MEMS陀螺陣列的RCC-OBE估計融合方法

沈強， 劉潔瑜,*， 趙乾， 王琪

(1. 火箭軍工程大學導彈工程學院， 西安 710025； 2. 火箭軍士官學校測試控制系， 青州 262500)

微機電系統(tǒng)(MEMS)陀螺由于具有體積小、質(zhì)量輕、功耗低、易于集成等優(yōu)勢，在汽車、電子、醫(yī)療設備等領域都得到了廣泛的應用。但是，其精度低，噪聲大，難以滿足如航空航天和高精度武器制導[1-2]等高精度應用的需求，且國內(nèi)的技術水平相對滯后。

為充分發(fā)揮MEMS陀螺的優(yōu)勢，進一步擴展其應用領域，如何在當前的工藝和技術水平條件下提高MEMS陀螺使用精度一直是研究的重要方向[3]。MEMS陀螺具有體積小、成本低、易于集成的特點，隨著多傳感器融合技術的蓬勃發(fā)展，陀螺陣列技術逐漸受到了人們的重視。該技術首次由Bayard 和Ploen 提出[4]，他們同時使用多個MEMS陀螺測量同一速率信號，然后利用信息融合技術得到載體速率的最優(yōu)估計值。由于其最終的輸出信號與單個真實陀螺的實際信號不同，所以在這種技術也被稱為“虛擬陀螺”技術。陀螺陣列技術是MEMS陀螺的精度得到了有效的提高，且具有良好的可操作性，所以近來成為了慣性技術的一個研究熱點。國內(nèi)外很多科研機構都對這項技術進行了相關研究，并進行了試驗驗證[5-10]。

陀螺陣列技術的核心是多傳感器融合估計方法。上述研究中采用的多是Kalman濾波及其擴展算法，這類方法在一定程度上提高了MEMS陀螺的輸出精度。但是這種基于隨機噪聲假設的估計方法要求噪聲的統(tǒng)計特性已知，噪聲和未建模誤差的概率化模型信息的缺失會影響其估計精度。而在MEMS陀螺的實際應用中，由于動態(tài)條件、溫度等因素的影響，噪聲的統(tǒng)計特性會產(chǎn)生一定的不確定性，甚至噪聲本身可能包含部分難以用統(tǒng)計方法描述的非白噪聲，這必然會影響Kalman濾波器的效果，甚至會造成濾波發(fā)散。與Kalman濾波不同的是，集員估計理論只要求噪聲有界且已知，而無需知道噪聲的分布以及均值和方差等統(tǒng)計特性[11-12]。這在實際應用中是容易實現(xiàn)的，而超出界限的往往被視作壞值剔除或作為故障診斷的依據(jù)。因此，本文研究了集員估計在MEMS陀螺陣列信號中的應用。

集員估計所得結果是一個包含狀態(tài)真實值的可行集，而可行集形狀往往十分復雜，難以確定，所以一般采用包含可行集的近似可行集來描述，其中最常用的是橢球集合，這種方法被稱作最優(yōu)定界橢球(OBE)算法[13-15]，也是本文的主要研究內(nèi)容。OBE算法通常將橢球中心作為真實值的點估計。實際上橢球中心并沒有理論上的最優(yōu)特性，而Chebyshev中心是使可行集worst-case誤差最優(yōu)的點[16]，更適合作為真實值的點估計。但可行集的Cheyshev中心很難確定，所以本文采用松弛Chebyshev中心(RCC)作為真實值的角速率估計值。以此為基礎，設計了新的參數(shù)優(yōu)化準則，提出了基于RCC的OBE(RCC-OBE)算法，并將該算法用于陀螺陣列數(shù)據(jù)的融合，得到了MEMS陀螺陣列的RCC-OBE估計融合方法。

1 MEMS陀螺數(shù)學模型

陀螺的誤差主要由確定性誤差和隨機誤差構成，確定性誤差可通過標定補償，這里僅考慮隨機誤差，隨機誤差主要包括零偏不穩(wěn)定性、角度隨機游走(ARW)和角速率隨機游走(RRW)，因而對角速率ω的帶噪聲測量通常采用下面的模型[7]：

y=ω+b+n

(1)

(2)

式中:y為陀螺輸出;n為角度隨機游走;b為受噪聲w驅(qū)動的角速率隨機游走。但具體模型還要由陀螺真實誤差特性來決定。

2 MEMS陀螺陣列模型

采用式(1)描述的隨機誤差模型來建立陀螺陣列的系統(tǒng)模型。靜態(tài)條件下，陀螺的真實角速率ω理論上等于0，但實際上由于外界環(huán)境的影響，陀螺的輸入角速率不可能絕對等于0，而是表現(xiàn)為由噪聲nω驅(qū)動的隨機游走。選取6個陀螺組成陣列，則陣列系統(tǒng)的離散方程通常可以表示為[7]

(3)

式中:xk=[b1(k),b2(k),…,b6(k),ω(k)]為狀態(tài)向量，b1(k)～b6(k)為各陀螺的角速率隨機游走，ω(k)為真實角速率；zk=[z1(k),z2(k),…,z6(k)]T為量測向量，z1(k)～z6(k)為各陀螺的輸出值；狀態(tài)轉移矩陣Φk-1=I7，I7為7維單位矩陣；量測矩陣Γk-1=TI7，T為陀螺采樣周期；量測矩陣Hk=[I6?16×1]，16×1為所有元素均為1的6×1矩陣；過程噪聲向量wk-1=[w1(k-1),w2(k-1),…,w6(k-1),nω(k-1)]T，w1(k-1)～w6(k-1)為各陀螺角速率隨機游走的驅(qū)動噪聲，nω(k-1)為真實角速率的驅(qū)動噪聲；量測噪聲向量vk-1=[v1(k-1),v2(k-1),…,v6(k-1)]T，v1(k-1)～v6(k-1)為各陀螺的輸出噪聲。

但是，在實際應用中，陀螺通常工作在動態(tài)條件下。此時，真實角速率跟被測對象的動態(tài)特性相關，而上述隨機游走過程難以充分跟蹤對象的動態(tài)特性。為提高陀螺陣列的動態(tài)性能，對角速率進行如下的建模：

(4)

式中：a(k)為角加速度;j(k-1)為角加加速度，可以看作分布未知的噪聲。則狀態(tài)變量、過程噪聲和陣列離散方程中的相關矩陣修改如下：

xk=[b1(k),b2(k),…,b6(k),ω(k),a(k)]

Hk=[I6?16×1?06×1]

wk-1=[w1(k-1),w2(k-1),…,w6(k-1),

nω(k-1)，j(k-1)]T

而量測變量和量測噪聲保持不變。

另外，wk-1和vk分別為過程噪聲和量測噪聲。為滿足Kalman濾波及其衍生算法的條件，它們通常被假設為高斯噪聲。但是，這種條件有時難以滿足。本文將其假設為一種更為廣泛而且容易滿足的情況，分布未知但有界(UBB)，并假設其屬于如下橢球：

(5)

(6)

式中：Qk、Rk為已知的正定矩陣。

相應的，初始狀態(tài)假設屬于如下橢球：

(7)

3 RCC-OBE算法

RCC-OBE算法是在OBE算法的基礎上改進而來，以UBB假設為前提，同樣由時間更新和量測更新2個過程組成。

3.1 時間更新

(8)

一般情況下，2個橢球的Minkowski和是凸的但形狀復雜，難以精確確定。為簡化計算，實現(xiàn)算法的遞推，本節(jié)將通過計算外包橢球來逼近狀態(tài)預測集

(9)

具體過程如下：

(10)

(11)

式中：參數(shù)pk可通過最小化橢球的跡得到

(12)

3.2 量測更新

(13)

式中：量測橢球可描述為

(14)

同樣的，筆者通過計算外包橢球來逼近這個交集：

(15)

橢球中心和形狀矩陣可按式(16)和式(17)計算：

(16)

Pk=βk[(I-LkHk)Pk|k-1(I-LkHk)T+

(17)

式中：qk為用來優(yōu)化橢球的參數(shù)。

(18)

(19)

(20)

假設x位于l個橢球的交集Q中

Q={x:fi(x)

(21)

(22)

不過，求解一個凸集的Chebyshev中心極其困難，因為式(22)中內(nèi)部的極大化過程是一個非凸二次優(yōu)化問題。為此，將式(22)內(nèi)部的非凸最大化過程用其半定松弛(SDR)代替，并解決由此導致的凸凹極大極小問題，從而得到RCC。

式(22)中的極大化過程可以描述為

(23)

令Δ=xxT，則式(23)等價于

(24)

式中：

G={(Δ,x):fi(Δ,x)≤0，0≤i≤l,Δ=xxT}

(25)

并定義

(26)

式(24)描述的目標函數(shù)對于(Δ,x)是凹的，但集合是非凸的。為實現(xiàn)式(24)的松弛，采用如下的凸集T來代替集合G，T的定義為

T={(Δ,x):fi(Δ,x)≤0，0≤i≤l,Δ≥xxT}

(27)

式中：Δ≥xxT表示Δ-xxT半正定。

所以RCC可以通過求解式(28)的極大極小問題解決

(28)

(29)

(30)

這是一個帶有線性矩陣不等式約束和凹目標的凸優(yōu)化問題，式(30)的解即為可行集的RCC。另外，由于Q?T，所以RCC本質(zhì)上是式(22)中極大極小問題最優(yōu)解的上界。

(31)

經(jīng)過式(27)～式(30)的松弛和轉化過程，最終狀態(tài)可行集的RCC可通過如下過程求得：

(32)

(33)

則k時刻狀態(tài)可行集的RCC為

α2,kb2,k)

(34)

式中：參數(shù)(α1,k,α2,k) 可通過求解半定規(guī)劃(SDP)問題得到：

(35)

對于量測更新中參數(shù)的優(yōu)化,通常從外包橢球的大小考慮，通過最小容積或最小跡準則來選擇最優(yōu)參數(shù)。這有利于在更新中減小狀態(tài)估計值的不確定范圍，但并不能顯著減小點估計的估計誤差。為進一步提高本方法實際應用中的估計精度，本文提出了一種新的優(yōu)化準則：

(36)

那么，RCC-OBE算法的具體步驟可以總結如下：

步驟4令k=k+1，并回到步驟 2。

4 試驗與分析

本文試驗采用六陀螺方案，將6個ADXRS300微機械振動陀螺焊接在同一電路板上，并對周圍電路進行了設計。通過PXI4070 DMM板卡和PXI6502繼電器板卡建立高精度測量系統(tǒng)，對同一軸向進行角速度測量。陀螺陣列系統(tǒng)如圖1所示。

試驗中所用陀螺設定的帶寬為40 Hz，為滿足奈奎斯特定律，以200 Hz的頻率進行陀螺輸出數(shù)據(jù)的測量。試驗過程中將陀螺陣列置于安裝在隔離地基上的溫控轉臺上，轉臺精度完全能夠滿足MEMS陀螺測試的要求。

為驗證陀螺陣列和融合方法的性能，進行了陀螺陣列的搖擺試驗。將陀螺陣列上電預熱10min，然后設置轉臺參數(shù)使其做幅度為10°，周期為2 s的搖擺運動，所以陀螺的輸入速率為ω=10π·sin(πt)(°)/s。然后按照以上要求采集10 s的陀螺陣列數(shù)據(jù)，單個陀螺(以陀螺5為例)的輸出及輸出誤差如圖2所示。

圖1 陀螺陣列系統(tǒng)Fig.1 System of gyro array

得到陀螺陣列的輸出數(shù)據(jù)之后，采用第2節(jié)所述的方法對陀螺陣列進行建模，在此基礎上，利用第3節(jié)推導的RCC-OBE算法對陣列數(shù)據(jù)進行融合。同時，采用了Kalman濾波和OBE算法作為對比融合方法。融合輸出及輸出誤差見圖3。

為了定量分析幾種方法的性能，選擇均方根誤差(RMSE)和信噪比(SNR)2項指標來衡量其去噪效果。由均方根誤差和信噪比的定義可知，同一信號去噪處理后，均方根誤差越小，信噪比越大則去噪效果越好。

同時，為檢驗算法的有效性，筆者進行了多次試驗，不同搖擺幅度(A)和周期(T)下的處理結果見表1～表3。

從圖2、圖3和表1～表3可以看出，試驗中的3種方法均有效提高了MEMS陀螺的精度，這首先驗證了陀螺陣列技術的有效性。

從計算結果來看，無論是信噪比還是均方根誤差，RCC-OBE算法融合的效果都優(yōu)于其他2種方法，特別是與同類型的OBE算法相比優(yōu)勢比較明顯。另外，Kalman濾波等傳統(tǒng)的融合方法只能得到一個估計值，而本文所提出的算法不僅可以實現(xiàn)高精度的點估計，同時能夠得到估計的上邊界值和下邊界值，如圖4所示，圖中虛線和點劃線指的是算法估計邊界。可以看到，當設定的噪聲邊界值不小于實際噪聲邊界時，陀螺輸出的角速率的估計值也在一個硬邊界內(nèi)，這對于載體的姿態(tài)控制和制導都具有重要的意義。

圖2 單個陀螺的輸出及輸出誤差Fig.2 Output and output error of single gyro

圖3 陀螺陣列的融合輸出及輸出誤差Fig.3 Fusion output and output error of gyro array

指 標單個陀螺Kalman濾波OBERCC-OBESNR/dB31.903442.008740.953443.6904RMSE/((°)·s-1)0.56420.17630.19910.1453

表2 A=10°，T=4 s 條件下處理結果

表3 A=20°，T=2 s 條件下處理結果

圖4 算法的邊界估計結果Fig.4 Estimated bounds by different algorithms

同時，需要指出的是，在邊界估計方面，RCC-OBE與OBE相比并無優(yōu)勢，這是由它們的優(yōu)化準則決定的。RCC-OBE的主要特點是在保證邊界估計的基礎上提高點估計性能。

5 結 論

為降低MEMS陀螺的輸出噪聲，本文提出了一種基于RCC-OBE算法的陀螺陣列信號融合方法：

1) 在對陀螺陣列系統(tǒng)進行靜態(tài)和動態(tài)建模的基礎上，引入橢球定界算法對陀螺陣列信號進行融合。

2) 以OBE算法為代表的集員估計方法的優(yōu)勢是可以得到包含真實值的狀態(tài)可行集，從而實現(xiàn)狀態(tài)的保證邊界估計，但是試驗表明其在點估計方面表現(xiàn)偏弱。因此本文利用松弛的Chebyshev中心來改善估計精度，提出RCC-OBE算法，在保持集員估計優(yōu)勢，得到保證邊界的基礎上，進一步提高了點估計方面的性能。

3) 將6個MEMS陀螺芯片焊接在同一PCB板上，并設計了周圍電路和測量系統(tǒng)進行陀螺陣列的融合試驗，試驗結果表明，該建模方法和融合方法能夠有效地提高MEMS陀螺的使用精度。

另外，集員估計方法的特點決定了其具有檢測傳感器故障的能力，這一點筆者將在下一步的工作中深入研究。