，學生才能明確學習的目的與價值，懂得“為什么要算”，才會在形式簡單而又枯燥的計算中保有學習的動力。在以往的教學中許多教師強調算法過多，教授技巧過多，而忽略了算理的教學。殊不知學生只有理解了算理，才能“創造”出科學的計算方法，所以計算教學必須由理入手，著重幫助學生利用已有的知識領悟、轉化計算的道理，“循理入法，以理馭法”，最終達到掌握計算方法的目的。算理就是計算教學中的“道”，是計算教學的方向與靈魂，透徹地理解算理就是明確學習的大方向。方向對了，就不會南轅北轍，才能達到事半功倍的效果。

二、小學數學計算教學之“法”——法以固本

“法”之于計算教學就是解決“怎樣算”的問題，也就是我們常說的算法。算法不單指某一種計算類型題具體的計算方法，它還包括四則運算的法則、定律等。算法簡約了算理復雜的思維過程，添加了人為規定的程式化操作步驟，使得整個計算過程更為方便、準確。仍然以兩位數乘兩位數的計算為例，在明確算理的基礎上，抽象出計算的方法，

循著算理的推導過程，將其簡化為外顯的以數為主的表達式，學生在創造算法的過程中可能存在不科學、不簡化的地方，教師這時可以給出正確的書寫格式，并引導學生與算理進行比照，通過一系列觸及核心的問題引發學生思考。比如“每一部分積是怎么得到的？為什么第二部分積要錯位書寫？你能在點子圖上找到豎式計算的過程并說明道理嗎”。只有給學生充分的操作、分析、對比的空間，學生才能在明理的基礎上順利自然地掌握算法，思維才會逐步呈現由形象到抽象的變化，運算能力才會提高。另外也要處理好算法多樣化與優化之間的關系，多樣化是為了鼓勵學生個性化的思考，而必要的優化才是學習提升的關鍵，科學優化的方法較之其他方法有其獨到之處，教師的點撥與引導在這樣的時候才有作用。如果說算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性，算法則為計算提供了準確快捷的操作方法，提升了計算的效率，二者是相輔相成的關系。算法是計算教學中的“法”，是計算的方法與規則，從算理中提煉出正確簡潔的算法是學生必備的能力，方法得當是計算的根本所在，是提高計算準確性與速度的前提。

三、 小學數學計算教學之“術”——術以立策

“術”之于計算教學其實就是指運算的技巧，當然也包含著計算的習慣。這和我們做事情都希望優化流程、優選方法、尋求捷徑是一個道理。計算時，我們也應該指導學生利用技巧優化算法，這不僅是一種較高層次思維的參與，更需要學生將所學的定律、法則、性質融匯貫通，綜合運用所學的計算方法，最終形成計算能力。而運算技巧的培養在小學數學簡便方法計算中最具代表性，簡算教學中教師應做到以下幾點：

首先要善用情境，激活經驗。例如在計算145+98這道題時，可以利用購物的情境來激發學生的經驗，使其思維進行更深層次的參與，買一件上衣145元，一條褲子98元，一共要付多少錢？學生會想到拿出100元來付褲子的錢，找回的2元補充到上衣的價格中共需付出243元。而這一思維過程就是145+98=145+100-2=243，這就是簡算中多加了要減去的技巧，在這一案例中情境作為一種載體引發了學生更深層次的思考，從而幫助學生把算法的優化內化成了一種自覺的行為。

其次要著意對比，凸顯優勢。例如對于減法性質的運用中272-36-64=272-（36+64），兩種方法通過對比呈現，優勢立顯，而教師要有意識地通過對比來使學生心悅誠服地接受利用定律簡算的技巧。另外在簡算的過程中一些常用數據的有效記憶也尤為重要，如25×4=100，125×8=1000這些數據在簡算中作為重要因素常常出現，只有牢牢記住它們才能對于計算題目進行分析，利用運算定律進行相應的轉化，達到簡算的目的。

再次要把握原則，鼓勵創新。在進行簡算時常規的運算順序會發生相應的變化，也會對數據進行拆分或轉化，無論是把數拆分成積、和、差哪一種形式，必須在不改變原數大小的基礎上進行，因為只有這樣才不會影響計算結果。把握住這一原則，可以鼓勵學生進行創造，同樣的算式運用不同的定律，采取不同的手段都能達到簡算的目的。例如125×88的簡算，既可以拆成125×8×11，利用乘法結合律進行簡算，也可以拆成125×（8+80），利用乘法分配律進行簡算。同時教師還應有意識地培養學生的數感，計算之后對計算結果的合理性進行基本的估計與分析，可以及時發現計算中存在的問題，增加計算的準確性。

最后要做到形成意識，思辨提升。其實簡算的學習也是循序漸進的過程，初期學習以形式上的模仿為主，但從長期來看一味地程式化訓練也容易造成學生思維定勢，因此在教學中應進行不同形式的練習，注重辨析與思考，研究典型錯例，強調簡算的合理性與靈活性，幫助學生形成簡算的意識，真正體驗計算策略改變帶來的便捷。

其實所有計算都是有技巧可言的，就像是打仗要有謀劃，做事都有策略，要根據具體情勢，選擇相應的方法，既要循道順法，也要因地制宜，只有這樣學生計算的訓練才能脫離低水平的重復，思維才能得到更深層次的提升。

四、 小學數學計算教學之“器”——器以成事

“器”之于計算教學其實就是具體的練習設計。練習作為課堂教學的延伸，是完成教學目標的重要環節，是課堂反饋的重要手段，練習設計的科學性、創造性、嚴謹性關系到課堂教學質量的有效提升。盲目地以題量堆砌練習設計，會造成單調重復，雜亂無章，缺乏層次與整合，所以練習設計必須巧妙串連以形成知識網絡，直指問題，有趣精當。在練習設計中教師應做到以下幾點：

1. 由單一強化到綜合提升的層次性。

所謂單一強化即針對教學的重、難點或某一易錯點進行專項練習。例如教學三年級上冊萬以內加減法單元中加減法估算時，學生對于估算的思維方式、書寫格式都存在困難，這時就需要進行專項的強化練習，經歷反復的感知、理解、實踐、強化，才能最終形成估算的技能。在單一強化的基礎上適時地綜合提升。綜合練習的目的是更深刻地理解和掌握知識之間的本質聯系與規律，更透徹地看待知識，從根本上提升分析解決問題的能力。五年級上冊多邊形單元中，學習完平行四邊形、三角形、梯形及組合圖形面積之后，教師應針對這部分知識進行綜合性練習，由面積公式推導的演變發展體會轉化的數學思想，建立各個圖形之間的聯系，通過諸如“三角形和平行四邊形面積相等，高也相等，平行四邊形的底為5厘米，則三角形的底為（ ）厘米”這樣的綜合練習，提升學生對圖形之間關系的認知，從而達到靈活應對問題的效果。

2. 由順向思維到逆向思維的全面性。

順向思維思考的方向是由因導果，遵循單一的模式，直接運用概念、性質、法則和公式進行思考，這是我們平時練習中最常態的鞏固方式。而“逆向思維”常常要運用概念、性質、法則和公式逆向推導，它的思考方向是由果索因，體現一種創造性的求異思維。在練習設計中，既要加強順向思維的訓練也要關注逆向思維的培養，例如在教學長方形與正方形周長之后，除了設計一些給出長、寬求周長的題目，夯實周長公式之外，也要設計給出周長與長，求寬的題目。從公式的逆向角度去分析，以便學生更深入理解周長，更靈活地應用。兩種思維方式交迭融合，學生才能全方位掌握知識。

3. 由階段整理到對比辨析的指向性。

小學階段計算教學的編排特點是分類呈現、螺旋上升，所以在教材中一個單元或一個計算類型結束后要及時進行階段性整理與復習，通過例題的回顧展現計算的不同類型，抓住逐步深入的題目里內在的聯系。例如五年級上冊學完小數除法單元之后，對于不同類型的小數除法進行整理，學生會發現無論是被除數、除數還是商是小數的情況都叫小數除法，而我們在計算時就是采用轉化的方式把除數變成整數，而被除數擴大的倍數根據除數的具體情況而定，可以拿出這樣幾道題目進行對比，如7.65÷0.85、0.84÷3.5、25.6÷0.032，學生通過計算會發現，除數轉化成整數之后，被除數無論成為整數、小數，都要根據整數除法的法則進行計算。這樣的階段整理、對比辨析有助于學生有指向性地掌握計算法則，從而有效地減少錯誤的發生。

4. 由典型錯例到時間管理的獨特性。

小學計算教學是數學學習的基礎，這些看似簡單的題目，學生產生錯誤的原因卻不盡相同，也絕不是一句“馬虎，下次注意”就可以改正過來的。作為教師要幫助學生養成糾錯的習慣，不要忙著去改正，而是要先看看自己是怎么錯的，把錯誤的原因進行歸類，建立錯題集，同時也要及時對典型錯例進行講評，規避類似錯誤。另外，學生計算時教師應有意識地記錄時間，隨著學習的熟練不斷縮短規定時間，幫助學生養成積極的思維習慣，對時間進行有效的管理以提升學生計算的準確性和速率。

5. 由梯度練習到啟迪思維的創造性。

計算教學一直是枯燥單調的代名詞，筆者卻認為不能單純依靠機械重復與題量的堆砌來追求計算的正確率，而應該通過習題的巧妙設計讓學生在靜靜地練習計算技巧的背后展現豐富熱烈的數學思考。教師可以通過解決生活實際問題來激發學生的計算欲望；通過多元化的評比活動調動學生計算的積極性；通過設計梯度和深度的練習引發學生多角度的思考，把計算課上出挑戰性和趣味性。同時要有意識地設計一些開放性題目，滿足學有余力學生的需求。

練習設計精當與否，體現了教師對于所教計算知識及學生情況的整體把握，作為計算教學中最實在的部分，它的重要性不言而喻，但我們應當明確的是成事之“器”必須以“道”為根本，講究得當之“法”，采用最好的“術”來共同達到提升學生計算能力的目的。

綜上所述，千年沿襲的處事哲學中蘊含著一脈相承的教學智慧，“道、法、術、器”四者各為基石，彼此交融，相輔相成，缺一則不能成為體系，計算教學中只有堅持做到道明、法當、術巧、器精，四者并舉，遵循規律才能教有所成，學有所得。

（作者單位：哈爾濱市南崗區教師進修學校）

編輯/魏繼軍