一類具有p-Laplace算子的非線性分數階微分方程解的存在性與多解性

李繼梅, 李輝來

(吉林大學 數學學院, 長春 130012)

1 引言與預備知識

分數階微分方程在經濟學、 物理、 化學和工程等領域應用廣泛[1-4]. 目前, 利用一些不動點定理(如Schauder不動點定理、 Guo-Krasnosel’skii不動點定理、 Leggett-Williams不動點定理)和上下解的方法, 研究非線性分數階微分方程邊值問題正解的存在性與多解性已有很多結果[5-12].

本文考慮如下非線性分數階微分方程:

(1)

定義1[3]連續函數y: (0,+∞)→的α>0階Riemann-Liouville分數階積分定義為

其中等式右端在(0,+∞)內有定義.

定義2[3]連續函數y: (0,+∞)→的α>0階Caputo分數階導數定義為

其中n是大于或等于α的最小整數.

引理1[3]設α>0, 假設μ∈Cn[0,1], 則

其中n是大于或等于α的最小整數.

引理2[11]設y∈C[0,1], 2<α≤3, 則分數階微分方程邊值問題:

有唯一解

其中

(2)

引理3設y∈C[0,1], 2<α≤3, 1<β≤2, 則分數階微分方程邊值問題:

有唯一解

(5)

其中:G(t,s)由式(2)定義;

(6)

則

由邊值條件(4), 得

因此,

從而

于是, 分數階微分方程邊值問題(3)-(4)等價于下列問題:

由引理2可知, 分數階微分方程邊值問題(3)-(4)有唯一解式(5). 證畢.

引理4由式(2),(6)所定義的函數G(t,s),H(t,s)滿足如下性質:

1) 對任意的t,s∈[0,1],G(t,s)≥0,H(t,s)≥0;

2) 對任意的t,s∈[0,1],G(t,s)≤G(1,s),H(t,s)≤H(s,s);

3) 對任意的t,s∈(0,1),G(t,s)≥tα-1G(1,s);

4) 存在兩個正函數δ1,δ2∈C[0,1], 滿足

證明: 由文獻[11]中引理2.10可知G(t,s)滿足性質1)～3).

下面證明函數G(t,s)的性質4)和函數H(t,s)的性質. 由簡單計算可知, 函數G(t,s)當s≤t時關于t是遞增的, 當t≤s時關于t也是遞增的. 于是, 令

則有

其中:

由函數G(t,s)的單調性, 有

于是, 設

則式(7)成立.

由H(t,s)的表達式可知, 對任意的t,s∈[0,1],H(t,s)≥0成立. 當s≤t時,H(t,s)關于t是遞減的, 因此

從而式(8)成立. 證畢.

定義3[5]若θ:P→[0,∞)是連續的, 且對任意的x,y∈P, 0

1) ‖Ax‖≤‖x‖,x∈P∩?Ω1, 且‖Ax‖≥‖x‖,x∈P∩?Ω2;

2) ‖Ax‖≥‖x‖,x∈P∩?Ω1, 且‖Ax‖≤‖x‖,x∈P∩?Ω2.

P(θ,b,d)={x∈P|b≤θ(x), ‖x‖≤d}.

1) 當x∈P(θ,b,d)時, 集合{x∈P(θ,b,d)|θ(x)>b}非空且θ(Ax)>b;

2) 當‖x‖≤a時, ‖Ax‖

3) 當x∈P(θ,b,c)且‖Ax‖>d時, 有θ(Ax)>b.

則A至少有3個不動點x1,x2,x3, 滿足:

‖x1‖

注1[5]如果d=c, 則由引理6中條件1)可推出條件3), 即只需證明條件1),2)即可得到算子A至少有3個不動點x1,x2,x3.

2 存在性和多解性

引理7A:P→P是全連續算子.

證明: 首先, 對μ∈P, 由函數G(t,s),H(t,s)和f(t,μ(t))的連續性和非負性, 可知A:P→P是連續的.

因此A(Ω)是一致有界的.

另一方面, 由于G(t,s)在[0,1]×[0,1]上是一致連續的, 因此對固定的s∈[0,1]及任意的ε>0, 存在δ>0, 使得當t1,t2∈[0,1], |t2-t1|<δ時, 有

于是

即A(Ω)是等度連續的. 由Arzel-Ascoli定理可知,A:P→P是全連續的. 證畢.

記

定理1假設f(t,μ)為C[0,1]×[0,∞)上的連續函數, 且存在兩個不同的正常數r1,r2, 滿足下列假設條件:

1) 當(t,μ)∈[0,1]×[0,r1]時,f(t,μ)≤φp(Mr1);

2) 當(t,μ)∈[1/4,3/4]×[0,r2]時,f(t,μ)≥φp(Nr2).

則邊值問題(1)至少有一個正解μ, 使得min{r1,r2}≤‖μ‖≤max{r1,r2}.

證明: 由引理7可知A:P→P是全連續算子. 不失一般性, 不妨設0

首先, 令Ω1∶={μ∈P|‖μ‖

因而‖Aμ‖≤‖μ‖,μ∈?Ω1.

其次, 令Ω2∶={μ∈P|‖μ‖

因而‖Aμ‖≥‖μ‖,μ∈?Ω2.

由引理5可知, 算子A至少有一個不動點μ, 即邊值問題(1)至少有一個正解且滿足r1<‖μ‖

定理2假設f(t,μ)為C[0,1]×[0,∞)上的連續函數, 若存在正常數0

1) 當(t,μ)∈[0,1]×[0,a]時,f(t,μ)≤φp(Ma);

2) 當(t,μ)∈[1/4,3/4]×[b,c]時,f(t,μ)≥φp(Nb);

3) 當(t,μ)∈[0,1]×[0,c]時,f(t,μ)≤φp(Mc).

則邊值問題(1)至少有3個正解μ1,μ2,μ3, 滿足

(9)

證明: 由于A:P→P全連續, 因此邊值問題(1)有解μ=μ(t)當且僅當μ滿足算子方程μ=Aμ(t). 即只需證明引理6的所有條件均滿足即可.

因而{μ∈P(θ,b,c)|θ(μ)>b}≠?.

若μ∈P(θ,b,c), 則有b≤μ(t)≤c. 從而當t∈[1/4,3/4]時, 由假設條件2), 有

即對μ∈p(θ,b,c),θ(Aμ)>b. 表明引理6中的條件1)成立.

由引理6和注1可知, 邊值問題(1)至少有3個正解μ1,μ2,μ3滿足式(9). 證畢.