高階多時(shí)滯微分方程周期解的存在性

章 歡, 李永祥

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

時(shí)滯微分方程的周期問(wèn)題在核物理學(xué)、 生態(tài)學(xué)、 流行病學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-6]. 特別是上下解的單調(diào)迭代方法已有效應(yīng)用于低階時(shí)滯微分方程的周期問(wèn)題. 文獻(xiàn)[7]研究了一階泛函微分方程

u′(t)=f(t,u(t),[p(u)](t)),t∈I=[0,ω]

(1)

的周期邊值問(wèn)題, 運(yùn)用單調(diào)迭代技巧, 得到了方程(1)周期邊值問(wèn)題解的存在性, 其中p:C(I)→C(I). 文獻(xiàn)[8]研究了二階時(shí)滯微分方程

-u″(t)=f(t,u(t),u(t-τ1),u(t-τ2),…,u(t-τn)),t∈,

(2)

運(yùn)用上下解的單調(diào)迭代技巧, 得到了方程(2)ω-周期解的存在性. 其中:f∈C(×n+1,), 關(guān)于t以ω為周期；τ1,τ2,…,τn為正常數(shù). 但利用上下解的單調(diào)迭代方法討論高階多時(shí)滯微分方程的周期解問(wèn)題目前文獻(xiàn)報(bào)道較少.

考慮n階多時(shí)滯微分方程

u(n)(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t-τ1),u(t-τ2),…,u(t-τk)),t∈

(3)

ω-周期解的存在性, 其中:n≥2;τ1,τ2,…,τk≥0為常數(shù);a,f滿足如下假設(shè):

(H1)a:→(0,∞)連續(xù), 以ω為周期;

(H2)f:×k→連續(xù),f(t,x1,x2,…,xk)關(guān)于t以ω為周期.

目前, 對(duì)方程(3)中非線性項(xiàng)不含時(shí)滯特殊情形的研究已有許多結(jié)果[9-11]. 基于此, 本文利用上下解的單調(diào)迭代方法考慮更一般的n階變系數(shù)時(shí)滯微分方程(3), 得到了該方程ω-周期解的存在性和唯一性.

1 預(yù)備知識(shí)

[v,w]={u|v≤u≤w}, [v(t),w(t)]={u(t)|v(t)≤u(t)≤w(t),t∈}.

設(shè)Mn為正常數(shù), 且

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中引理2.4知, 微分算子Lnu=u(n)+Mu在周期邊界條件下滿足極大值原理.

引理1[10]設(shè)M∈(0,Mn), 則n階線性邊值問(wèn)題:

存在唯一解Φ∈Cn[0,ω], 且對(duì)?t∈[0,ω],Φ(t)>0.

引理2[11]設(shè)M∈(0,Mn), 則對(duì)?h∈Cω(),n階線性微分方程

u(n)(t)+Mu(t)=h(t),

(4)

存在唯一ω-周期解

(5)

且解算子T:Cω()→Cω()是線性全連續(xù)算子, 其中t∈.

定義正常數(shù)ρ為

(6)

引理3設(shè)M∈(0,Mn), 對(duì)?h∈Cω(), 線性方程(4)的解算子T:Cω()→Cω()具有下列性質(zhì):

證明： 1) 由式(5)知

故

(7)

證畢.

下面考慮n階變系數(shù)微分方程

u(n)(t)+a(t)u(t)=h(t),t∈

(8)

ω-周期解的存在性.

引理4設(shè)a滿足假設(shè)條件(H1), 0

1) 解算子S:Cω()→Cω()為線性有界算子, 其范數(shù)

證明： 1) 將方程(8)改寫(xiě)為

u(n)(t)+Mu(t)=(M-a(t))u(t)+h(t),t∈.

(9)

設(shè)A:Cω()→Cω()是如下定義的線性有界算子：

Au(t)=(M-a(t))u(t),u(t)∈Cω(),

顯然

‖A‖≤M-m.

由式(9)易見(jiàn), 方程(8)的ω-周期解問(wèn)題等價(jià)于Banach空間Cω()中的算子方程

(I-TA)u=Th,

(10)

其中T:Cω()→Cω()是由式(5)給出的方程(4)的ω-周期解算子,I是Cω()中的單位算子. 由于

因此I-TA有有界逆算子(I-TA)-1, 且

(11)

(12)

故方程(10)等價(jià)的方程(8), 有唯一的ω-周期解:

(13)

由式(7),(12), 有

故

(14)

(15)

另一方面, 由于

所以由T,A的正性, 有

(16)

因?yàn)?/p>

所以

從而有

將其代入式(16), 有

于是對(duì)?s∈, 有

(17)

因此由式(6),(15),(17), 有

(18)

證畢.

下面考慮帶時(shí)滯的n階微分方程

(19)

ω-周期解的存在性. 其中bi≥0,i=0,1,2,…,k.

引理5設(shè)a滿足假設(shè)條件(H1), 0

則對(duì)?h∈Cω(), 方程(19)有唯一的ω-周期解u∶=Ph∈Cω(), 且解算子P:Cω()→Cω()是一個(gè)正的線性全連續(xù)算子.

證明： 設(shè)B:Cω()→Cω()是按下式定義的線性算子：

顯然,B:Cω()→Cω()是一個(gè)正的有界線性算子, 且由方程(8)的ω-周期解的表示式(13)知,u是方程(19)的ω-周期解當(dāng)且僅當(dāng)u滿足算子方程

(I+SB)u(t)=Sh(t),t∈.

(20)

因此I+SB有有界逆算子(I+SB)-1, 且

(21)

(22)

故算子方程(20)有唯一解

(23)

其為方程(19)的ω-周期解. 由式(13)知,S:Cω()→Cω()是線性全連續(xù)算子, 又由(I+SB)-1的有界性知,P=(I+SB)-1S是全連續(xù)的. 由式(14),(22),(23), 有

由算子S和B的定義及SB的性質(zhì), 可得

從而

因此(I-SB)S是正的. 即P:Cω()→Cω()是一個(gè)正算子. 證畢.

則u(t)≥0,t∈.

證明： 令

定義1設(shè)v0∈Cωn(), 若v0滿足

v0(n)(t)+a(t)v0(t)≤f(t,v0(t-τ1),v0(t-τ2),…,v0(t-τk)),t∈,

則稱v0是方程(3)的一個(gè)下ω-周期解, 若不等號(hào)取反向, 則稱其為方程(3)的一個(gè)上ω-周期解.

2 主要結(jié)果

假設(shè):

定理1假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 且0

證明： 記

D=[v0,w0]={u∈Cω()|v0≤u≤w0}.

定義算子F:D→Cω()為

?u∈D,

則F:D→Cω()連續(xù)、 有界, 且是增算子. 根據(jù)引理5, 方程(3)在D中的解等價(jià)于算子

Q=P°F:D→Cω()

的不動(dòng)點(diǎn). 由F的序增性及P的正性可知,Q=P°F是增算子, 即對(duì)?u1,u2∈[v0,w0], 滿足u1≤u2, 則有Qu1≤Qu2.

下面對(duì)Q應(yīng)用增算子不動(dòng)點(diǎn)定理單調(diào)迭代求解, 分3步證明.

1) 證明v0≤Qv0,Qw0≤w0.

令v1=Qv0,v=v0-v1, 則由條件(H3)及下ω-周期解的定義, 有

根據(jù)引理6知, ?t∈,v(t)≤0, 即v0≤Qv0. 類似地, 可證Qw0≤w0.

2) 證明算子Q在D中有不動(dòng)點(diǎn).

分別以v0和w0為初始元作迭代序列,

vn=Qvn-1,wn=Qwn-1,n=1,2,…

(24)

根據(jù)算子Q的單調(diào)性, 有

v0≤v1≤v2≤…≤vn≤…≤wn≤…≤w2≤w1≤w0,

則{vn}和{wn}分別在序區(qū)間D上單調(diào)遞增和單調(diào)遞減. 由Q的緊性知, {vn},{wn}?[v0,w0]為Cω()中的相對(duì)緊集, 有一致收斂的子列. 因此{(lán)vn}和{wn}均在Cω()中收斂, 即?u*,u*∈Cω(), 使得vn→u*,wn→u*. 又因?yàn)镈為Cω()中的凸閉集, 故u*,u*∈D. 在式(24)中令n→∞, 則由Q的連續(xù)性知,u*=Qu*,u*=Qu*. 因此u*和u*均為算子Q在D中的不動(dòng)點(diǎn).

3) 證明u*和u*分別為算子Q的最小不動(dòng)點(diǎn)和最大不動(dòng)點(diǎn).

(25)

假設(shè):

(H4) 存在常數(shù)b1,b2,…,bk≥0及c1,c2,…,ck≥0, 滿足

且對(duì)?(t,x1,x2,…,xk),(t,y1,y2,…,yk)∈×k, 當(dāng)v0(t-τi)≤xi≤yi≤w0(t-τi)(i=1,2,…,k)時(shí), 有

證明： 由定理1可知, 當(dāng)假設(shè)條件(H3)成立時(shí), 方程(3)在v0與w0之間存在最小ω-周期解u*和最大ω-周期解u*. 下面只需證u*=u*即可. 令r=u*-u*, 由假設(shè)條件(H4)知, 對(duì)?t∈, 有

則

結(jié)合引理6可知r(t)≥0(t∈), 則u*≥u*. 又由定理1的證明過(guò)程可知u*≤u*, 故

假設(shè):

定理3假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 且0

(26)