帶吊掛負載的四旋翼無人機滾動納什控制

郭民環， 蘇巖， 朱欣華

(南京理工大學機械工程學院, 南京 210094)

四旋翼無人機(UAVs)因為結構簡單、起降方便等諸多優點，目前已經在非常多的領域內得到廣泛應用，如物流配送、無線通信、農業植保和災害監測等[1-3]。在這些應用中，常常需要使用一個或多個四旋翼無人機來提取和搬運負載。與將負載直接固定在機身上相比，采用吊掛的方式既不會改變無人機自身的動力學屬性，同時對負載也沒有嚴格的外形尺寸限制[4]。但是，吊掛的飛行方式會增加模型的復雜程度，使得系統的欠驅動特性更加明顯，再加上不可避免的外界干擾，這些都使得該問題具有很大的挑戰，也引起了許多研究人員的關注。

賓夕法尼亞大學的Kumar等[4-6]借助微分平坦理論、幾何控制方法和混合整數優化等工具，在微分平坦空間內來解決無人機吊掛系統的路徑生成和跟蹤控制問題。蘇黎世聯邦理工學院(ETH)的研究人員[7]采用迭代線性二次型控制器(iLQR)，使得該系統能夠在狀態空間內，通過不斷迭代學習的方式實現復雜約束條件下的最優控制。近年來，也有國內的研究人員將各種不同的控制方法應用在該系統中。鮮斌等[8]對此系統設計了基于能量分析的非線性控制器，并與LQR控制器進行了對比。李偉榮等[9]針對帶懸掛負載的八旋翼無人機設計了一個PID串級控制器，并通過實驗實現了穩定飛行。Yi等[10]設計了一個滑模控制器，以提高系統的魯棒性和跟蹤性能。Guo等[11]設計了一個帶有約束的H2/H∞混合控制器，實現系統暫態性能與魯棒性能的綜合。

上述研究都是針對只有一個無人機的情況，當負載較重時，就有必要使用多個無人機，因此，本文將研究有2個無人機的吊掛飛行系統。文獻[12-13]將單個的情況推廣到了多個無人機，并針對吊掛載荷為質點和剛體這2種情況，分別設計幾何控制器，再根據微分平坦理論進行參考軌跡設計和路徑跟蹤。

現有的應用大多都將該問題考慮為只有一個目標函數的控制系統。但是在實際應用中，因為性能配置的差異或者所處空間位置的不同，2個無人機可能有著不一樣的控制需求。比如，第1架無人機只需要負責跟蹤參考軌跡，第2架無人機則主要負責保持隊形并穩定吊掛負載。在這種情況下，如果只設計一個目標函數，或者是簡單的性能加權而不考慮兩者之間互動的影響，可能無法充分發揮系統的潛力。

博弈論就是這樣一個有助于理解不同決策主體相互作用的工具[14]。一般說來，博弈有2類模型：非合作型和合作型。其中，前者是以單個參與人的可能行動為基本元素，而后者以參與人群的可能聯合行動集合為基本元素。目前，博弈論已經廣泛應用于多智能體領域。文獻[15]將多個無人小車的編隊運動看成是一個非合作的博弈問題，并在圖論的基礎上為不同的無人車設計目標函數，用微分博弈方法來求解。類似的，文獻[16]研究了有1個領導者和N個跟隨者的多智能體系統，領導者負責跟蹤目標，跟隨者負責保持隊形。

本文首先建立受控系統的動力學模型并線性化，然后將2個無人機看成是具有不同目標函數的決策主體，并在非合作二人博弈的框架下進行控制器設計，最后通過數值仿真進行驗證。

1 動力學模型

類似文獻[8]，為了簡化分析，本文做如下合理假設：

1) 四旋翼無人機是幾何中心與質心重合的剛體。

2) 吊掛負載認為是質點，通過2根質量不計的無彈性繩子吊掛在無人機的質心處。

3) 2根繩子的張力始終大于0，所有的空氣阻力都忽略不計。

1.1 考慮外界擾動的非線性模型

αi,βi為2根繩子在{S}內的角度，因為吊掛負載始終在2個無人機之間，因此有0°<βi<90°，定義從吊掛負載到無人機的單位方向向量為

ρi=[cosβicosαi,cosβisinαi,sinβi]T

無人機的控制輸入為各自作用在{Bi}內的力FQi和力矩MQi分別為

圖1 帶吊掛負載的2個四旋翼無人機Fig.1 Two quadrotor UAVs carrying cable-suspended payload

(1)

根據幾何關系，給定無人機1的位置后，可以依次確定吊掛負載和無人機2的位置：

(2)

根據D’Alembert原理，與廣義坐標相對應的廣義力為

(3)

因此，系統的動能和勢能分別表示為

(4)

式中：mP、mQ1和mQ2分別為吊掛負載、無人機1和無人機2的質量；IQ1和IQ2分別為無人機1和無人機2的轉動慣量;g為重力加速度矢量。

Euler-Lagrange方程為

(5)

將式(3)和式(4)代入式(5)，可得

(6)

(7)

1.2 平衡點分析和參數化線性模型

為了進行線性控制器設計，需要分析系統(無干擾項)的平衡點并建立對應的線性模型。

圖2為該系統的俯視圖。當系統處于非平衡狀態時，吊掛負載為P′；而當系統處于平衡狀態時，無人機(Q1,Q2)和吊掛負載(P)將處于同一垂直平面內。同時，為了控制兩無人機之間的相對位置關系保持不變，默認系統平衡時β1=β2=45°，定義αF為無人機隊形方向角。

給定系統的平衡點(xeq,ueq)之后，利用Taylor級數展開公式，可以得到依賴于隊形方向角形αF的參數化線性模型為

圖2 帶吊掛負載的四旋翼無人機(俯視)Fig.2 Quadrotor UAVs carrying a cable-suspended payload (Top)

(8)

為了充分考慮不同無人機的性能差異，并能夠在非合作博弈的框架下討論，式(8)中的控制輸入項可以拆成式(9)的形式：

(9)

2 有限時間開環納什博弈

2.1 納什博弈模型

在數字控制系統中，若控制器的工作頻率為fs,則動力學微分方程式(9)(不表示干擾輸入項)可以改寫成如式(10)差分形式：

x[k+1]=A[k]x[k]+

B1[k]u1[k]+B2[k]u2[k]

(10)

根據文獻[17]，可以將式(10)看成是有2個參與者的非合作動態博弈模型。根據參與者掌握的信息情況，該模型可以有不同的類型，比如斯塔伯格模型和納什模型。本文采用納什模型，即假定每個參與者同時知道自己和對方的目標函數。換言之，每個決策主體都希望從其可能的控制策略ui中，找出一個使其目標函數Γi最小的策略。很顯然，當各決策主體的目標函數相同時，該問題就是一般的最優控制問題，而當目標函數不同時，則無法利用一般的最優控制來求解，此時，需要求出系統的納什均衡。

所謂二人博弈的納什均衡策略[18-19]是每個參與者對其他參與者的最優反應策略的集合，并且任一參與者單方面改變決策之后必然導致其目標函數變差，即

(11)

為了求出上述納什均衡策略，需要事先確定參與者對過去狀態信息的掌握情況。一般說來，在求解動態博弈模型第k步的控制策略時，存在如下3種情況[17]：

1) 完全信息結構：參與者知道系統過去的所有狀態信息。

2) 反饋信息結構：參與者僅知道系統初始狀態x[0]和當前狀態x[j]。

3) 開環信息結構：參與者僅知道系統初始狀態x[0]。

與完全信息結構相比，開環信息結構不需要存儲過去所有的狀態信息；與反饋信息結構相比，其問題的復雜程度較低[15]。因此，本文采用開環信息結構來求解納什均衡，并進一步將其與滾動優化相結合使其仍然具有狀態反饋的形式。

2.2 線性二次型開環納什均衡解

考慮一個如式(10)的動態系統，其初始狀態為x[0]，2個決策主體的控制序列分別為u1[k]和u2[k]，(0≤k≤N-1)，當該控制序列作用于系統之后，可以為每個決策主體設計一個線性二次型目標函數：

(12)

(13)

給定任意初始值x[0]，開環納什均衡解:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

式中：P1[N]=S1；P2[N]=S2。

ψ[k+1]=(A[k]-B1[k]Hu1[k]-

B2[k]Hu2[k])ψ[k]

(19)

式中：ψ[0]=I。

3 控制器設計

3.1 滾動納什控制器結構

為了將開環信息結構的納什均衡解應用于動態系統中，本文借鑒模型預測控制中的滾動優化方法，設計一種狀態反饋滾動納什控制器。

3.2 算法流程

若納什控制器的滾動優化時長為TN，那么該控制器解的序列總長度為N=TNfs。類似的，若仿真總時長為TM，則仿真序列的總長度為M=TMfs。

因此，滾動納什控制的算法流程如下：

仿真過程0≤k≤M，滾動周期0≤i≤N。

1) 讀取當前時刻狀態信息x[k]。

4) 令k←k+1，重復步驟1)，直至k=M。

4 數值仿真

本節設計2個仿真實例來驗證滾動納什控制器的效果：第1個實例是無人機在有外部干擾的情況下控制系統保持平衡；第2個實例是在有外部擾動的情況下，無人機1跟蹤參考軌跡，無人機2保持隊形和穩定吊掛負載，并將該控制器與LQR進行了對比。這2個仿真實例的3D動畫視頻可參見相關鏈接(https:∥youtu.be/-0Nkp26EPGs)。

4.1 仿真設置

無人機吊掛系統的部分物理參數設定如下：

mQ1=mQ2=0.55 kg,mP=0.2 kg,Lr=1.0 m,

IQ1=IQ2=diag([0.002 3,0.002 8,0.004 6]) kg·m2。

為方便起見，本文不考慮隊形變化的情況，即αF始終等于0°，因此可得系統平衡時的非零狀態如下：α1=0°,β1=45°,θ1=8.74°,α2=180°,β2=45°,θ2=-8.74°,Fz1=Fz2=6.44 N。

目標函數中的權值矩陣類似于LQR控制器，需要根據各無人機控制目的進行設計。本文設定無人機1的任務主要是跟蹤參考軌跡，而無人機2的任務主要是保持隊形同時穩定吊掛負載。同時設定式(12)和式(13)中的相關權值矩陣均時不變，具體如下：

Q1= diag([200,16.66,200,16.66,1 000,20,

1.63,5.72,1.63,5.72,1.63,5.72,2.86,

1.43,2.86,1.43,2.86,1.43,2.86,1.43,

0.88,5.72,0.88,5.72,57.29,5.72])∈R26×26

R11=ρw1diag([20,100,100,100]) ∈R4×4

Q2= diag([0.01,0.002,0.01,0.002,0.01,

0.002, 1.14,0.57,1.14,0.57,1.14,0.57,

114.59,5.72,286.47, 1.43,114.59,5.72,

286.47,1.43,57.29,28.64,57.29, 28.64,

57.29,28.64]) ∈R26×26

R22=ρw2diag([1,1,1,1])∈R4×4

其中：S1=Q1；S2=Q2；ρw1和ρw2用來調節狀態/控制平衡。

本文仿真中，控制器的控制頻率fs=50 Hz，納什控制器的滾動優化時長TN=2 s，即N=100。

4.2 懸停抗干擾(情形1)

當2個四旋翼無人機與吊掛負載處于懸停平衡狀態時，考慮外部有一個沿著y方向的干擾如圖3所示，該干擾由方波和白噪聲疊加構成，沿著y方向作用在吊掛負載上。仿真時長TM=8 s，即M=400。

應用滾動納什控制器后，2個無人機會沿著y方向來回移動以穩定吊掛負載。無人機和吊掛負載的平面運動軌跡如圖4所示，各自y方向的位置誤差如圖5所示。

由圖4和圖5可知，吊掛負載受到y軸方向的外部干擾后偏離平衡位置。因為無人機1的主要任務是穩定自身的位置，因此仍然保持較小的位置誤差。而無人機2的任務是保持隊形和穩定吊掛負載，因此它會沿著y軸方向快速移動來使系統盡快恢復平衡。

圖3 作用在吊掛負載上的外部干擾Fig.3 Exogenous disturbances acting on cable-suspended payload

圖4 外部干擾下的運動軌跡(俯視)Fig.4 Motion trajectories with exogenous disturbances (Top)

圖5 外部干擾下的y方向位置Fig.5 Position errors in y direction with exogenous disturbances

4.3 路徑跟蹤(情形2)

第2個仿真實例中，系統仍然存在一個外部擾動作用在吊掛負載上(仿真時間為30 s)，但是此時無人機1的任務為跟蹤一個“★”形參考軌跡，而無人機2負責跟蹤無人機1以保持隊形和穩定吊掛負載。仿真時長TM=30 s，即M=1 500。

在跟蹤參考軌跡的過程中，當吊掛負載受到外部干擾時，其產生的搖擺運動必然會對無人機的性能產生負面影響。應用LQR控制器和滾動納什控制器后，2個四旋翼無人機和吊掛負載的平面運動軌跡分別如圖6所示。

由圖6可知，因為LQR控制器只是簡單地將各目標函數相加，而未考慮無人機之間的互相影響，因此其效果比應用納什控制器要差一些。而對于納什控制器，通過合理地設置目標函數J1和J2之后，無人機1仍然能夠較好地跟蹤參考軌跡，與此同時，無人機2則能夠通過不斷調整自身位置的方式，一方面讓吊掛負載可以從外部干擾的作用下重新恢復平衡，另一方面還能夠跟蹤無人機1并盡可能保持隊形。

圖6 跟蹤參考軌跡(俯視)Fig.6 Tracking a given trajectory (Top)

5 結 論

1) 本文在非合作博弈的框架下對有2個四旋翼無人機的吊掛飛行系統進行研究，設計了一個基于狀態反饋的滾動納什控制器。

2) 該方法允許用戶通過調節無人機的目標函數來設定不同的任務，比如，用戶可以讓一架無人機主要負責路徑跟蹤，另一架則負責保持隊形和穩定吊掛負載。

3) 與只有一個目標函數的控制器相比，這種分布式的方法充分考慮無人機的差異性，因而使得系統有了更大的調節空間。

4) 本文主要針對線性時不變模型進行了仿真驗證，在后續的工作中，將進一步應用于線性時變模型以及更多無人機的情況。